垂径定理典型例题及练习(供参考)
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题及答案
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垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5,弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ． 答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，的直径垂直弦于,且是半径的中点，，则直径的长是（A ．B ．C ．D ．答案:D★★6．下列命题中，正确的是( )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心cm 41O ⊙AB CD PP OB 6c m C D ABD ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案:D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ）A ．5米B ．8米 C ．7米 D ．5米答案：B★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm ，则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或4 cmD ． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上,如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3答案:C二.填空题★1．已知AB 是⊙O 的弦,AB ＝8cm,OC⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm 的圆中，弦的长为8cm ，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦,那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB 是⊙O 的弦,AB ＝8cm ，OC⊥AB 与C,OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm答案：5 cm ★★5．如图,⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米,则CD ＝ 厘米答案： cm ★★66cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 答案： cm ★★7⊙O 内一点M 的最长的弦长为,最短的弦长为，则OM 的长等于 cm3AB 图 46cm 4cm★★8AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1,则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P（4,2）和A（2，0），则点B的坐标是答案：（6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径,OD⊥AC于点D,BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案:3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm答案：6★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D,若AB=8，CD=2,则圆的半径为 答案：5 ★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米答案：★★★18．在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面,如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个 隧道所在圆的半径是___________米答案:5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理练习题及答案
5、如图，AB 是⊙O 的直径，半径 OC⊥AB,P 是ＡB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点 D,CD 交 AB 于点 E,判断
△PDＥ的形状，并说明理由。
６。21.如图,半径 OA⊥ＯB，P 是 OB 延长线上一点，PA 交⊙Ｏ于 D，过 D 作⊙O 的切线 CE 交ＰＯ于 C 点
，求证:PC=ＣD．
２2。如图，将半
径为 2 cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O ,那么折痕 AB
的长为
Ｏ
Ａ
Ｂ
23。如图,⊙O 的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E，ＣD=６,那么∠Ｂ的余切值为_＿＿__＿_＿＿
三。解答题 1。⊙O 的弦ＡＢ长为 10,半径长Ｒ为 7，OC 是弦ＡＢ的弦心距，求ＯＣ的长 2。⊙O 的半径长为 50ｃm，弦 AB 长５０ｃm.求：〔1)点 O 到 AB 的距离;〔2〕∠AＯB 的大小 3。如图,直径是 5０ｃm 圆柱形油槽装入油后，油深ＣD 为 1５cm，求油面宽度 AB
4．AB 是⊙O 的弦,ＡB=8ｃｍ，OC⊥ＡB 与Ｃ,OC=3ｃm,那么⊙O 的半径为 cm
5。如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E,假设∠COD＝1２０°,ＯE＝3 厘米，那么 CD=厘米
A
y
P
O
C
ED
B
6.半径图为4 6cm 的
A O
B
x
圆中，垂直平分半径 OＡ的弦长为 cm。
7。如图，⊙Ｏ的半径长为２5,弦 AB 长为４８，Ｃ是弧 AＢ的中点．求 AC 的长．
8。：在△△AＢＣ的外接圆的半径。
O
9.本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A
B
部编数学九年级上册专题24.1垂径定理(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.1 垂径定理【典例1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DH=12 CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH=∴AH∴AC＝AH﹣CH＝2．1．（2022•芜湖一模）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（ ）A．B．C．D．【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解题过程】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12AB=12×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM=3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=故选：C．2．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）A．5B．2.5C．3D．2【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，即CD的最大值为2.5，故选：B．3．（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A．