高考理科数学专题十一 应用题的解法
2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)
专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。
高考数学《热点重点难点专题透析》专题复习 第11专题高考中解答题的解题方法课件 理
求出它的体积.
【解析】(法一
)(1)∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B,∴PC⊥平
面ABC,
又∵PC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)取BC的中点N,则CN=1,连结AN、MN.
∵PM CN,∴MN PC,从而MN⊥平面ABC.
作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连结MH,
引言
2
引言
2
M N
2 3
1
在△MNH中,tan∠MHN= = = ,
N H
3
3
2
主要题型剖析
解答题解题
方法训练
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为 .2 1
7
(3)由(2)知四边形PCNM为正方形,连结MC,
1 1
∴VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN= ×
3 2
AC·CN·sin 120°·MN= .
AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM
与直线PC所成的角为60°.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)求二面角M-AC-B的平面角的余弦值;
(3)求三棱锥P-MAC的体积.
引言
主要题型剖析
解答题解题
方法训练
【分析】(1)要证面面垂直先证线面垂直;(2)注意空间向量与二
面角的联系;(3)三棱锥的高可以用空间向量的方法来求,进而可
1 2
(1)求a,b的值;
(2)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0, ]上总有实数解,求实
2
数k的取值范围.
【分析】利用f( )=2和f‘(x)的对称轴可以列出关于a,b的方程
6
2021全国理乙卷数学11题秒杀技巧
针对2021全国理乙卷数学11题，以下是一些建议和技巧：
1. 仔细阅读题目：在开始解答之前，花些时间仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。
这有助于避免在解题过程中出现错误。
2. 理清思路：根据题目的要求，尝试找到解决问题的思路。
可以通过画图、列式子等方式帮助理解并组织思维。
3. 分析选项：对于选择题，如果你不确定答案，可以尝试逐个分析选项。
有时候，排除掉明显错误或不符合条件的选项，可以提高正确答案的概率。
4. 利用已知信息：题目中可能会提供一些已知信息，利用这些信息来简化问题或者推导出更多的结论。
这可以帮助缩小解题范围或得到更具体的答案。
5. 多种解法：尝试使用不同的解题方法和角度来解答问题。
有时候，一个问题可以有多个解法，通过比较不同解法的优劣，可以选择最有效的方法。
6. 时间管理：在考试中，时间管理非常重要。
如果某道题目卡壳了，不要浪费太多时间，可以先跳过去解答其他题目，然后再回来解决这个问题。
7. 练习和复习：提高解题能力需要不断的练习和复习。
通过做更多的数学题目，熟悉各种解题技巧和方法，可以更好地应对考试中的问题。
这些是一些建议和技巧，希望对你在解答2021全国理乙卷数学11题时有所帮助。
祝你成功！
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高考新题型巧解点悟 专题十一 立几中的证明问题
专题十一立几中的证明问题一、新题型内核表解二、新题型巧解点悟1．分析综合法【例1】如图1，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【分析】题中以直四棱柱A1B1C1D1-ABCD为依托，要对底面四边形ABCD补充一定的条件，使之能推出A1C⊥B1D1的结论，也就是说，要寻求使A1C⊥B1D1成立的一个充分条件，而且该条件是以四边形ABCD的几何元素来表示的．这样的条件并不惟一，可以在一个比较宽广的天地展开思考和探索．因此，该题是一道典型的开放型和探索型试题．【解】因B1D1∥BD，故所求结论A1C⊥B1D1等价于A1C⊥BD．而A1C、BD分别为平面ABCD的斜线与平面内的直线，且AC为A1C在平面ABCD内的射影，故由三垂线定理可知：仅当平面内的直线BD垂直于斜线A1C在平面内的射影AC时，斜线A1C就垂直于平面内的这一条直线BD．因此，本题只须填上使平面内的两相交直线AC与BD垂直的充分条件即可．显然，AC⊥BD，便是一个条件，它即可作为本题的一个答案．其它可推出AC⊥BD的充分条件亦可作为该题的答案．如四边形ABCD为菱形；ABCD为正方形；AB=AD且CB=CD；BA=BC 且DC=DA，等等．【点悟】解题关键点：执果索因，抓住目标A1C⊥B1D1，寻求使它成立的充分条件，相对集中各种已知条件，逐步缩小研究的范围，直至得到所要的条件．【例2】如图2（1），已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCDA1B1C1D1图1·专题十一·第100 页·ABCD为菱形，且∠C1CB =∠C1CD =∠BCD =60˚．（1）证明：CC1⊥BD；（2）当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．【证】证法一（1）连结AC交BD于点O，连C1O，如图2（2）所示．因四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，BC=CD．又∠C1CB=∠C1CD，C1C=C1C，故△BCC1≌△DCC1，于是，C1B=C1D．而DO=OB，故C1O⊥BD．因AC⊥BD，AC∩C1O=O，故BD⊥平面CAC1．由于CC1⊂平面CAC1，故C1C⊥BD．（2）由（1）知BD⊥平面CAC1，而A1C⊂平面CAC1，故BD⊥A1C．当CDCC1=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法，可得BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，于是A1C⊥平面C1BD．证法二（1）作DE⊥CC1于E，连结BE，如图2（3）所示．因四边形ABCD为菱形，故CB=CD．由∠C1CB=∠C1CD，EC=EC，得△ECB≌△ECD，于是∠BEC=∠DEC=90˚，因此，BE⊥CC1．所以，C1C⊥平面DEB．因BD⊂平面DEB，故CC1⊥BD．（2）当CDCC1=1时，能使A1C⊥平面C1BD．因为CDCC1=1，所以BC=CD =C1C．又∠BCD =∠C1CB =∠C1CD =60˚，故BD =C1B =C1D =CD，于是三棱锥C-C1BD是正三棱锥．设A1C与C1O相交于G（如图2（3）所示），由于A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，故C1G∶GO=2∶1．又C1O是正△C1BD的边BD上的高和中线，于是点G是正△C1BD的中心，故CG⊥平面C1BD，即A1C⊥平面C1BD．【点悟】①解题关键点：善于联想正方体中的有关结论，是本题中第（2）小问顺利求解的关键．如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面C1BD及平面AB1D1均垂直，且该两平面将A1C三等分；三棱锥C-C1BD为正三棱锥；A1C与各个面上的各一条对角线互相垂直，而该面上的另一条对角线则为A1C在该平面内的射影，等等．②解题技巧：证明线线垂直的常用方法是：先证明线面垂直，通过线面垂直再得到线线垂直；利用三垂线定理及其逆定理，查找平面内的直线与平面的斜线或斜线在平面内的射影的垂直关系，证明另一个垂直关系．2．剪拼法【例3】给出一块任意三角形的纸片（如图3所示），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，并作简要说明．图3ABC D A1B1C1D1（1）ABC DA1B1C1D1O（2）CABDA1B1C1D1E OG（3）图2·专题十一·第101 页·【分析】这是2002年高考数学是试题，它主要检测考生动手实践能力及创新能力．【解】（1）将任意三角形的纸片剪拼成面积相等的矩形．如图4（1），AD BC于D，E、F、G、H分别为BD、DC、AB、AC的中点，则△ABC可剪拼成面积相等的矩形EFNM．（2）在矩形EFNM中，剪拼两个全等的正三角形分别作为直三棱柱的两个底面．如图4（2），以矩形中较短的一边（如图4（2）中的NF）为边长，在矩形内作正三角形NFP，过P作NF的平行线分别交EF、MN于Q、S，平移△PQF至△RSN，则△RPN与△NFP为全等的正三角形．该两三角形正好用去了矩形QFNS．（3）将剩下的矩形EQSM剪拼成直棱柱的侧面．如图4（3），将矩形的边EQ三等分，从而可剪得三个全等的矩形UQSV、XUVY、EXYM．以UQ为直三棱柱的高，则这三个矩形刚好可剪拼成一个直三棱柱的侧面．【点悟】①解题关键点：上述解法是基于下面的考虑而得到的：任意三角形的纸片不规则，而剪拼成的直三棱柱的侧面展开图为矩形，如果能将不规则的纸片剪拼成规则的矩形纸片，也许问题便容易解决了．这便是由一般到特殊的思考方法．②本题可推广如下：（1）任意三角形纸片均可剪拼成正三棱柱（其全面积与三角形的面积相等）的模型．（2）以任意三角形纸片剪拼成的直三棱柱（其全面积与三角形的面积相等）的模型中，以正三棱柱的体积为最大，且此时正三角形的底面边长a与棱柱的高h的关系为a= 3h．简证如下：设三角形纸片的面积为定值S，直三棱柱的底面三角形的面积、半周长分别为s，p．于是S=2s +2ph，V=sh．首先，因面积一定的三角形以正三角形的周长为最小，故当高h一定时，以底面三角形为正三角形的直三棱柱的体积为最大．其次，当底面三角形为正三角形时，s=34a2，p= 32a，于是S=32a2 + 3ah= 32a2 + 32ah +32ah≥3·3938a4h2，当且仅当32a2 = 32ah，即a= 3h时，a2h有最大值为2 · 41227S1. 5，从而V=sh= 34a2h亦有最大值为410854S1. 5．（3）任意三角形纸片可剪拼成底面三角形形状亦为任意的直三棱柱（其全面积与三角形的面积相等）的模型．3．割补法【例4】如图5，正三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面的三条对角线AB1、BC1、CA1中，若AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1．