1.4 晶列和晶面指数
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
第一章晶体的结构
求晶面指数的方法
OA1 ra1, OA2 sa2 , OA3 ta3
h1 : h2 : h3 1 1 1 : : r s t
n
N
a3
O
d
a2
A2 A1
a1
设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 基矢
格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个原胞 只包含一个格点。
3、晶胞
原胞往往不能反映晶体的对称性
晶胞：能反映晶体对称性的最小结构重复单元
是原胞的数倍。晶胞的基矢用 a b c
原胞:
表示
a1 a2 a3
*几种典型晶体结构的原胞和晶胞
每种原子都各自构成一种相同的Bravais格子，这些Bravais 格子相互错开一段距离，相互套构而形成的格子。即复式 格子是由若干相同的Bravais格子相互位移套构而成的。
*几种典型的复式晶格
NaCl结构（Sodium Chloride structure ） 复式面心立方
例：MgO、KCl、AgBr 等
用来描述晶体中原子排列的紧密程度，原子排 列越紧密，配位数越大
简单立方（简立方）(simple cubic, sc)
配位数
6
晶胞内有 1 个原子
体心立方( body-centered cubic, bcc )
排列：ABABAB……
配位数
8
晶胞内有 2 个原子 具有体心立方结构的金属晶体：LI、Na、K、Fe等
重复周期为二层。形成AB AB AB· · · · · · 方式排列。
具有六角结构的金属： Mg，Co，Zn等
14晶列晶面指数解析
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
03:58
(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为
R ma nb pc a ,b ,c 为晶胞基矢
03:58
§1.4 晶列 晶面指数
一、 晶向及晶向指数 1.晶向 晶体通常各向异性，研究或描述晶体的性质或内部发生的某 过程时，常常要指明晶体中的某个方向或某个方位的晶面。因 而需要建立一套标志方向的参量。
通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。
在原胞基矢坐标系下表示
如图取一格点为顶点，原胞的三个
A3
n
基矢a1
,
a
2
,
a
为坐标系的三个轴，设某
3
一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,
设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，
ON长度为d，d为该晶面族相邻晶面间
a3
O
d
a1
N
a2
A1
A2
的距离，为整数，该晶面法线方向的
单位矢n量用 表示，则晶面A1A2A3的方 x n d
(1) 相互平行的晶面系将全部格点包含无遗，（即任一格点 必然落在晶面系的一个晶面上）;
(2) 晶面上格点分布具有周期性；
(3) 同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；
(4) 同一晶面族中相邻晶面间距相等。 2.晶面指数
标明晶面
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹0角3:5)8 晶面在三个坐标轴上的截距
3、 晶列、晶面指数、倒格空间.
第6页
2、晶面和晶面族
§1.4 晶列 晶面指数
定义: 布喇菲格子的格点还可以看成分布在一系列平面
第 16 页
例：
§1.4 晶列 晶面指数
晶面ABC沿单胞基矢方向的截距分别为 4a,b和c，系数倒数比为1/4：1：1＝1：4：
4，因而其密勒指数即为 (144) 。
晶面A’B’C’D’的截距为2a,4b与∞c，
因而其密勒指数为 (210) ；
晶面EFG的密勒指数则应为 (263)
第 17 页
§1.4 晶列 晶面指数
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
§1.4 晶列 晶面指数
第 20 页
§1.4 晶列 晶面指数
ABAB......