1个B．3个C．6个D．7个【思路点拨】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解题过程】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD=12×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM==1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=8，AD=6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）A．0)B．(−4+0)C．(−40)D．0)【思路点拨】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解题过程】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD==∴OD＝FD﹣OF＝4，∴D（4，0）．故选：B ．5．（2022•新洲区模拟）如图，点A ，C ，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，若AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2，则⊙O 的面积为（ ）A ．125π4B ．275π4C ．125π9D ．275π9【思路点拨】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON ，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，MO 的延长线于AB 延长线交于N ，则四边形BCMN 是矩形，∵OM ⊥CD ，CD 是弦，∴CM ＝DM =12CD ＝1＝BN ，∴AN ＝AB +BN ＝4+1＝5，设ON ＝x ，则OM ＝8﹣x ，在Rt △AON 、Rt △COM 中，由勾股定理得，OA 2＝AN 2+ON 2，OC 2＝OM 2+CM 2，∵OA ＝OC ，∴AN 2+ON 2＝OM 2+CM 2，即52+x 2＝（8﹣x ）2+12，解得x =52，即ON =52，∴OA 2＝52+（52）2=1254，∴S⊙O＝π×OA2=1254π，故选：A．6．（2021秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A．910B．65C．85D．125【思路点拨】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解题过程】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3 2，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB==5，∵12AC•BC=12AB•CF，∴CF=AC×BCAB=4×35=125，∴OG＝CF﹣OC=125−32=910，∴MG===6 5，∴MN＝2MG=12 5，故选：D．7．（2022•吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝ 4 ．【思路点拨】根据含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据垂径定理求出AC=AD，求出AC＝AD＝2，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB＝2AC即可．【解题过程】解：∵CD⊥AB，∴∠AED＝90°，∵AE＝1，∠D＝30°，∴AD＝2AE＝2，∠ABC＝∠D＝30°，∵AB⊥CD，AB过圆心O，∴AC=AD，∴AC＝AD＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×2＝4，故答案为：4．8．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为【思路点拨】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．【解题过程】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI=12OP=12×4=2，由勾股定理得：DI==∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝即CD＝DI+CI＝故答案为：9．（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3 ，⊙C上的整数点有 12 个．【思路点拨】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解题过程】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12×10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO3，∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L （5，3），即共12个点，故答案为：3；12．10．（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C 同时也在AB 上，若点P 是BC 的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 −8 ．【思路点拨】作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，利用勾股定理得到r 2＝x 2+42①，r 2＝（x +2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x ＝2，所以r ＝DE ＝2，然后根据三角形面积公式，点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值．【解题过程】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，在Rt △BOD 中，r 2＝x 2+42①，在Rt △OCF 中，r 2＝（x +2）2+22②，②﹣①得4+4x +4﹣16＝0，解得x ＝2，∴OD ＝2，∴r =∴DE ＝OE ﹣OD ＝2，∵点P 是BC 的一个动点，∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为12×8×（2）＝8．故答案为：8．11．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为【思路点拨】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD【解题过程】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD∴AO＝故答案为：12．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【思路点拨】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解题过程】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，AC=BC，AD=BD．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴AC=BC，AD=BD．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE 的长．【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．