【分析】空间中证线线垂直可转化为证线面垂直，或转化为证共面垂直，或直接运用三垂线定理与逆定理．【证】证法一将三棱柱补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如（1）（2）Y VMQ（3）图4ABCA1B1C1图5·专题十一·第102 页··专题十一·第 103 页·图6（1）．于是，BC 1∥=AD 1． 因AB 1⊥BC 1，故AB 1⊥AD 1，从而△B 1AD 1为等腰三角形．设A 1B 1=a ，则B 1D 1= 3a ，于是AB 1=AD 1= 62a ．在Rt △AA 1B 1中，AA 1=AB 12-A 1B 12 =22a ． 设A 1C ∩AO 1=E ，则E 为A 1C 的三等分点．故A 1E = 13A 1C = 66a ．又E 为AO 1的三等分点，故O 1E = 13AO 1= 13 · 32a = 36a ．由于 A 1E 2+O 1E 2= 16a 2 + 112a 2 = 14a 2=A 1O 12，故A 1E ⊥O 1E ，即A 1C ⊥AO 1． 又 B 1D 1⊥A 1C 1，故 B 1D 1⊥A 1C ． 从而 A 1C ⊥平面B 1AD 1． 所以 A 1C ⊥AB 1．证法二 过B 1在面B 1BCC 1内作B 1D ∥BC 1，交CB 的延长线于D ，过A 在面ACC 1A 1内作AE 1∥CA 1，交C 1A 1的延长线于E 1，连B 1E 1、AD ，如图6（2）．于是，B 1E 1=AD ． 又B 1D =BC 1=AB 1=A 1C =AE 1， 故 △AB 1D ≌△B 1AE 1． 于是 ∠AB 1D =∠B 1AE 1． 因为 ∠AB 1D =90˚， 所以 ∠B 1AE 1=90˚，即 AE 1⊥AB 1． 又A 1C ∥AE 1， 所以A 1C ⊥AB 1．【点悟】解题技巧：在立体几何中，为了便于问题的解决，常对立体图形进行分割，把一个复杂的图形分割成几个简单图形或把不易求解的图形分割成易于解决的若干图形；有时，也可对立体图形进行补形，补成一个熟知的图形，通过这样的分割与补形，可使问题化整为零，积零为整，化难为易．本例中，解法一是将三棱柱补成为四棱柱，利用线面垂直证线线垂直的；解法二是将三棱柱补成为一个更大的三棱柱，利用共面垂直而证线线垂直的．【例5】如图7，三棱锥P -ABC 中，已知P A ⊥BC ，P A =BC =l ，P A 、BC 的公垂线ED =h ，求证：三棱锥P -ABC 的体积V = 16l 2h ． 【分析】三棱锥的体积V = 13Sh （S 为底面积，h 为高），而这里的难点是高h 怎样求？求高，必然要用到垂直，而公垂线本身就有两处垂直关系，如何将它们有机地联系起来，便是我们解决这个问题的出发点．于是，我图611ABCA 1B 1C 1（2）DD 1EE 1A C PDE 图7·专题十一·第 104 页·们可尝试作高、作中垂面、补成更为熟知的体积易求的几何体，这便有如下的多种证法．【证】证法一 因BC ⊥P A ，BC ⊥DE ， 故BC ⊥平面P AD ． 又 BC 平面ABC ，所以 平面P AD ⊥平面ABC ．连结AD 、PD ，过P 作PO ⊥AD ，交AD 于O ，如图8（1）所示，则PO ⊥平面ABC ．又 Rt △P AO ∽Rt △DAE ，故 P A AD = PO DE ，即 PO ·AD = P A ·DE ．V P -ABC = 13S △ABC ·PO = 13·(12BC ·AD )·PO = 16P A ·DE ·BC = 16l 2h ．证法二 如图8（2），连BE 、CE ，由P A ⊥BC ，P A ⊥ED 可知 P A ⊥平面BCE ．于是，V P -ABC = V P -BCE +V A -BCE= 13S △BCE ·PE + 13S △BCE ·AE = 13S △BCE ·(PE +AE ) = 13S △BCE ·P A = 13·(12BC ·ED )·P A= 16l 2h ． 证法三 如图8（3），三棱锥P -ABC 中，侧棱P A 和底面一边BC 异面垂直，不妨把BC 平移到AF ，使△ABC 补成平行四边形ABCF ，连PF ，得四棱锥P -ABCF ，且V P -ABC = V P -ACF ．因为BC ∥AF ， 故BC ∥平面AFP ．于是，BC 到平面AFP 的距离即为BC 与P A 的距离h ，也就是BC 上任一点C 到平面AFP 的距离．又P A ⊥BC ， 故 P A ⊥AF ．于是，V P -ACF = 13S △P AF ·h = 13·(12P A ·AF )·h = 16l 2h ．故 V P -ABC = 16l 2h ．【点悟】①解题规律：把握住已知条件中直线与直线的位置关系，用立体几何、平面几何知识使其转化为求体积的条件，以严密的推理去计算出正确的结论是一种好的常用方法．②解题技巧：利用等体积法，改变三棱锥的顶点，可方便地计算出点到平面的距离．例如问题：将正方体截下一个小的角得P ABC ，其中P 为原正方体的顶点，且P A =a ，PB =b ，PC =c ，（a 、b 、c ＜d ，d 为原正方体的棱长），试求点P 到平面ABC 的距离．便可ACP DE （1） O 图8（2）ACPD EABCPD E（3）F利用V P-ABC=V A-PBC来计算．因以A为顶点的三棱锥A-PBC的体积V A-PBC是容易计算的，它的高为AP，底面为Rt△PBC，于是V A-PBC= 13a·12bc =16abc；而以P为顶点的三棱锥P-ABC的底△ABC的面积是可求的，其三边长分别为a2+b2、a2+c2、c2+b2，高是要求的，利用体积相等即可得到所求高的表达式，从而点P到平面ABC的距离即可算得．4．反证法【例6】直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A．从P 看地平面上一物体B（不同于A），直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平南N（如图9），证明：平面N必与平面M相交．【分析】两个平面相交的知识，只有公理与定义，与它有关的内容（包括证明方法与理论内容）均比较少，故直接证法有困难，宜采用反证法．【证】证法一假定平面N与平面M不相交，则平面N与平面M重合或平行．如果重合，那么飞机窗玻璃所在的平面就是地面，此与题意矛盾；如果平行，那么因P A⊥平面M，则P A⊥平面N，因此P A与PB重合，B与A两点重合，这与题设“B不同于A”矛盾，所以平面N必与平面M相交．证法二假定平面N与平面M平行（重合，显然不合题意，故略，下同）．由P A⊥平面M，得∠P AB=90˚．又PB⊥平面N，故PB⊥平面M，于是∠PBA=90˚．故∠BP A = 180˚-∠PBA-∠P AB=0˚，从而A、B重合，这也与题设相矛盾．因此，平面N与平面M必相交．证法三因P A⊥平面M，A、B为平面M内不同的二点，则PB是平面M的一条斜线．若平面N∥平面M，则PB⊥平面M（因PB⊥平面N），这与“PB是平面M的一条斜线”的定义相矛盾，所以平面N与必与平面M相交．【点悟】①解题规律：在立体几何中，对条件较少或较抽象、难于从正面解决的问题，尤其是证明两直线异面、否定性命题、惟一性问题、至多至少等问题，用反证法证明往往十分奏效．在运用反证法时应该注意以下几点：第一，推理过程必须正确无误，合乎逻辑，否则即使推出矛盾结果，也不能断定所作的假定（反设）就是错误的，因此，反证法和直接证法一样，论证要一丝不苟，严密有据；第二，在论证过程中，切不可忽视已知条件，否则，就不能引出矛盾，或推出的结果你将不知道它是否错误；第三，用反证法证题时，三个步骤的前两步可以颠倒使用，即反设（假设“B—”）在论证的中途出现是可以的，但引出矛盾后，第三步“反设不真结论B成立”是不可少的，否则，论证缺乏完整性．②解题技巧：解法一、二依据的是“推出的结果与已知的矛盾”；解法三依据的是“推出的结果与已知定义的矛盾”．5．定义法【例7】如图10，已知平面α内有∠AOB，PO是α的斜线，若∠POA=∠POB（＜π2），求证：PO在α内的射影必平分∠AOB．【分析】欲证PO在α内的射影平分∠AOB，只需证明PO在α内的射影上的任意一点到∠AOB两边的距离相等，为此，则需在PO上任取一点（异于斜足O），证明其在α内的射影在∠AOB的平分线上．A BOPDCHα图10·专题十一·第105 页··专题十一·第 106 页·【证】在OP 上任取一点P （异于O ）．设P 在α内的射影为H ．即PH ⊥α ．过P 分别作PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ．因为∠POA =∠POB ，PO =PO ，故PC =PD ，从而HC =HD ．由三垂线逆定理知HC ⊥OA ，HD ⊥OB ，即H 在∠AOB 的平分线上，于是PO 在α 内的射影平分∠AOB ．【点悟】解题技巧：本题题目证明并不难，结论也很平凡，但用处却很大，很多问题利用它可得到快速的解答，特别是对求解填空题或选择题，更为有效．【例8】如图11，已知四面体ABCD 中，AE ⊥面BCD 于E ，DF ⊥面ABC 于F ．求证：AE 与DF 相交的充要条件是AD ⊥BC ．【分析】首先要分清“充分性”命题，“必要性”命题各是什么；AE 与DF相交是指：AE 与BF 共面，且AE 与DF不平行． 【证】先证“充分性”：“若AD ⊥BC ，则AE 与DF 相交“． 因为AE ⊥面BCD ，所以AE ⊥BC ．又因为AD ⊥BC ，故BC ⊥面ADE ．因此面ADE ⊥面ABC ． 又因为D ∈面ADE ，DF ⊥面ABC ，所以DF ⊂ 面ADE ． 故AE 与DF 共面． 设面AED ∩BC =G ，则AE ⊥DG ，DF ⊥AG ，AG ∩DG =G ．所以AE ，DF 不可能平行，故AE 与DF 必相交． 再证“必要性”：“若AE 与DF 相交，则AD ⊥BC ”． 设AE ∩DF =M ，则AE ，DF 可确定平面α．因为DF ⊥面ABC ，所以DF ⊥BC ，同理AE ⊥BC ，故BC ⊥面α ．又AD ⊂α ，因此BC ⊥AD ．【点悟】①解题关键点：正确分清“充分性”与“必要性”的区别．②解题易错点：“充分性”与“必要性”分不清；另外，推理过程中逻辑性不强．三、新题型变式训练1．已知直线l ⊥平面α ，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ； ③若l ∥m ，则α⊥β； ④若l ⊥m ，则α∥β．其中正确的命题是 （ ） A ．①与③ B ．③与④ C ．②与④ D ．①与② 2．图中是正方体的平面展开图，在这个正方 体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60˚角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中正确命题的序号是 （ ） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④ 3．