直线方程的两点式和一般式
教学课件第2课时直线方程的两点式和一般式
适用范围
不垂直坐标轴 不垂直坐标轴且不经 过原点
A,B不同时为0
不相信自己的意志，永远干不成大事.
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0( A,B 不同时为 0)的形式．
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0( A,B 不同时为 0)
表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
在无特殊说明的 条件下，直线方 程写成一般式.
思考1： “A,B不同时为零”指的是什么？ 提示：“A,B不同时为零”指的是A,B中至少有一 个不为零，它包括三种情况：①A≠0且B≠0， ②A≠0且B=0，③A=0且B≠0.
(3)错误.求直线的一般式方程，表面上需求A，
B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，
则方程化为 x B y 只C 需 0确，定 的值B，；C 若B≠0，则方程A化为AA x y C只需0，确A定A
B
B
A，的C 值.因此，只要给出两个条件，就可以求出
BB
直线方程.
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2,2),C(0,1) ,
答案：(1)× (2)√ (3)×
提示：(1)错误. (2)正确.因为在平面直角坐标系中，每一条直线 都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率存在， 其方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-y+b=0， 与Ax+By+C=0比较，A=k,B=-1,C=b；当 α=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1， 与Ax+By+C=0比较，A=1,B=0,C=-x1，显然A， B不同时为0，所以此说法是正确的.
求这个三角形三边各自所在直线的方程. 解:因为直线 AB 过 A(3,0）,B(2,2) 两点，
直线的两点式方程与一般式方程PTT课件
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.
方程
+
= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定
我们把方程
+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线 所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−
+ =
+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2
；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0
所以直线 AB 的两点式方程：
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
2.1.2 直线方程的两点式和一般式 课件(北师大必修2)
[通一类] 2．求过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a， b，且满足a＝3b的直线的一般式方程． x y 解：若 a＝3b≠0，设所求直线的方程为a＋b＝1，
x y 即 ＋b＝1. 3b 又∵直线过点 P(2，－1)， 2 －1 1 ∴ ＋ b ＝1，解得 b＝－ . 3b 3
x y 故所求直线方程为 ＋ ＝1，即x＋3y＋1＝0. 1 －1 － 3 若a＝3b＝0，则所求直线过原点，可设方程为y＝kx. ∵该直线过点P(2，－1)， 1 ∴－1＝2k，k＝－ . 2 1 故所求直线方程为y＝－ x，即x＋2y＝0. 2 综上所述，所求直线的方程为x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0.
(2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴欲使 l 不经过第二象限，
－a＋1＞0， 当且仅当 a－2≤0， －a＋1＝0， 或 a－2≤0，
∴a≤－1. 综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1].
求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等 于12的直线的方程．
[研一题] [例2] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m
－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
[自主解答] m2－2m－3≠0， (1)由题意可得 2m－6 m2－2m－3＝－3， 由①得：m≠－1 且 m≠3， 5 5 由②得：m＝3 或 m＝－ .∴m＝－ . 3 3 ① ②
解：(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截 距都为零，当然相等，此时 a＝2，方程为 3x＋y＝0. 若 a≠2，由 l 在两坐标轴上的截距相等，有 a－2 ＝a－2，即 a＋1＝1， a＋1 ∴a＝0，l 的方程为 x＋y＋2＝0. 综上可知，l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
直线方程的两点式和一般式 课件
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
直线的两点式与一般式方程
k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y=kx+b
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
k存在 k存在
k存在,k≠0 k存在,k≠0 不过原点
特殊形式 y y x x 过点（x0 , y0）与x 轴垂直的直线可表示成
0，
过点（x0
,
y
）
0
不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
练习 课本P97 2,3
补充练习
1.下 列 四 个 命 题 中 的真 命 题 是 (B )
A.经 过 定 点0P(x0,y0 )的 直 线 都 可 以 用
方 程 y y0 k(x x0 )表 示 ;
B.经 过 任 意 两 个 不 同P1(x1,y1),P2(x2,y2 )的 点 的 直 线
固 2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3 方程;并求经过点P且与L3垂直的直线
L4方程? l3:y=-x+1 l4:y=x-1
例程1．.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方
解：设直线方程为：y=kx+b.