【解题过程】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r ＝3.4，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE 的长为1.8．14．（2021秋•芜湖月考）如图，在△ABC 中AB ＝5，AC ＝4，BC ＝2，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，延长BC 交⊙A 于点D ，试求CD 的长．【思路点拨】过点A 作AE ⊥BD 于点E ，如图，则DE ＝BE ，利用双勾股得到AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解方程得到BE =134，然后计算BD ﹣BC 即可．【解题过程】解：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，如图，则DE ＝BE ，在Rt △ACE 中，AE 2＝AC 2﹣CE 2，在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2﹣BE 2，∴AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解得BE =134，∴CD ＝BD ﹣BC ＝2BE ﹣2＝2×134−2=92．答：CD 的长为92．15．（2022•江西开学）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，AB ，CD 之间的距离为1．（1）求圆的半径．（2）将弦AB 绕着圆心O 旋转一周，求弦AB 扫过的面积．【思路点拨】（1）过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，即可得出DF＝CF＝3，再因为AB∥CD，则可得到OE⊥AB，进而得到AE＝BE＝4，最后根据勾股定理计算即可；（2）先判断出将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形，再根据圆面积公式计算即可．【解题过程】解：（1）如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，则DF＝CF＝3，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AE＝BE＝4，设OE＝x，则OF＝x+1，根据题意可得：x2+42＝（x+1）2+32，∴x＝3，∴=5；（2）将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形是以点O为圆心，以3为半径的圆与以5为半径的圆所围成的环形，故弦AB扫过的面积为π×52﹣π×32＝16π．16．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB 的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．【解题过程】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．17．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD 的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．【思路点拨】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．【解题过程】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．∵BB′⊥CD∴BD=B′D，∵∠AOD＝80°，B是AD的中点，∴∠DOB′=12∠AOD＝40°．∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，又∵OA＝OB′，∴∠A=180°−∠AOB′2=30°．∵AE是圆的直径，∴∠AB′E＝90°，∴直角△AEB′中，B′E=12AE=12×4＝2，∴AB′=．18．（2022•中山市模拟）已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足．（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】（1）连接OA，根据垂径定理得出AE＝CE，AD＝BD，根据AB＝AC求出AE＝AD，再根据矩形的判定和正方形的判定推出即可；（2）根据勾股定理得出OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，根据AB＞AC求出AD＞AE，再得出答案即可．【解题过程】（1）证明：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，∵AC＝AB，∴AE＝AD，∵AB、AC为互相垂直的两条弦，∴∠EAD＝90°，即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；（2）解：OD＜OE，证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，∴AD＞AE，在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD2＜OE2，即OD＜OE．19．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【思路点拨】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解题过程】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM=12CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM=4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．20．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE=r−12，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．【解题过程】（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，∠GEB=∠DEBBE=BE∠GBE=∠DBE，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE=r−1 2，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（r−12）2+42＝r2，解得：r=13 3，即⊙O的半径为13 3．21．（2021•遵义一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：（1）如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1，求，AB长；（2）如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求⊙O 的半径．