图中P A 为圆柱的母线，AB 为底面圆的直径，C 为底面圆周上的一点，∠CAB =α ，∠PBA =θ ，∠CPB =β ，则 （ ）A ．cos θsinα=sinβB ．sin θsinβ=sinαC ．cos θcosα=cosβD ．cos θsinβ=cosα4．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是A BCD F EMG 图11 第2题图 ABCP 第3题图·专题十一·第 107 页·EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有（ ） A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG 所在平面 C ．GF ⊥△SEF 所在平面 D ．GD ⊥△SEF 所在平面5．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α.．以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________．6．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β． 其中正确的命题序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）7．已知两条不同直线m 、l ，三个不同平面α、β、γ，以下几个条件：①α⊥γ，β⊥γ；②m ⊂α，l ⊂β，m ⊥l ；③α 内有不共线三点到β的距离相等； ④l ⊥β，m ⊥l ，m ∥α； ⑤l ⊥β，m ⊥l ，m ⊥α．则α⊥β的必要不充分条件是 ．（将你认为正确的序号都填上）8．如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、 面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面内的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都填上）9．△ABC 所在的平面α外一点P ，过P 作PO ⊥平面α，垂足为O ，连接P A 、PB 、PC ．①若P A =PB =PC ，则O 为△ABC 的 心； ②若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则O 是△ABC 的 心；③若P 点到三边AB 、BC 、CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心；④若P A =PB =PC ，∠C =90°，则O 是AB 边的 点；10．如图，斜边为AB 的Rt △ABC ，过A 作AP ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 交于E ，AF ⊥PC 交于F ，求证：PB ⊥平面AEF ． 11．“直度”的定义如下：简单多面体的表面中直角三角形的个数与面数的比值称为直度．（1）试给出直度为1的一个简单多面体；（2）若一个简单多面体的直度为1，试证明它的顶点数V 和面数F ，有F =2V -4的关系．12．如图空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、S G 1G 2 G 3 E FD第4题图 AC D E FA 1B 1C 1D 1第8题图（1）第8题图（2）① ②③④P A B C E F第10题图·专题十一·第 108 页·DA 边的中点，求证四边形EFGH 为平行四边形．某同学给出了以下证明：“因H 、E 分别为AB 、AD 边的中点，故HE = 12DB ．因F 、G 分别为BC 、CD 边的中点，故FG = 12DB ． 所以，HE =FG ． 同理可证，EF =HG ．所以，四边形EFGH 为平行四边形．”以上证明正确吗？请说明理由．若是错误的证明，还请给出正确的证明．13．试证明：在四面体ABCD 中，必存在一个顶点，从它出发的三条棱可以组成一个三角形．14．过点S 作三条不共面的射线SA 、SB 、SC ，设∠ASB = α ， ∠BSC =β，∠CSA = γ（α、β、γ都是锐角）． （1）若cosα·cosβ=cosγ，求证：平面SAB ⊥平面SBC ； （2）若平面SAB ⊥平面SBC ，求证：cosα·cosβ=cosγ．15．在三棱锥O -ABC 中，OA ⊥OC ，OB ⊥OC ，OA ⊥OB ，D 为 △ABC 内的任一点，且∠DOA =α，∠DOB =β，∠DOC =γ． （1）求证：sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2； （2）试比较cos 2γ与sin 2αsin 2β的大小关系； （3）求证：sin 4α+sin 4β+sin 4γ＜2．四、参考答案点拨1．A (命题①是正确的，因为一直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，于是l ⊥平面β，从而l ⊥m ；命题③民是正确的，因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，于是m ⊥平面α ，且平面β经过平面α的垂线 m ．)2．C （将正方体平面展开图复原成正方体，并连结有关线段，只有③④正确．对于命题③，CN 与BM 所成的锐角，就是∠CAN =60˚；对于命题④，BN 在平面DCMN 内的射影NC ，DM ⊥NC ，故利用三垂线定理，即有DM ⊥BN ．）3．A （因AC 为平面ACB 的斜线PC 在平面ACB 内的射影，而平面ACB 内的直线BC 垂直于AC ，故BC ⊥PC ．于是，cos θ= ABPB，sinα = CB AB ，sinβ = BC PB，故cos θsinα=sinβ）4．A （因SG 1⊥G 1E ，故SG ⊥GE ；因SG 3⊥G 3F ，故SG ⊥GF ，又GE 、GF 是平面EFG 内的两相交直线，故SG ⊥平面EFG ） 5．②③④⇒①或①③④⇒②（证②③④⇒①成立：设α∩β=l ，在面α内作直线n ’⊥l ，由于α⊥β，故n ’⊥β．因n ⊥β，于是n ’∥n ．又m ⊥α ，n ’⊂ α ，故m ⊥n ’，从而m ⊥n ．证①③④⇒②成立：在m 上取一点P ，过P 引直线n ’∥n ，则m 、n ’确定了平面γ，设 γ∩α=l ．因m ⊥α.，故m ⊥l ．因m ⊥n ，故m ⊥n ’．由于m 、l 、n ’在同一平面γ内，于是n ’∥l ，从而l ∥n ．而n ⊥β，故l ⊥β．又l ⊂ α，从而α⊥β．注：以下两命题：①②③⇒④及①②④⇒③，均不成立．） 6．②④（由于n 不一定在α和β内，故n 不一定垂直于α（或β）．所以①错；由平行平面的性质定理可知②正确；设m 在α内的射影为l ，则在α内垂直于l 的直线必垂直于m ，而α内与l 垂直的直线有无数条，故③错误；由α∩β=m 可得：m ⊂α且m ⊂β，CD E F MN 第2题图(答)C A BD E F G H 第12题图由直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β，即④正确．故其答案为②④）7．③（当α⊥β时，α与β相交（设交线为l），在以l为棱的α的两个半平面内各有两点和一点，到棱l的距离相等，从而它们到面β的距离也相等．因此，α⊥β α内有不共线三点到β的距离相等．）8．②③(②为BFD1E在面BB1A1A或面DCC1D1内的射影；③为BFD1E在面BCC1B1或面ADD1A1内的射影；而①④不可能为在任何面内的射影．)9．①外（斜线长相等，则射影长相等）；②垂（连结AO、BO．由AP⊥PB，AP⊥PC，得AP⊥平面P AC，于是AP⊥BC．又BC⊥PO，故BC⊥平面APO，于是BC⊥AO．同理可证，AC⊥BO，故O为垂心）③内（设PD、PE、PF分别为点P到三边AB、BC、CA的距离，则由三个Rt△POD、Rt△POE、Rt△POF的斜边分别相同，且共一条直角边知，另一条直角边OD、OE、OF必相等．）④中（由①知，O为△ABC的外心．因直角三角形的外心在斜边的中点处，故O为△ABC的斜边AB的中点）10．因AP⊥平面ABC，故平面APC⊥平面ABC．因BC⊥AC，故BC⊥平面APC，于是BC⊥AF．又AF⊥PC，从而AF⊥平面PBC，故有AF⊥PB．因AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF．11．（1）如图中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，则∠ABD=∠ABC=∠CDB=∠CDA=90˚．它的直度为1．（2）因多面体的直度为1，故多面体的各表面都是三角形，从而棱数E、面数F满足：2E=3F．于是由V+F-E=2，得2V+2F-2E = 4，即2V+2F-3F = 4，移项变形即有F =2V-4．12．证明是错误的．在平面几何中有结论：若一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形．但它在立体几何中却不成立．一个反例如下：设菱形ABCD，连对角线AC，将△ABC 所在平面与△ACD所在平面沿AC边折成一个二面角，则该四边形显然满足四边相等，但却不是平面四边形，更不是平行四边形．正确证明如下：因H、E分别为AB、AD边的中点，故HE∥=12DB．因F、G分别为BC、CD边的中点，故FG∥=12DB．所以，HE∥=FG．所以，四边形ABCD为平行四边形．13．设四面体的六条棱中最长的一条为AB，可以证明A、B两点中至少有一点为所求．用反证法证明．若AB、AC、AD不能组成三角形，则有AB≥AC+AD；同样，BA、BC、BD不能组成三角形，则有AB≥BC+BD．所以，2AB≥AC+AD+BC+BD．①又在△ABC中，AC+BC＞AB；在△ABD中，AD+BD＞AB．将以上两式相加，即得AC+BC+AD+BD＞2AB．②①与②矛盾，故当AB为最长的一条棱时，A、B两点中至少有一点为所求．14．（1）在SA上取点P，作PD⊥SB于D，DE⊥SC于E，设SP=1，则SD= cosα，SE=cosα·cosβ．由已知得SE=cosγ，作PE’⊥SC于E’，则SE’= cosγ，所以E与E’重合．可证SC⊥平面AB D第11题图（答）·专题十一·第109 页·PDE，SC⊥PD，那么PD⊥平面SBC．从而，平面SAB⊥平面SBC．（2）同（1）作D、E，由已知得PD⊥平面SBC，则PD⊥SC，SC⊥平面PDE，SC⊥PE，故PE=cosγ，从而cosα·cosβ=cosγ．故原命题得证．15．（1）以OA、OB、OC上的线段OA′、OB′、OC′为过同一个顶点的三条棱，OD为对角线作一个长方体．设OA′= a，OB′=b，OC′=c，则易得sinα= A'DOD，sinβ=B'DOD，sinγ=C 'DOD．于是，sin 2α+sin2β+sin2γ= A'D2 + B'D2 + C 'D2OD2=(c2+b2)+(c2+a2)+(a2+b2)a2+b2+c2=2．（2）因sin2αsin2β= (a2+c2)(a2+b2)(a2+b2+c2)2=c2 (a2+b2+c2)+a2b2(a2+b2+c2)2＞c2(a2+b2+c2)(a2+b2+c2)2=c2a2+b2+c2= cos2γ，故cos2γ＜sin2αsin2β（3）证法一与（2）同理得，cos2α＜sin2βsin2γ，cos2β＜sin2αsin2γ，三个不等式相加并运用（1）的等式得sin2αsin2β+sin2βsin2γ+sin2αsin2γ＞1，再将（1）的等式两边平方比较即得．证法二显然，α、β、γ都是锐角，于是sinα＜1，sinβ＜1，sinγ＜1，从而，sin4α＜sin2α，sin4β＜sin2β，sin4γ＜sin2γ，将它们相加并利用（1）的结论，即得所证不等式．·专题十一·第110 页·。