六方密堆积结构与单胞示意
第 21 页
§1.4 晶列 晶面指数
六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
第 22 页
晶体中一些晶面的密勒指数
密勒指数简单的晶面如（100）、 （010）之类，它们面上的原子聚集的 密度较大，而晶面间的距离也较大。
《晶列和晶面指数》课件
透射电子显微镜法
通过透射电子显微镜观察晶 体和晶面的结构。
干涉显微镜法
通过干涉显微镜测量晶体和 晶面的参数。
晶列和晶面的实际应用
1
药物研发
2
分析晶体结构以进行药物晶型的选择。
3
材料科学
研究晶体结构以优化材料性能。
能源领域
优化晶体结构以提高能源转换效率。
结论和总结
晶列和晶面指数是研究晶体结构和性质的重要工具，广泛应用于材料科学、 药物研发和能源领域等。
《晶列和晶面指数》PPT 课件
晶体和晶面的定义
பைடு நூலகம்
晶列指数和晶面指数的定义
1 晶列指数
晶列指数用来描述晶体内原子排列的规则性。
2 晶面指数
晶面指数表示晶体表面所处位置的标识。
晶列和晶面的表示方法
晶列 晶面
方向和摆放顺序的指数 截距和晶面位置的指数
晶列和晶面的求解方法
X射线衍射法
利用X射线衍射实验测量晶体 和晶面的参数。
3、晶列、晶面指数、倒格空间讲解
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
第3页
(1,0,0)
(0,1,1)
§1.4 晶列 晶面指数
第4页
§1.4 晶列 晶面指数
晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族， 用<uvw>表示。
立方边一共有六个不同的晶向，如图：
[100].[010].[001].[100].[010].[001]
第5页
§1.4 晶列 晶面指数
r st
第 10 页
晶面指数与截距的关系
§1.4 晶列 晶面指数
截距为（r，s，t）的晶面族中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，
从而这个晶面族把基矢 a1, a2 分, a别3 截成
h1, h2个, h3等长的小段。
由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ μ ＝1）的截距分别是
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
n)
d
(2)
ta3 cos(a3 , n)
d
取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位， 得：
cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
r st
第9页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
1.4晶列、晶面指数解析
③ 遇到负数在该数上方加一横线。
11:33
(3)等效晶向 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 [100]
[001]
[010]
[100]
晶格的对称性，这6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。 同样 有12个等效〈110〉 面对角线 k j
D A
c
b
11:33
C
B I
G F
。
在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
AEG 1
ABCD
1
1
1
O a E H DIHG 2 1
1 1 1 h:k :l : : h k l
1:1:1
(111)
1 1 1 : : 1
(hkl)
(001)
1 1 1 : : 2 1 (120)
三个基矢坐标轴上截距系数的倒数之比。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成|h1 |、 |h2|、|h3 |等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面指数是在
坐标轴上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶向指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
11:33
(2)以晶胞基矢表示
在晶胞基矢坐标系中，任一格点R’的位置矢量表示为
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
§1-2 晶棱和晶面指数这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。
再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。
同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。
此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。
晶棱的取向也简称晶向。
只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。
取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。
例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1的方向为[110]。
同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。
三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。
同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。
晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。
现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。
《晶列和晶面指数》课件
晶面指数可以用来描述晶体中晶面的性质，如晶面间距、晶面取向等。 通过研究不同晶面指数的晶面，可以了解晶体在不同方向上的结构和性 质。