【思路点拨】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F=12O1F，再根据勾股定理，即可得出结论；（2）同（1）的方法先判断出O2C＝2rcm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】解：（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F=12O1E=12×4＝2（cm），连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，根据勾股定理得，AF cm），∴AB＝2AF＝；（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，设⊙O2的半径为3rcm，则O2C＝2r（cm），∵O2C⊥弦AB，∴AC=12AB＝5（cm），连接O2A，在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2﹣（2r）2＝25，∴r∴O2A＝3r＝cm），即⊙O2的半径为．22．（2021•浙江自主招生）以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．【思路点拨】设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），由勾股定理得出x，y，a的关系，再由垂径定理PQ和RS，最后由完全平方公式求得最大值和最小值．【解题过程】解：如图，设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），且x2+y2＝a2．所以PQ＝2PB＝RS＝所以PQ+RS＝2∴（PQ+RS）2＝4（2﹣a2而x2y2＝x2（a2﹣x2）＝﹣（x2−a22）2+a44．当x2=a22时，（x2y2）最大值=a4 4．此时PQ+RS=当x2＝0或x2＝a2时，（x2y2）最小值＝0，＝2（1+此时（PQ+RS）最小值。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
垂径定理典型例题及练习(供参考)
典型例题分析：例题1、 大体概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过那个圆的圆心2．以下命题中，正确的选项是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如下图，若是油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，若是油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）假设3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．五、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题一、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.A EF二、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长别离是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径别离为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.作 业：一、概念题1．以下命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线通过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线相互平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 A B DCE O二、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，那么OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，若是AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么以下结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，那么图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
(附答案)《垂径定理》典型例题
《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。
分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
3.3垂径定理(解析版)九年级下册
3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长1.（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若8AD CD ，6OD ，则BD 的长为()A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理的推论得OB AC ，再根据勾股定理得22228610OA AD OD ，即可求出答案．【解答】解：8AD CD ∵，OB AC ，在Rt AOD 中，22228610OA AD OD ，10OB ，1064BD ．故选：B ．2.（2023•和县二模）如图，点C 是O 的弦AB 上一点．若6AC ，2BC ，AB 的弦心距为3，则OC 的长为()A．3B．4C．11D．13【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知3OD ，然后根据勾股定理可以求得OC的长．【解答】解：作OD AB于点D，如图所示，由题意可知：6OD ，BC ，3AC ，2AB，8，AD BD4，2CD2222，3213OC OD CD故选：D．3.（2022秋•齐河县期末）如图，OCD ，3OE ，则BD的直径AB 弦CD于点E，连接BD．若8的长为()A10B．23C．17D．25【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD，求出BE，再根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：连接OD ，AB CD ∵，AB 过圆心O ，8CD ，4CE DE ，90OED DEB ，3OE ∵，2222345OD OE DE ，5OB OD ，532BE OB OE ，由勾股定理，得2222242025BD BE DE ，故选：D ．4.（2022秋•泗洪县期末）如图，O 的半径为5，弦8AB ，OC AB ，垂足为点P ，则CP 的长等于()A ．2B ．2.5C ．3D ．4【分析】如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，根据CP OC OP ，计算求解即可．【解答】解：如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，2CP OC OP ，故选：A ．考查题型二利用垂径定理求半径、直径长5.（2022秋•金城江区期末）如图，线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，若AB 长为16，DE 长为4，则O 半径是()A ．5B ．6C ．8D ．10【分析】连接OB ，由垂径定理可得8BE AE ，设O 半径为r ，结合题意可得4OE r ，在Rt OBE 中，由勾股定理可得222OE BE OB ，然后代入求值即可获得答案．【解答】解：如下图，连接OB ，∵线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，16AB ， 1116822BE AE AB ，设O 半径为r ，即OB OD r ，又4DE ∵，4OE OD DE r ，在Rt OBE 中，可有222OE BE OB ，即222(4)8r r ，解得10r ，O 半径是10．故选：D ．6.（2023秋•聊城期中）如图，AB ，CD 是O 的两条平行弦，且4AB ，6CD ，AB ，CD 之间的距离为5，则O 的直径是()A 13B ．