2021版新课改地区高考数学(人教B版)一轮复习攻略 十一 函数模型及其应用
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核心素养测评十一函数模型及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先后经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )A.略有盈利B.略有亏损C.不盈不亏D.无法判断【解析】选B.设这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a×1.1n,再经历n次跌停后的价格为a×1.1n×0.9n=0.99n a<a.2.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时,鱼缸内水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是( )【解析】选B.v=f(h)是增函数,且曲线的增长速度应该是先变慢再快,然后由快再变慢.3.有一组试验数据如表所示:x 2.01 3 4.01 5.1 6.12y 3 8.01 15 23.8 36.04则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A.y=-1B.y=x2-1C.y=2 log2xD.y=x3【解析】选B.由表格数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型,选项C不正确.取x=2.01,代入A选项,得y=-1>7,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x3>8;取x=3,代入A选项,得y=-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D 选项,得y=x3=27.4.某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3 km(含3 km),以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的路程x(km)之间的函数图象大致为( )【解析】选C.出租车起步价为10元(最远3 km的路程),即在(0,3]内对应y的值为10,以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费);C 项符合.5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是( )A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.【变式备选】0(2020·三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0) ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B. 设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,因此至少洗4次.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总费用,即总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________,最小值为________万元.【解析】总费用为4x+×6=4≥4×2=240(万元), 当且仅当x=,即x=30时等号成立.最小值为240万元.答案:30 2407.(2020·唐山模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.【解析】设矩形花园的与x相邻的另一边长为y m,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m 时,面积最大.答案:208.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资股票类产品为x万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=+=(0≤x≤20).所以=2,即x=4时,收益最大,y max=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.(15分钟35分)1.(5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )A.点MB.点NC.点PD.点Q【解析】选D.A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;C.假设这个位置在点P,教练离小明的距离最后时间段会越来越近不会再由近至远,而点P不符合这个条件,故本选项错误;D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.【变式备选】已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面【解析】选A.由图象可知,曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.2.(5分)(2019·南京模拟)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资两座城市收益的最大值为 ( )A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,由题意知解得40≤x≤80.令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44,当t=6,即x=72时,y取得最大值44,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.3.(5分)已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b,现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件,则该产品3月份的产量为________万件.【解析】由已知得解得故当x=3时y=-2×0.53+2=1.75.答案:1.754.(10分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=x2+x+150(万元).(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?【解析】(1)由总成本p(x)=x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均成本y===x++1≥2+1=2.当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,所以当m=30时,日平均分拣量有最大值144 000.当m>30时,日平均分拣量为480×300=144 000.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.若传统人工分拣144 000件,则需要人数为=120人.所以日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%=75%.【变式备选】某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意得,该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=(2)由(1)知,当x∈[0,10]时,0≤0.15x≤1.5,因为业务员小李获得3.5万元的奖金,即y=3.5,所以x>10,因此1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.5.(10分)某公司为了实现年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.(参考数据:1.003538≈5,e=2.718 28…,e8≈2 981)【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足①.当x∈[10,1 000]时,y≤ln 1 000+1.下面证明ln 1 000+1≤5.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,满足②.再证明ln x+1≤x·25%,即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x,则F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],所以F(x)在[10,1 000]上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,满足③.综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.1.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:P=,Q=(a>0).若不管资金如何投入,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,则a的最小值应为 ( )A. B.5 C. D.2【解析】选A.设投入x万元经销甲商品,则经销乙商品投入(20-x)万元,总利润y=P+Q=+·.令y≥5,则+·≥5对0≤x ≤20恒成立.所以a≥10-,所以a≥对0≤x<20恒成立.令f(x)=,因为f(x)=的最大值为,且x=20时,a≥10-也成立,所以a min=.2.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值.(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 【解析】(1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
