几何问题的处理方法3

§29.2.3几何问题的处理方法（3）

【教学目标】：

使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理，在证明

这些定理的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察，比

较得到，这些定理需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确。

【重点难点】：

重点：进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理，掌握这些

定理的证明过程以及运用这些定理的解决问题。

难点：运用这些定理证明有关命题。

【教学过程】：

一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和判定定理

1．平行四边形的判定定理

(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

如图，若AB∥CD，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

如图，若AB＝CD．AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形。

(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

如图，若∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，则四边形ABCD

是平行四边形。

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

如图，若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形。

2．平行四边形的性质定理

(1)平行四边形的对边相等

若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝BC

(2)平行四边形的对角相等

如图，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB。

(3)平行四边形的对角线互相平分

如图，若四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD

以上这些定理，通过两种表达方式，使同学加深对定理的理解。

二、选择部分定理进行证明

1．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此连结其中一条对角线，然后证明内错角相等。

证明；连结AC。

∵AB∥CD

∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)

在△ABC和△CDA中

∵AB＝CD

∠DAC=∠DCA

AC=CA

∴∠BCA＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)

∴BC∥DA(内错角相等，两直线平行)

∴四边形ABCD是平行四边形

2．已知：四边形ABCD是平行四边形。

求证；AB＝CD，BC＝DA

分析：要证明平行四边形的对边相等．可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论。

证明：连结AC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)

同理∠BCA=∠DAC

在△ABC和△CDA中

∵∠BAC=∠DCA

AC=CA

∠BCA=∠DAC

∴△ABC≌△CDA(ASA)

因此AB＝CD，BC＝DA(全等三角形的对应边相等)

三、例题与练习

例题：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF，求证：BF∥DE。

(通过同学们讨论，而后老师给予归纳，证明)

证明；∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

AB＝CD

∵AE＝CF

∴BE＝DF

∴四边形BEDF是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴BF∥DE

虽然这道题目并不难，但老师可以通过对这道题详细分析、讲解，使同学们可以对

平行四边形的所有判定法则做更深刻的理解，让同学们进一步掌握运用定理解决问题

的方法。

练习：

1．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2．求证：平行四边形的对角线互相平分。

四、小结

1．总结平行四边形的判定定理和性质定理。

2．能应用这些定理证明一些相关命题。

五、作业（略）

补充作业：

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F点在对角线AC上，且AE＝CF，求证：DE∥BF。

2．如图，已知：在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是／ABC、／CDA的平分线，

求证：BD和EF互相平分。

3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B的平分线交CD的延长线于E。

(1)求证，∠C的平分线垂直平分BE。

(2)若平行四边形ABCD的周长为30cm，DE＝3cm，求平行四边形ABCD的各边长。

六、教学反思：