213C ．8D ．10【分析】作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，设OM x ，122MB AB ，132DN CD ，222OB OM MB ∵，2222OB x ，222OD ON DN ∵，222(5)3OD x ，OB OD ∵，224(5)9x x ，3x ，223413OB ，13OB ，O 直径长是213故选：B ．7.（2023秋•福州期中）如图，已知O 的弦8AB ，半径OC AB 于D ，2DC ，则O 的半径为．【分析】设O 的半径为R ，则2OD R ，先根据垂径定理得到4AD BD ，再利用勾股定理得到222(2)4R R ，然后解方程即可．【解答】解：设O 的半径为R ，则2OD R ，OC AB ∵，142AD BD AB ，90ODA ，在Rt AOD 中，222(2)4R R ，解得5R ，即O 的半径为5．故答案为：5．考查题型三弦心距8.（2022秋•台山市期末）如图，O 的半径为2，弦23AB ，则圆心O 到弦AB 的距离为()A ．1B 2C 3D ．2【分析】过O 作OC AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理求出AC ，再根据勾股定理求出OC 即可．【解答】解：过O 作OC AB 于C ，连接OA ，OC AB ∵，OC 过圆心O ，23AB 3AC BC 90OCA ，由勾股定理得：22222(3)1OC OA AC ，即圆心O 到弦AB 的距离为1，故选：A ．9.（2022秋•凤阳县期末）如图，在O 中，OC AB 于点C ．若O 的半径为10，16AB ，则OC 的长为()A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】如图，连接OA ．利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA ．OC AB ∵，182AC CB AB ，10OA ∵，90ACO ，22221086OC OA AC ，故选：C ．考查题型四最值10.（2022秋•济源期末）如图，O 的半径为102，弦AB 的长为162，P 是弦AB 上一动点，则线段OP长的最小值为()A ．10B ．82C ．5D ．62【分析】过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，根据垂径定理得到8AH BH ，再利用勾股定理计算出OH ，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，111628222AH BH AB ，在Rt BOH 中，2222(102)(82)62OH OB BH ，线段OP 长的最小值为62．故选：D ．11.（2023秋•淮滨县期中）如图，O 的直径为10，弦AB 的长为8，点P 在AP 上运动，则OP 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP AB 时，OP 的值最小．连接OA ，在直角三角形OAP 中由勾股定理即可求得OP 的长度．【解答】解：当OP AB 时，OP 的值最小，则142AP BP AB ，如图所示，连接OA ，在Rt OAP 中，4AP ，5OA ，则根据勾股定理知3OP ，即OP 的最小值为3，故选：B ．12.（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，M 的半径为4，圆心M 的坐标为(6,8)，点P 是M 上的任意一点，PA PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最大值为()A ．13B ．14C ．12D ．28【分析】由Rt APB 中2AB OP 知要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，据此求解可得．【解答】解：连接PO ，PA PB ∵，90APB ，∵点A 、点B 关于原点O 对称，AO BO ，2AB PO ，若要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，过点M 作MQ x 轴于点Q ，则6OQ 、8MQ ，10OM ，又4MP r ∵，10414OP MO MP ，221428AB OP ；故选：D ．考查题型五利用垂径定理求面积13.（2023•铜梁区校级一模）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O 于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，65AB ，则ODE 的面积为()A ．9B ．15C 952D ．95【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD ，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：AE ∵是O 的直径，90ABE ，AB OC ∵，OC 是O 的半径，12AD BD ABOA OE ∵，OD 是ABE 的中位线，12OD BE ，由于3DE DO ，可设OD x ，则3DE x ，2BE x ，在Rt BDE 中，由勾股定理得，222BD BE DE ，即222(2)(3)x x ，解得3x 或3x （舍去），即3OD ，S △12DOE OD BD 132故选：C ．14.（2023•肇源县一模）如图，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ，则四边形MANB 面积的最大值是()A ．22B ．4C ．2D ．82【分析】过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理推出OAB 为等腰直角三角形，求得222AB OA 【解答】解：过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，45AMB ∵，290AOB AMB ，OAB 为等腰直角三角形，222AB OA ，MAB NAB MANB S S S ∵四边形，当M 点到AB 的距离最大，MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值 11111224222222DAB EAB DAEB S S S AB CD AB CE AB CD CE AB DE 四边形．故选：C ．15.（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，5AB ，则ODE 的面积为()A ．58B ．554C ．5D ．52【分析】根据垂径定理，得出52AD BD ，再根据直径所对的圆周角为直角，得出90ABE ，再根据平行线的判定，得出//OD BE ，再根据中位线的判定，得出OD 为ABE 的中位线，再根据中位线的性质，得出2BE OD ，再根据勾股定理，得出222BD BE DE ，解出得到52OD ，根据12ODE S OD BD 即可求解．【解答】解：OC AB ∵，5AB ， 52AD BD ，AE ∵是O 的直径，90ABE ，OC AB ∵，//OD BE ，O ∵为AE 的中点，OD 为ABE 的中位线，2BE OD ，3DE DO ∵，在Rt ABE 中，222BD BE DE ∵， 2225494OD OD ，解得：52OD， 25BE OD ，11555522228ODE S OD BD ．故选：A ．考查题型六垂径定理的应用16.（2023秋•长葛市期中）如图，圆弧形桥拱的跨度24AB 米，拱高8CD 米，则拱桥的半径为()A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O连接OA ．