高考数学题难题巧解思路与方法
高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法，就是直接用数学定义解题。
选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）（A ）1342222=-y x（B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x（D ）112132222=-y x【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A ）217（B ）3（C ）5（D ）29 【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得：04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。
高考数学总复习 第十一章 算法框图及推理与证明 课时
课时作业(九十二)1．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)答案 D解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.2．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 答案 D解析 将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)．3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014C.82D.93＋4 3答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2t ×22，y ＝1－2t ×22.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ，代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0. |t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82.4．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为____________，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____________．答案 (x －1)2＋y 2＝1 (x －12)2＋y 2＝14解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y ＝sin θ，∴(x －1)2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.M 点的坐标可以设为M (1＋cos θ，sin θ)，则P (1＋cos θ2，sin θ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝cos θ，2y ＝sin θ.∴(2x －1)2＋(2y )2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴点P 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14.5．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin α，y ＝－2＋t cos α(t 为参数)，其中实数α的范围是(0，π2)，则直线l 的倾斜角是________． 答案π2－α 解析 首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角．直线l 的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π2－α，y ＝－2＋t sin π2－α(t 为参数)，所以根据方程可知直线的倾斜角是π2－α.6．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.答案2解析 由抛物线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 消去t ，得y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|1＋1＝ 2.7．直角坐标系xOy ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．答案 3解析 由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1.故|AB |≥3，最小值为3. 8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．答案 2解析 曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，化为普通方程x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，r ＝1.曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.9．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2×cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y＋m ＝0相切，则m ＝______.答案2 －1或3解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3.10．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．答案 75解析 将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos(θ＋π4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d2＝212－1100＝75. 11．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ(θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线．解析 y ＝4cos2θ＝4－8sin 2θ，由x ＝3sin 2θ，得sin 2θ＝x3.∴y ＝4－83x ，即8x ＋3y －12＝0.∵x ＝3sin 2θ∈[0,3]，∴所求普通方程为8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，它表示一条线段．12．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解析 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1y ＝12t (t 为参数)．(2)方法一 直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°.设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1sin 120°－θ，即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.方法二 直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.13．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解析 (1)直线l 的普通方程为y －1＝－(x ＋1)， 即y ＝－x .① 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.②①代入②，得2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B (22，7π4)．(2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－33＝1.设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝kx ＋k ＋1. ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．14．(2013·衡中模拟)在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |2＝1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π4)＝2，设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝1，θ＝θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝1ρ，θ0＝θ.因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x ＋28)2＋(y －28)2＝116. 则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．15．(2013·百校联盟调研卷)已知圆ρ＝2，直线l ：ρcos θ＝4，过极点作射线交圆于A 点，交直线l 于B 点，直线l 与极轴的交点为N .(1)求AB 中点M 的轨迹的极坐标方程；(2)判断△OMN 能否为等边三角形，并说明理由．解析 (1)设M (ρ，θ)，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)， 则θ＝θ1＝θ2，且2ρ＝ρ1＋ρ2. 由于ρ1＝2，那么ρ2＝2(ρ－1)．而B (ρ2，θ2)在直线l ：ρcos θ＝4上，则ρ2cos θ2＝4， 则2(ρ－1)cos θ＝4，则ρ＝2cos θ＋1.所以AB 中点M 的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋1. (2)若△OMN 为等边三角形，则∠NOM ＝60°. 那么此时|OM |＝2cos60°＋1＝5，而|ON |＝4，知|OM |≠|ON |.那么△OMN 不可能为等边三角形．16．(2013·石家庄模拟)已知直线l ：ρsin(θ－π4)＝4和圆C ：ρ＝2k ·cos(θ＋π4)(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C 的直角坐标； (2)求k 值．解析 ρsin(θ－π4)＝4化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝4，∴x －y ＋42＝0即l 方程．又将⊙C 方程化为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即(x －22k )2＋(y ＋22k )2＝k 2. ∴|22k ＋22k ＋42|2＝|k |＋2.即|k ＋4|＝|k |＋2.两边平方，得8k ＝4|k |－12.k >0时，4k ＝－12，k ＝－3(舍)； k <0时，12k ＝－12，k ＝－1.综上k 值为－1.。