由已知得： 3kb 42 k b
解方程组得： k1 b2
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都 为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.
若 a 2，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
有 a - 2 a - 2 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. a 1
∴ l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)
x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其 中A,B不同时为0)表示.
结论二： 任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直 线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不 容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互 相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
关于直线的知识点总结
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，
则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),
二、直线方程的距离
1、点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
2、两平行线间的距离
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2)，
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
则直线可表示为 x/a+y/b=1
(4)斜截式: Y=KX+B (K≠0)
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
(5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2
五、定比分点问题
1、定比分点定义
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，
教学课件：第2课时-直线方程的两点式和一般式
直线方程的应用
通过直线方程，可以解决 与直线相关的实际问题， 如求直线上的点、判断两 直线是否平行等。
下节课预告
直线的倾斜角和斜率
直线方程的应用
介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以 及它们之间的关系。
通过直线的倾斜角和斜率，可以解决 与直线相关的实际问题，如求直线的 长度、判断两直线是否垂直等。
直线的点斜式和截距式
两点式直线方程的应用
确定直线的斜率和截距
通过给定的两点，可以确定直线的斜 率和截距，进而确定直线的方程。
解决与直线相关的问题
利用两点式直线方程，可以解决与直 线相关的问题，如求直线上某一点的 坐标、判断三点共线等。
03 直线方程的一般式
一般式直线方程的定义
总结词
一般式直线方程是数学中描述直线的一种方式，它包含了直线的斜率和截距信息。
要点二
基础练习题2
已知直线经过点$(2,3)$和斜率为$2$，求直线的两点式方程。
进阶练习题
进阶练习题1
已知直线的一般式方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求该直线的斜率。
VS
进阶练习题2
已知直线的一般式方程为$2x - y + 5 = 0$， 求该直线经过的点。
综合练习题
综合练习题1
已知直线经过点$(2,3)$，斜率为$2$，且与 $x$轴交于点$(4,0)$，求该直线的方程。
04 两点式与一般式的比较
形式上的比较
两点式方程
(y - y_1 = m (x - x_1))
一般式方程
(ax + by + c = 0)
使用场景的比较
01
两点式方程适用于已知两点坐标 的情况，可以快速求出直线方程 。
第2章 1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式
第2课时 直线方程的两点式和一般式学习目标 1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理 两点式方程知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2 已知两点P 1(a ,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋yb ＝1.梳理 截距式方程知识点三 直线方程的一般式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？ 答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定． 梳理 (1)一般式方程(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一 直线的两点式和截距式方程 命题角度1 直线的两点式方程例1 已知△ABC 的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，若AB 与y 轴交于点E ，BC 与x 轴交于点F ，求直线EF 的方程． 考点 直线的两点式方程 题点 直线两点式方程的应用解 直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E ⎝⎛⎭⎫0，－158. 直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点， 由两点式得y －(－3)2－(－3)＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F ⎝⎛⎭⎫65，0.由截距式方程得x 65＋y －158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 考点 直线的两点式方程 题点 直线两点式方程的应用 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2. ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 命题角度2 直线的截距式方程例2 (1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0考点 直线的截距式方程 题点 求直线的截距式方程 答案 A解析 设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b＝1 12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式方程求直线的条数 答案 B解析 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式方程求直线的条数 答案 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎨⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型二 直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 考点 直线的一般式方程与直线的性质 题点 根据截距或斜率求参数 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3.当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，不合题意，舍去． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠－1且m ≠12，由直线l 化为斜截式方程，得 y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2. 反思与感悟 直线方程的几种形式的转化跟踪训练3 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 (1)由点斜式方程，得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型三 直线方程的综合应用 例4 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 考点 题点(1)证明 方法一 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限．方法二 将直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线．∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限． (2)解 如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3， 即a 的取值范围为{a |a ≥3}．反思与感悟 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键． 跟踪训练4 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 考点 直线的截距式方程 题点 截距式方程的意义解 (1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0， 可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0； 当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. 故所求实数a 的取值范围为(－∞，－ 1].1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( ) A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 考点 直线的截距式方程 题点 求直线的截距式方程 答案 C解析 由题意可得，直线的截距式方程为x 2＋y－3＝1，即3x －2y －6＝0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限考点 题点 答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°考点题点答案 C解析直线斜率k＝－33，所以直线的倾斜角为150°，故选C.4．