根据垂径定理，得12AD m ，设圆的半径是r m ，根据勾股定理，得22212(8)r r ，解得13r ．故选：C ．17.（2022秋•郾城区期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB 宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为()A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【分析】以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，根据三线合一定理可得OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为EF ，连接OE ，根据水面下降1米，可得3OG m ，再根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，由题意可得，D 为弧AB 的中点，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，在Rt AOC 中，222OA OC AC ，132AC AB ，22(1)9r r ，解得：5r ，主桥拱所在圆的半径5m ；由题意得，水面下降为EF ，连接OE ，∵水面下降1米，1413()OG OC m ，则2222534()EG OE OG m ，28EF EG m ，即水面的宽度为8m ．故选：D ．18.（2023•滕州市二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得弦AB 长为4米，O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是()A ．1米B ．2米C ．(35) 米D ．(35) 米【分析】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得122AD BD AB（米)，再由勾股定理得5OD （米)，然后求出CD 的长即可．【解答】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：3OA OC 米，OC AB ，122AD BD AB （米)，90ADO ，2222325OD OA AD （米)，(35)CD OC OD 米，即点C 到弦AB 所在直线的距离是(35) 米，故选：C ．1.（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB 交AB 于点D ，且OD DC ．P为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为3，则PAB S 的最大值为()A ．34B ．33C ．332D ．334【分析】连接OA ，如图，利用垂径定理得到AD BD ， AC BC ，再根据OD DC 可得到132OD OA ，所以32AD ，由勾股定理，则3AB ．PAB 底AB 不变，当高越大时面积越大，即P 点到AB 距离最大时，APB 的面积最大．则当点P 为AB 所在优弧的中点时，此时13122PD PO OD，APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接OA ，如图，OC AB ∵，AD BD ，OD DC ∵，1322OD OA ，2232AD OA OD ，23AB AD ．当点P 为AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时333322PD PO OD．APB 的面积的最大值为：11339332224AB PD ．故选：A ．2.（2023•碑林区校级模拟）如图，已知CD 为O 的直径，CD AB 于点F ，AE BC 于点E ．若AE 过圆心O ，1OA ．则四边形BEOF 的面积为()A 3B 3C ．3D 3【分析】根据垂径定理求出AF BF ，CE BE ， AD BD，求出2AOD C ，求出2AOD A ，求出30A ，解直角三角形求出OF 和BF ，求出OE 、BE 、BF ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：如图，连接OB ，CD ∵为直径，CD AB ，AD BD ，2AOD C ，CD AB ∵，AE BC ，90AFO CEO ，AOF COE ∵，OA OC ，()AFO CEO AAS ，C A ，2AOD A ，90AFO ∵，30A ，1AO ∵，1122OF AO ，332AF OF ，同理32CE ，12OE ，CD AB ∵，AE BC ，CD 、AE 过O ，由垂径定理得：32BF AF ，32BE CE ， 四边形BEOF 的面积11311332222224BFO BEO S S S．故选：B ．第21页共21页3.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到372AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，37AB m ，7CD m ，设主桥拱半径为R m ，(7)OD OC CD R m ，OC ∵是半径，OC AB ，137()22AD BD AB m ，在RtADO 中，222AD OD OA ，22237((7)2R R ，解得15652856R．故选：B ．。
垂径定理-练习题 含答案
垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。
《垂径定理》精编测试题及参考答案(教材同步)
《垂径定理》精编测试题及参考答案测试题一1.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,求AB的长.2.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=6,求CD 的长.2.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160cm,求油的最大深度.4.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,求⊙O的直径.5.如图,“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.̂,点O是这段弧所在圆的圆6.如图,一条公路的转弯处是一段圆AB̂的中点,CD⊥AB且CD=10m,求这段弯路所在圆的心,AB=40m,点C是AB半径.7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,求⊙O的周长.测试题二8.如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A、D在MN上,顶点B、C 在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,求AD边的长.9.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求BD的长.10.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5º,CD=8cm,求⊙O的半径.11.如图,已知⊙O的半径是5,弦AB与弦CD平行,它们之间距离为5,AB=6,求弦CD的长.12.AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,若CD长为6,求⊙O的半径.13.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.(1)求此下水管横截面的半径;(2)随着污水量的增加,水位又被抬升了0.7米,求此时水面的宽度增加了多少?参考答案1.82.√23. 40cm4. 55.136.257.1328.69.2√310.4√211.4√612.2√3 12.0.5 0.2。