陕西省高考数学 第11题优美解
用心 爱心 专心 1 试题
（理11题、文12题.）
观察下列不等式
213122
+
< 231151233
++<， 222111712344+++< ……照此规律，第五个．．．不等式为 2222211111111++.234566
+++<
解法1：观察、归纳法
观察这几个不等式可以发现左边分母从1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子是左边后两分母底数的和，或是右边分母的二倍少1，于是有：2222211111111+
+.234566+++< 答案：2222211111111++.234566
+++<
解法2：合情推理法
观察前面三个不等式可以发现左边分母从1、2、3的平方依次增加1后的平方，分子全是1，右边分母是左边分数的个数（包含1），分子是右边分母的二倍少1，于是根据合情推理就有：2222211111111++.234566
+++<
赏析
该题主要考察合情推理，从给出的几个不等式的特征猜测、归纳出一般的规律正是体现归纳推理的本质.。
解高考数学应用题方法
解高考数学应用题方法先同后异。
先做同科同类型的题目，思索比较集中，知识和方法的〔沟通〕比较容易，有利于提升单位时间的效益。
高考题一般要求较快地进行"兴奋灶'的转移，而"先同后异'，可以避免"兴奋灶'过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，坚持有效精力。
先小后大。
小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗5.先点后面。
近年的高考数学解答题多浮现为多问渐难式的"梯度题'，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
先高后低。
即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施"分段得分'，以增加在时间不够前提下的得分。
2应用题方法一第一关，事理关。
明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。
第二关，文理关。
阅读理解关，一般数学应用题的文字阅读时事刊物较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义。
第三关，数理关。
用恰当的数学方法去解数学模型。
上述"三关'的突破口在于阅读与转译。
建议从三个方面入手：第一、划分题目的层次。
鉴于应用题题目篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和互相间的关系;第二、体会关键词语。
题目中不免出现一些专业术语或新名词，有的词语采纳即时定义来解释，认真阅读，认真领会即时定义的内涵和外延，是解决问题的关键;第三、弄清题图联系。
认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节;第四、重视条件转译。
将题设材料浮现的文字语言、图形语言转化为符号语言。
3应用题方法二解读：领会题意，并将生活、生产中的语言，译成数学语言;建模：依据题目要求，建立恰当的数学模型，并注意对变量的限制条件;解模：对已经数学化了的问题，用数学方法处理，求出答案;验核：讲述学问替代入实际问题检验，舍去不合理的解，并作答。
高数660第11题
高数660第11题对于高数660第11题，我们来探讨一下解题的方法和思路。
这道题目涉及到数列和求和，我们可以通过一些数学技巧来解决。
首先，我们先来看一下题目的具体内容。
题目要求计算数列S的和，其中数列S的通项公式为：Sn = (n-1) * 2^n其中，n为正整数。
为了更好地解决这道题目，让我们将数列S的前几项列出来，以便观察其规律。
当n为1时，S1 = (1-1) * 2^1 = 0当n为2时，S2 = (2-1) * 2^2 = 4当n为3时，S3 = (3-1) * 2^3 = 16当n为4时，S4 = (4-1) * 2^4 = 48通过观察，我们可以发现数列S的前几项之间存在一定的关系。
我们来看一下相邻两项之间的差值：S2 - S1 = 4 - 0 = 4S3 - S2 = 16 - 4 = 12S4 - S3 = 48 - 16 = 32通过计算，我们可以发现，相邻两项之间的差值是递增的。
这意味着数列S不是一个等差数列，而是一个等差数列的差值序列。
为了更好地理解这个性质，我们可以将数列S的差值列出来：4, 12, 32, ...让我们来计算一下差值序列中的相邻两项之间的差值：12 - 4 = 832 - 12 = 20通过计算，我们可以发现，差值序列的相邻两项之间的差值并不是一个常数，这意味着这个数列不是一个等差数列，而是一个等差数列的差值序列的常数序列。
那么，如何计算数列S的和呢？在这里，我们采用数列求和的公式来解决这个问题。
数列S的和可以通过下面的公式来计算：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a1为数列的首项，r为等比数列的公比。
对于数列S，我们可以将其拆分为两个部分来计算。
第一部分是等差数列的和，第二部分是等比数列的和。
首先，我们计算等差数列的和。
等差数列的首项为4，差值为8，共有n-1项。
所以等差数列的和为：S1 = (n-1) * [4 + (4 + (n-2) * 8)] / 2= (n-1) * (8n - 12) / 2= 4n^2 - 6n接下来，我们计算等比数列的和。
(江西版)高考数学总复习 第十一章11.5 数学归纳法 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.5 数学归纳法练习一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( )．A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12－1＜n (n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )．A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k＋13．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立时，起始值n 至少应取为( )．A ．7B ．8C ．9D ．104．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )． A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N ＋) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N ＋) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N ＋)5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )．A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)6．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1＋9，当n ∈N ＋时，f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，猜想m 的最大值为( )．A ．9B ．18C ．27D ．36 二、填空题7．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，且n ∈N ＋)”，在验证n ＝1时，左边计算所得的结果是__________．8．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于__________．9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立……猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________成立． 三、解答题10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．11．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 12．如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2，3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2， a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N ＋)的横坐标a n 关于n 的表达式并证明．参考答案一、选择题1．C 解析：左边表示从1开始，连续2n ＋1个正整数的和，故n ＝1时，表示1＋2＋3的和．2．C 解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12－1；由n ＝k ，末项为12－1到n ＝k＋1末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，显然增加的项数为2k.3．