高考理科数学专题十一 应用题的解法

1
所以Q(a)=
9 ( 6 a ), 4 (3 1 a ) 3 , 3
3
3 a＜ 9 2
9 2
,
a 5
答：若3≤a＜
2 3
9 2
，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润
9 2
L最大，最大值Q(a)=9(6－a)（万元）；若 a) （万元）. 3
31
≤a≤5，则当每件售
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应试策略
（2）建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型， 这是解题的关键；数学模型的建立主要有两种途径，一利用所 学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与
题目所给信息相结合，建立数学模型；二是利用题目所给的已
知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条 件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可
300 x
1
300 x
+3x+357≥417
=3x，即x=10时，y1有最小值
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
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考题剖析
（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次
饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲
料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2=
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应试策略
(5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是
从思想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方
法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组 合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正
面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当
正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念， 在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在 解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、 化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学 期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象.
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考题剖析
3.（2007· 湖南部分学校联考）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两 种方案： 方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤 积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递 增20万元.
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口 淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营.据测算， 开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上 一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.
4
1 1 .5
=2600＜6000, 故n必定不小于5，
则由 2600+320·1.54(n－4)＞6000，
解得n＞6
8 81
,故n的最小值为7.
答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资.
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考题剖析
（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收
益分别为y1, y2万元，则
第二部分
专题十一 应用题的解法
应用题的解法
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06
15
应用题的解法
试题特点
应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的 能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题 人的青睐，并成为每年高考题的必备题型.高考应用题是高考 成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往 往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型； 在运算时，由于生活经验的缺失 ，不知如何处理数据 .这 些都是常见的错误.
应试策略
应用题的解法
应试策略
1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却
是一个程序化的过程：
（1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较 多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、
至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，
往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提 取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼 群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要 理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步.
x b
达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或 图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的 实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题 目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的
类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、
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应试策略
3.要做好高考应用题，要注意以下三个方面：
(1)文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题
目中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所 求，思考可能采用的方法——审题 (2)建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模， 其中代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知识进 行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上； 几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实 际问题几何化，解决实际问题. (3)运算关：考查学生运算的稳定度，精确度.
考题剖析
应用题的解法
考题剖析
1.（2007·梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂
每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的
保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支 付运费300元. （Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最小； （Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨 时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑 利用此优惠条件，请说明理由.
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应试策略
(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角
形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的
最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知 识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.
(4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使
此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛 物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在 理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定 比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切 线的关系等求解问题.
以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年的总量
+鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量.
应用题的解法
应试策略
（3）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解
答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，
无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如 保留几位小数等）、运算方法的优化问题等. 综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和 一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子，计算方
背景而命题的应用题.审题时要注意是平均价格的计 算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要 注意应用均值不等式的条件，在第一问中可以直接 应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的
单调性来求解.
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考题剖析
2.（2007· 福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每 件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件. （Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函 数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大， 并求出L的最大值Q(a).
法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还
考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.
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应试策略
2.应用题在考查知识上主要有：
（1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计， 所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数， 以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表
1 x
(3x2－3x+300)+200×1.8×0.85=
300 x
300 x
+3x+303(x≥25)
∵y′2=－
+3 2
∴当x≥25时，y′2＞0，即函数y2在［25，+∞)上是增函数
∴当x=25时，y2取得最小值为390，而390＜417
∴该厂应接受此优惠条件
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考题剖析
［点 评］这是一道以常见的进货及储存费用为
价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3－
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考题剖析
［点 评］本题主要考查函数及应用导数研究函数的最 值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.
本题关键是求出利润L（万元）与售价x的函数关系
式，从而将待求的最值转化为目标函数——三次函数的最 值，这时方法明朗即利用导数求最值.
应用题的解法
试题特点
近三年高考应用题出现如下特点：
1.命题点集中：2005年应用题，除了上海、湖南、天津；
2006年应用题除上海(三角)、湖北(抽样)、江苏(立几)以外所有 省市命题均集中在概率与统计这一知识点，等可能事件、互斥
事件、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望
结合出题成为热点.但对于2007年各地试卷而言,虽说概率统计还 是出应用题的热门素材(有11道)外,另传统内容也出现了回热现
［解析］（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系 式பைடு நூலகம்: L=(x－3－a)(12－x)2，x∈［9，11］.
应用题的解法
考题剖析
（Ⅱ）L′(x)=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) =(12－x)(18+2a－3x). 令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.
3 2 2 3 28 3
常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系 清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是
否符合实际意义.
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应试策略
（2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，
所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、
前n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增 长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问
（1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正 数）？ （2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？ （收益＝收入－投资）
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考题剖析
［解析］（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的
累计总收益为正数.
在方案乙中，前4年的总收入为
320 (1 1 . 5 )
y1=760n－［50n+
1 2
n(n－1)·20］=－10n2+720n,
当n≤4时，则y1＞0, y2＜0,可得y1＞y2.
当n≥5时，y2=2600+320·1.54(n－4)－6000=1620n－9880，
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考题剖析
［解析］（Ⅰ）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平
均每天支付的总费用为y1
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x天饲料的保管与其它费用共是
6(x－1)+6(x－2)+…+6=3x2－3x(元) 从而有y1= x (3x2－3x+300)+200×1.8= 当且仅当
∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤
在x=6+ 所以:
2 3
.
a两侧L′的值由正变负.
2 3
（1）当8≤6+
a＜9即3≤a＜
时，
2
9
Lmax=L(9)=(9－3－a)(12－9)2=9(6－a).
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考题剖析
（2）当9≤6+
2 3 2 3
a≤
28 3
即
9
2
≤a≤5时，
2 3
Lmax=L(6+a)=(6+ a－3－a)［12－(6+ a)］2=4(3－ a)3，
题.常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后
应用数列求和或特殊数列求和求解；②利用无穷等比数列的 求和公式求解，往往与极限结合出题；③构造数列通项的递 推公式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求解， 注意n的范围问题；④通过类比归纳得出结论，用数学归纳法 或数列的知识求解.
象,涉及函数4道,三角2道,数列1道,立几1道,更有宁夏/海南卷出
现了三角与概率各一道共两道应用大题.
应用题的解法
试题特点
2.背景丰富公平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局
三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认 同感强，理解准确. 3.运算设计合理，应用题主要出现在18题—20题，题目难 度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对 运算的稳定度、运算的准确度要求较高.