垂径定理----作垂直,证半径
24.2.2(2.2)---作垂直，证半径
一．【知识要点】
1.作垂直，证半径
二．【经典例题】
1.如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为O，⊙O与AC相切于点D，EB⊥BA交AC延长线于点E，与⊙O相交于F,G两点。
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若EC=4，求EF的长。
三．【题库】
【A】
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．求证：AC是⊙O的切线；
【B】
【C 】
1.已知点00(,)P x y 和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 的距离证明可用公
式例如：求点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离．
解：∵直线y=3x+7，∴k=3，b=7．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点P(1,−1)到直线y=x −1的距离；
(2)已知直线y=−2x+4
与y=−2x −6平行，求这两条直线之间的距离． 说明理由；
【D 】
1．如图1，O 是△ABC 的边BC 的中点，⊙O 与BC 交于E 、F 两点，与AB 相切于点D ，连接AO 交
⊙O 于点P ，＝．
(1)猜想AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想．（6分）
(2)如图2，延长AO 交⊙O
于Q 点，连接DE 、DF ，DQ ，FQ ，FQ ＝
，ED ＝5，求
DQ 的长．（6分）。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.B作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
垂径定理及答案
垂径定理 姓名※垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.例1.如图，一个矩形与⊙0相交，AB=4,BC=5,DE=3.求EF的长.例2.今有圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?(《九章算术》《勾股》章第九题)例3．如图，CD是⊙0的一条直径.AB是一条不与CD相交的弦，自C,D分别作AB的垂线，垂足为E和F.求证：AE=BF.例4.设C1 ,C2 ,C3是某个圆中处于圆心同一侧的三条平行弦.C1与C2间的距离等于C2和C3间的距离，三条弦的长度分别是20,16,8.求这个圆的半径.例5.⊙0中，弦CD与直径AB相交于P.若∠DPB =45°,⊙O的半径长记为R.求证:PC2+PD2=2R2.例 6.在波平如镜的湖面，高出半尺的地方长着一朵红莲，它孤零零地直立在那里，突然被狂风吹倒在一边，有一位渔人亲眼看见，它现在有两尺远离开那生长地点.请你来解决一个问题，湖水在这里有多少深浅?例7.P是⊙01与⊙02的一个交点，过P点作平行于0102的直线交⊙01于A，交⊙02于B，过P 点作另一直线交⊙01于C，交⊙02于D.求证：AB>CD.例8.⊙0与一正方形ABCD相交，如图所示.A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2是八个交点.求证:AA1+AA2+CC1+CC2=BB1+BB2+DD1+DD2.例9.圆内两条非直径的弦相交，试证它们不能互相平分.垂径定理练习 姓名1.⊙0与另外两同心圆相交，交大圆于点A,B，交小圆于点C, D.求证：AB∥CD.2.以∠A平分线上一点0为圆心画一个圆，在∠A的两边上截得的两条弦为BC和DE.求证：BC=DE.3.直角三角形中，直角边AC=8cm，另一直角边CB =15cm，以直角顶点C为圆心CA为半径画弧交斜边AB于点D.求AD的长.4.一条弦与一条直径成45°角，试证:该弦被直径所分两线段的平方和等于该圆半径平方的两倍.5.以AB为直径画半圆O，C是半圆上一点，作OD⊥AC于D.连结BD交OC于E，若BD长为15厘米，求BE的长.垂径定理 参考答案※垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.例1.如图，一个矩形与⊙0相交，AB=4,BC=5,DE=3.求EF的长.例2.今有圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?(《九章算术》《勾股》章第九题)例3．如图，CD是⊙0的一条直径.AB是一条不与CD相交的弦，自C,D分别作AB的垂线，垂足为E和F.求证：AE=BF.例4.设C1 ,C2 ,C3是某个圆中处于圆心同一侧的三条平行弦.C1与C2间的距离等于C2和C3间的距离，三条弦的长度分别是20,16,8.求这个圆的半径.例5.⊙0中，弦CD与直径AB相交于P.若∠DPB =45°,⊙O的半径长记为R.求证:PC2+PD2=2R2.例 6.在波平如镜的湖面，高出半尺的地方长着一朵红莲，它孤零零地直立在那里，突然被狂风吹倒在一边，有一位渔人亲眼看见，它现在有两尺远离开那生长地点.请你来解决一个问题，湖水在这里有多少深浅?解得x=3.75(尺)例7.P是⊙01与⊙02的一个交点，过P点作平行于0102的直线交⊙01于A，交⊙02于B，过P 点作另一直线交⊙01于C，交⊙02于D.求证：AB>CD.例8.⊙0与一正方形ABCD相交，如图所示.A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2是八个交点.求证:AA1+AA2+CC1+CC2=BB1+BB2+DD1+DD2.例9.圆内两条非直径的弦相交，试证它们不能互相平分.垂径定理练习 参考答案1.⊙0与另外两同心圆相交，交大圆于点A,B，交小圆于点C, D.求证：AB∥CD.2.以∠A 平分线上一点0为圆心画一个圆，在∠A求证：BC=DE.3.直角三角形中，直角边AC=8cm，另一直角边CB=15cm，以直角顶点C 为圆心CA 为半径画弧交斜边AB 于点D.求AD 的长.4.一条弦与一条直径成45°角，试证:该弦被直径所分两线段的平方和等于该圆半径平方的两倍.5.以AB 为直径画半圆O，C 是半圆上一点，作OD⊥AC 于D.连结BD 交OC 于E，若BD 长为15厘米，求BE 的长.。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案1. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别为E、F。
求证：AE=AF。
答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。
又因为DE垂直于AB，DF垂直于AC，所以∠AED=∠AFD=90°。
在三角形AED和三角形AFD中，∠AED=∠AFD，∠BAD=∠DAC，AD公共，根据AAS（角角边）判定，三角形AED≌三角形AFD。
因此，AE=AF。
2. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的高，E是AC上的一点，且AE=EB。
求证：DE=DC。
答案：证明：由于AD是BC边上的高，所以∠ADC=∠ADB=90°。
又因为AE=EB，所以三角形ABE是等腰三角形，∠BAE=∠AEB。
在三角形ADC和三角形ADB中，∠ADC=∠ADB，∠CAD=∠ABD，AD公共，根据AAS 判定，三角形ADC≌三角形ADB。
因此，DE=DC。
3. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且AE=EC。
求证：DE=DC。
答案：证明：由于AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