B 解析：∵1＋12＋14＋…＋127－1＝7112112⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－126＝27－126＝12764， 而1＋12＋14＋…＋128－1＞12764，故起始值n 至少取8.4．B 解析：∵n 为正奇数， ∴n ＝2k －1(k ∈N ＋)．5．C 解析：由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．D 解析：f (n ＋1)－f (n )＝(2n ＋11)·3n ＋2－(2n ＋9)·3n ＋1＝4(n ＋6)·3n ＋1， 当n ＝1时，f (2)－f (1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D 正确． 二、填空题7．1＋a ＋a 2解析：首先观察等式两边的构成情况，它的左边是按a 的升幂顺序排列的，共有n ＋2项．因此当n ＝1时，共有3项，应该是1＋a ＋a 2.8．3k ＋2 解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1＋1)＋(k ＋1＋2)＋…＋(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)，所以其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.9．1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π 三、解答题10．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k2－1)＋4k 2＋4k ＋1＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式都成立．11．解：当n ＝1时，21＋2＝4＞n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6＞n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10＞n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18＞n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2＞n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边＞右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，左边＞右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，左边＞右边．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2＞k 2.那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2·k 2－2.又因为2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2＞(k ＋1)2成立．根据(1)和(2)，可知原不等式对于任何n ∈N *都成立． 12．解：(1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12.(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及2n y ＝3·x n 得212nn a a --⎫⎪⎭＝32(a n ＋a n －1)， 即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)． 下面用数学归纳法予以证明： ①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)，即a k ＋12－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0，解之，得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)〔a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去〕，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由①、②可知，命题a n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)成立．。
2012年数学高考选择题第11题五种解法技巧,你有好的可以告诉我
数学高考选择题第11题五种解法技巧，你有好的解法吗？第11题：已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球的直径，SC=2，则此三棱锥的体积为：A ：「2/6；B：「3/6；C：「2/3；D：「2/2。
解法一：连接AO和BO，我们发现所有的三角形都是正三角形，OC中点M，AM=BM=「3/2，SC垂直于平面ABM。
此题的三棱锥可以看成两个三棱锥的组合，△ABM是底面，一个顶点是S,另一个顶点是C,SC垂直于底面△ABM，所以SM是三棱锥S-ABM的高，CM是三棱锥C-ABM的高。
三棱锥S—ABC的体积就等于1/3底面面积*（SM+CM）=1/3底面面积*SC, 底面△ABM面积=1/2底边*高=1/2*AB*高高可以通过直角三角形求得等于「2/2，所以底面面积等于「2/4，所以三棱锥S—ABC的体积就等于1/3底面面积*SC=「2/6。
选A。
解法二：将ABC做底面，求出S点到底面的高即可。
根据对称性的原理，S点在底面ABC的投影点E在SD(三角形ABC的底边AB 的高)的延长线上。
在三角形SCD中，我们知道三边长，SC=2，CD=「3/2，SD= 「11/2 (根据直径，先求出SA和SC的长，在在直角三角形中求出SD的长)，根据cosA(b2+c2-a2)/2bc，可以求出角SCD的cos值「3/3，和sin值，sin值为「6/3，在直角三角形SCE中，知道sin值，知道斜边，所以高可以求出来。
高=2「6/3。
所以三棱锥S-ABC的体积=1/3底面面积*高=1/3*（1/2*1*「3/2 ）* =「2/6解法三：也可以将C点作为顶点，SAB为底面来求三棱锥体积。
解法四：分析：此题是选择题，考的目的不是让你去计算出结果，因为计算结果十分复杂，而是考核你空间思维能力，考核你比较大小的能力，考核的是球体积、三棱锥体积计算。
我们发现，在一个球体内以AM为半径的圆与S点和C点组成两个圆锥，圆锥体积为1/3底面面积*高=1.57圆锥里面可以有多少个这样的三棱锥，在5个到6个之间，也就是说做5个有剩余，做6个不够，比较靠近6个，五个这样的三棱锥体积加上剩余部分要小于圆锥体积，所以，三棱锥的体积应该远小于0.31。
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应试策略
应用题的解法
应试策略
1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却
是一个程序化的过程：
（1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较 多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、
至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，
往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提 取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼 群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要 理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步.
应用题的解法
应试策略
(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角
形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的
最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知 识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.
(4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使
此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛 物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在 理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定 比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切 线的关系等求解问题.
考题剖析
应用题的解法
考题剖析
1.（2007·梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂
每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的
保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支 付运费300元. （Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最小； （Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨 时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑 利用此优惠条件，请说明理由.
1
所以Q(a)=
9 ( 6 a ), 4 (3 1 a ) 3 , 3
3
3 a＜ 9 2
9 2
,
a 5
答：若3≤a＜
2 3
9 2
，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润
9 2
L最大，最大值Q(a)=9(6－a)（万元）；若 a) （万元）. 3
31
≤a≤5，则当每件售
象,涉及函数4道,三角2道,数列1道,立几1道,更有宁夏/海南卷出
现了三角与概率各一道共两道应用大题.
应用题的解法
试题特点