直线xa＋yb＝1(ab<0)的图像可能是()考点题点答案 C5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B. 3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线.一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0考点 直线的一般式方程与直线的性质题点 直线的一般式方程与图像的关系答案 B解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B ，C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0,14)，即直线过第一象限， 所以只有B 项正确．3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0考点 直线的一般式方程与直线的性质题点 直线的一般式方程与图像的关系答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断．4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 D解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又直线ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ， 且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选D.5.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c答案 C解析 由已知直线表达式，得l 1：y ＝－1a x －b a， l 2：y ＝－1c x －d c， 由题图知⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >－1c > 0－b a < 0－d c > 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0. 6．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可以是()考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．7．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 B解析 如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .8．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0考点题点答案 A解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上，∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.二、填空题9．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是______．考点题点答案 －32解析 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32， ∴在x 轴上的截距为－32. 10．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为 ________________________________________________________________________； 截距式方程为___________________________________________________________； 斜截式方程为___________________________________________________________； 一般式方程为____________________________________________________________． 考点题点答案 y ＋4＝3(x －0) x 433＋y －4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0解析 由题意知，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程为y ＋4＝3(x －0)， 截距式方程为x 433＋y －4＝1， 斜截式方程为y ＝3x －4，一般式方程为3x －y －4＝0.11．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________________．考点 直线的截距式方程题点 求直线的截距式方程答案 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋y b＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0.三、解答题12．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距． 考点 直线的截距式方程题点解 由已知，直线过点(3,0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6.所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0.令x ＝0，得y ＝－415. 故直线在y 轴上的截距为－415. 13．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程． 考点题点解 设直线l 的斜率k ，则直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6. 所以⎝⎛⎭⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得k ＝－23或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)． 即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 四、探究与拓展14．入射光线从P (2,1)出发，经x 轴反射后，通过点Q (4,3)，则入射光线所在直线的方程为________________．考点题点答案 2x ＋y －5＝0解析 由题意，利用反射定理可得，点Q (4,3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线上，故入射光线l 所在的直线PQ ′的方程为y －1x －2＝1＋32－4，化简得2x ＋y －5＝0. 15．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． 考点题点解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1， ① 又a ＋b ＋a 2＋b 2＝12， ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝125b ＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ， 得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝6.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或6x ＋2y －12＝0.。
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
直线方程的两点式和一般式PPT课件
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
直线的两点式和一般式方程
2
A，B做直线,为L的图形.
练习
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0， 且两条直线的斜率分别为
所以两条直线不垂直.
(m)•(2)11 8 m4
m 、 2 . 8m
但由于
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方 程分别为
所以－
m2－2m－3 2m2 ＋m－1
＝－1，
解得 m＝－2，m＝－1(舍去)．
练习：
1．过点 A(2,3)和点 B(2，－3)的直线的一般式方程是( ）
B
A．x＝2 C．y＝2
B．x－2＝0 D．y－2＝0
2．斜率为 k 且过原点的直线的一般式方程是( ）
CHale Waihona Puke A．y＝kx C．kx－y＝0
B．x－ky＝0 D．kx＋y＝0
直线的两点式和一般式方程
1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 ) k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点
2). 直线的斜截式方程： y=kx+b
k为斜率，b为截距
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: 1、截距不为0时
x y 1 aa
把(1,2)代入得： a=3
1 2 1 aa
所以直线方程为：x+y-3=0
2、截距为0时
y=2x
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?
2.1.2.2直线方程的两点式和一般式
)
(2)若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0 不经过第一象限，则实数 m 的取值范围是 ________．
第二章
解析几何初步
栏目导引
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)． 化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1， 化为一般式得 4x－3y＋12＝0.