又因为AE=EC，所以三角形AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ECA。
在三角形ADE和三角形CDE中，∠ADE=∠CDE，∠DAE=∠DCE，DE公共，根据ASA判定，三角形ADE≌三角形CDE。
因此，DE=DC。
4. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，E是BC上的一点，且BE=EC。
求证：DE=DF。
答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。
又因为BE=EC，所以三角形BEC是等腰三角形，∠EBC=∠ECB。
在三角形ABD和三角形ACD中，∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，AD公共，根据ASA判定，三角形ABD≌三角形ACD。
因此，DE=DF。
5. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC上的一点，且AE=EB。
垂径定理典型例题及练习
【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是欽绲腫賁軔铼剮誒緦骞恹輿筍谭黲枨贵珑莳苋鸩捡耸殚脐剀继剧荞缚鐃鳩俪谥圆颏輻嗇惡呛櫪组颓緗轢箩約鱼產辐鹃钠俭躒劲苎鸭拦尘谖。
(完整版)圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
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典型例题分析：
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B ．过弦的中点的直线必过圆心
C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
D ．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深
度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.
2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的
最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .
（1）求证：四边形OEHF 是正方形.
（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.
4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．
5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是
的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2
1BF.
O A E F
例题3、度数问题
1、已知：在⊙O中，弦cm
12
=
AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB
∠的度数和圆的半径.
2、已知：⊙O的半径1
=
OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC
∠的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的
半径分别为b
a,.求证：2
2b
a
BD
AD-
=
⋅.
例题7、平行与相似
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于
CD
AE⊥E，CD
BF⊥于F.求证：FD
EC=.
A B
D
C
E
O
作 业：
一、概念题
1．下列命题中错误的有（）
（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦
（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）
（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤
（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<
3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的
是（ ）
A ．DE CE =
B ．
C ．BA
D BAC ∠=∠ D ．AD AC >
4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等
弧有（ ）对。
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
二、垂径定理
1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .
2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm
3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm
4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高
_____=CD m.
5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽
24=AB ，则水管中水深是_______cm.
6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，
则OM 的长为（ ）
A ．3cm
B ．2cm
C ．1
D ．3cm
8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE
的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．55cm
D ．73cm
10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．2cm
D ．3cm
11如图，已知⊙O 的半径为cm 6，两弦AB 与CD 垂直相交于E ，若cm CE 3=，
cm DE 9=，则=AB （ ）
A ．cm 6
B ．cm 33
C ．cm 3
D ．cm 36
三、度数问题
1、在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB 的中点，延长OC 交⊙O 于D ．若CD OC =，则AOB ∠的度数是（ ）．
A ．︒90
B ．︒100
C ．︒120
D ．︒60
四、相交问题
1、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm 和4cm 两部分，则弦心距为（ ）
A ．33
B ．3
C ．2
1 D ．23 五、平行问题
1、 圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2，又两弦之间距离为cm 3，则圆的半径长是 cm
2、 在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为cm 8、cm 6，则这两条弦之间的距离为________
六、同心圆
1、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（ ）
A ．0.5cm
B ．1cm
C ．1.5cm
D ．2cm
七、平行于相似
1、如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．求证：BF AE =．。