2.背景丰富公平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局
三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认 同感强，理解准确. 3.运算设计合理，应用题主要出现在18题—20题，题目难 度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对 运算的稳定度、运算的准确度要求较高.
应用题的解法
考题剖析
［解析］（Ⅰ）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平
均每天支付的总费用为y1
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x天饲料的保管与其它费用共是
6(x－1)+6(x－2)+…+6=3x2－3x(元) 从而有y1= x (3x2－3x+300)+200×1.8= 当且仅当
价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3－
应用题的解法
考题剖析
［点 评］本题主要考查函数及应用导数研究函数的最 值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.
本题关键是求出利润L（万元）与售价x的函数关系
式，从而将待求的最值转化为目标函数——三次函数的最 值，这时方法明朗即利用导数求最值.
法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还
考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.
应用题的解法
应试策略
2.应用题在考查知识上主要有：
（1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计， 所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数， 以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表
应用题的解法
考题剖析
3.（2007· 湖南部分学校联考）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两 种方案： 方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤 积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递 增20万元.
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口 淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营.据测算， 开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上 一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.
1 x
(3x2－3x+300)+200×1.8×0.ห้องสมุดไป่ตู้5=
300 x
300 x
+3x+303(x≥25)
∵y′2=－
+3 2
∴当x≥25时，y′2＞0，即函数y2在［25，+∞)上是增函数
∴当x=25时，y2取得最小值为390，而390＜417
∴该厂应接受此优惠条件
应用题的解法
考题剖析
［点 评］这是一道以常见的进货及储存费用为
背景而命题的应用题.审题时要注意是平均价格的计 算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要 注意应用均值不等式的条件，在第一问中可以直接 应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的
单调性来求解.
应用题的解法
考题剖析
2.（2007· 福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每 件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件. （Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函 数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大， 并求出L的最大值Q(a).
以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年的总量
+鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量.
应用题的解法
应试策略
（3）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解
答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，
无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如 保留几位小数等）、运算方法的优化问题等. 综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和 一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子，计算方
（1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正 数）？ （2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？ （收益＝收入－投资）
应用题的解法
考题剖析
［解析］（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的
累计总收益为正数.
在方案乙中，前4年的总收入为
320 (1 1 . 5 )
第二部分
专题十一 应用题的解法
应用题的解法
试题特点 ＞＞ 应试策略 ＞＞ 考题剖析 ＞＞
03
06
15
应用题的解法
试题特点
应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的 能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题 人的青睐，并成为每年高考题的必备题型.高考应用题是高考 成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往 往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型； 在运算时，由于生活经验的缺失 ，不知如何处理数据 .这 些都是常见的错误.
常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系 清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是
否符合实际意义.
应用题的解法
应试策略
（2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，
所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、
前n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增 长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问
x b
达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或 图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的 实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题 目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的
类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、
［解析］（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系 式为: L=(x－3－a)(12－x)2，x∈［9，11］.
应用题的解法
考题剖析
（Ⅱ）L′(x)=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) =(12－x)(18+2a－3x). 令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.
3 2 2 3 28 3
应用题的解法
应试策略
(5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是
从思想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方
法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组 合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正
面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当
正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念， 在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在 解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、 化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学 期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象.
题.常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后
应用数列求和或特殊数列求和求解；②利用无穷等比数列的 求和公式求解，往往与极限结合出题；③构造数列通项的递 推公式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求解， 注意n的范围问题；④通过类比归纳得出结论，用数学归纳法 或数列的知识求解.