第二章
解析几何初步
栏目导引
第二章
解析几何初步
栏目导引
直线方程的两点式方程和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
)
(2)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． ①斜率是 3，且经过点 A(5,3)； ②斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； ③经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； ④在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1.
第二章 解析几何初步 栏目导引
解析：
(1)由点斜式得 y＝－3(x－2)，
第二章 解析几何初步 栏目导引
[自主练习]
1．下面四个说法中正确的是(
)
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)· (y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程 ＋ ＝1 表示 a b D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示
)
第二章
解析几何初步
直线方程的五种形式是什么 包括哪五种
直线方程的五种形式是什么包括哪五种
直线方程主要包括一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式五种，详细形式如下，一起来看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y －y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
直线方程相关学问点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑴点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑴直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b
⑴直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑴两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑴两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑴两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。
直线方程式的公式
直线方程式的公式
1.一般式方程：A某+By+C=0
一般式方程是直线的一种标准形式，其中A、B和C是实数，且A和
B不同时为0。
方程中的A和B决定了直线的斜率和方向。
当B不为0时，可将一般式方程改写为斜截式方程：y=-A/B某某-
C/B。
这个形式下，-A/B是直线的斜率，-C/B是直线与y轴的交点。
2.点斜式方程：y-y₁=m(某-某₁)
点斜式方程是直线的另一种常用形式。
其中(某₁,y₁)是直线上已知的
一点，m是直线的斜率。
通过这个已知点和斜率可以唯一确定直线的方程。
可以将点斜式方程改写为一般式方程：y-y₁=(y₂-y₁)/(某₂-某₁)(某-某₁)，其中(某₂,y₂)是直线上另一个已知点。
3.斜截式方程：y=m某+b
斜截式方程是直线的一种常见形式，其中m是直线的斜率，b是直线
与y轴的交点。
可以将斜截式方程改写为一般式方程：-m某+y-b=0。
4.两点式方程：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(某-某₁)/(某₂-某₁)
两点式方程是直线的另一种常用形式。
其中(某₁,y₁)和(某₂,y₂)是直线上已知的两个点。
可以将两点式方程改写为一般式方程：(y-y₁)(某₂-某₁)-(某-某₁)(y₂-
y₁)=0。
这些是直线方程的一些常见形式。
以不同形式表示直线方程可以有不同的应用场景，根据具体问题和已知条件，选择合适的形式有助于简化计算和分析。
同时，直线方程可以通过变换和化简相互转换，根据需要选择最适合的形式。
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直线方程的两点式和一
般式
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班
学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化；
2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程；
3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力；
重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式；
2、对于一元二次方程表示直线方程的理解；
一、课前准备
1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。
2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，00
y y k x x -=-，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
【创设情景】
探究一
平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点
11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l
的方程式什么
归纳总结：直线方程的两点式为
助 学 案 直线方程的两点式和一般式 第19期
例1
探究二
在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。
在直线方程的两点式
中，若
12
,P P两点为坐标轴上的两点，即
1
P的坐标为(),0a,2P的坐标为(0,b)时，直线12
P P的方程形式如何其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线
归纳总结：直线的截距式方程
例2：直线l过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程
探究三
直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点能否统一成一种形式是怎样的方程
归纳总结：直线方程的一般式
1、直线方程的五种形式之间如何进行转化
2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么
3、各自的使用范围如何
例3 已知三角形三个顶点分别是A（-3.，0），B（2，-2），C（0,1），求这个三角形三边各自所在的直线方程.
例4 已知直线l的方程为x-3y+4=0。
求直线的倾斜角
课堂小结
1、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种它们之间有什么关系
2、要求一条直线方程，必须知道多少条件
当堂检测
1、求经过下列两点的直线方程
（1）A（-3，2），B（0,-3）（2）C（0,4），D（4,0）
2、求经过点（-4，5），且与直线x-2y=0的斜率相等的直线方程，并化为一般式。
3、求在两坐标轴上截距相等，且过点（2，3）的直线方程，并化为一般式。