晶列和晶面指数的关系
晶列与晶面指数的关系
晶列与晶面指数之间存在一定的关系。同一方向的晶列对应于不同的晶面指数，而同一晶面指数也可能对应于不同方 向的晶列。因此，了解晶列和晶面指数之间的关系对于理解晶体结构和性质非常重要。
01
晶面指数定义
晶面指数是指用来描述晶体中某一晶面的标量，通常用三个互质的整数
（h、k、l）表示。每个整数对应一个方向的晶列。
02 03
晶面指数的确定
通过晶体学中的X射线衍射技术或电子显微镜等手段，可以确定晶体中 某一晶面的晶面指数。通过对晶体进行衍射实验，可以获得衍射斑点的 位置和强度信息，从而确定晶面指数。
晶面指数的物理意义对于材料科学和物理学等领域的研究具有重要意义。通过对 晶面指数的研究和分析，可以深入了解晶体中原子或分子的相互作用和运动规律 ，从而为新材料的开发和现有材料的优化提供理论支持和实践指导。
04
晶列和晶面指数的应用
在晶体结构分析中的应用
确定晶体结构
通过晶列和晶面指数，可以确定晶体的内部结构，了解原子或分 子的排列方式。
案例分析
通过具体案例分析，展示如何运用晶列和晶面指数解决实际问题，如 晶体结构解析、材料性能预测等。
使用建议
根据使用者的反馈和经验，提出针对ppt课件的使用建议，以提高学 习效果和应用能力。
展望
技术发展
跨学科应用
实践应用展望
教学改进
探讨当前晶体学领域的技术发 展趋势，如新型晶体结构分析 方法、高精度计算模拟等，为 进一步研究晶列和晶面指数提 供新的思路和方向。
1.4 晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
14晶列晶面指数
1.4 晶列晶面指数晶列是晶体学的一个重要概念，是指晶体中由晶胞沿着特定方向排列而成的有序结构。
晶列的性质和晶体的晶胞参数有关，可以通过晶胞参数和晶面指数来描述。
晶面指数是描述晶体表面上的晶面位置和方向的一种方法。
在晶体学中，晶面指数用一组整数来表示，通常用hkl表示。
其中h、k、l是晶面与晶轴的交点与原点之间的距离与晶轴长度的比值的最简整数比。
晶面指数可以用来描述晶体的晶面，可以通过晶面指数确定晶体的晶面的位置和方向。
晶面指数的计算方法为：1. 确定晶体的晶胞参数，包括晶胞长度和晶胞角度。
2. 确定晶面与晶轴的交点与原点之间的距离，可以通过晶胞参数和晶面的坐标计算得到。
3. 将晶面与晶轴的交点与原点之间的距离与晶轴长度的比值化简为最简整数比，得到晶面指数。
晶面指数的计算方法可以通过以下例子来说明：假设晶体的晶胞参数为a=b=c=1，晶胞角度为α=β=γ=90°。
1. 假设晶面与x轴的交点与原点之间的距离为d，可以通过晶面的坐标计算得到：d = a/h2. 将d与a的比值化简为最简整数比，得到晶面指数h：h = a/d = a/(a/h) = h同样的方法可以计算出晶面指数k和l。
通过晶面指数可以确定晶面的位置和方向。
例如，当hkl为100时，表示晶面与x轴平行，与y轴和z轴垂直；当hkl 为110时，表示晶面与x轴和y轴平行，与z轴垂直。
晶面指数的计算方法可以推广到非正交晶胞和非90°晶胞角度的情况下，只需要根据晶胞参数和晶面的坐标计算晶面与晶轴的交点与原点之间的距离，然后化简为最简整数比即可得到晶面指数。
晶面指数是描述晶体表面上的晶面位置和方向的重要工具，对于研究晶体的结构和性质具有重要意义。
在实际应用中，晶面指数可以用来确定晶体的晶面的位置和方向，帮助研究者理解晶体的结构和性质，以及进行晶体的生长和制备。
因此，掌握晶面指数的计算方法对于晶体学的学习和应用具有重要意义。
第一章 晶体的结构v
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
固体物理 1(1)
(2) 晶面
平行的晶面把所有的格点包括无遗。
晶面的表示方法 一个晶面的取向可以由这个晶面上任意三个不共线的 点确定。如果这三个点处在不同的晶轴上，则可以由 晶格常量 a1a2a3 表示的点的坐标就能标定它们所决定 的晶面。
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
正交晶系有4种晶格：简单正交 ; 底心正交; 体心正交 ; 面心正交
(4) 正方晶系(四角晶系)
900
a1 a2 a3
简单四角 体心四角
四角晶系有两种晶格：简单四角; 体心四角
(5) 六角晶系
90
0
1200
a1 a 2
立方晶系晶面指数
1． 5
典型的晶体结构
氯化纳结构
其晶格属于面心立方，基元由一个Na+和一个Cl+ 。从图中看， 如果只看Cl+，它构成面心立方结构，同样Na+也构成面心立方。 这两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，只不过互 相有一个位移。
氯化铯晶体结构
其晶格属于简单立方，基元由一个位于000的铯离子和一个 位于1/2 1/2 1/2 的氯离子组成。
周期晶格不 可能存在五 重对称轴， 因为不可能 使五边形相 互连接的陈 列不留空隙 地充满整个 空间。
图1-4
(3) 镜面反映 ，它是以通过一个格点的平面作为反映平 面的对称操作。 (x1,x2,x3)
(x1,x2,-x3)
(4) 反演操作是先转动 弧度之后在垂直于其转动轴的 一个平面上反映，总的效果是
六方晶系四指数推导概要
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
固体物理
a3
c b a
a2 a1
面心立方(FCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 ( b + c) a2 = 1/2 ( a + c) a3 = 1/2 ( a +b)
c
a1 b a2
a3 a
六方(Hexagonal)
k
a4
a3
a2 a1
j i
a3
a2
a1
a1 = a/2 (31/2 i + j) a2 = a/2 (-31/2 i + j)
几种常见的晶胞
简立方(SC)
a1 = a i a2 = a j a3 = a k
a=ai b=aj c=ak
j i
k
c b a
体心立方(BCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 (-a + b + c) a2 = 1/2 ( a – b + c) a3 = 1/2 ( a +b - c)
式过于复杂而难以求解。
--- 狄拉克 (1929)
参考书目
1. 《固体物理教程》 王矜奉 编著 （山东大学出版社） 2. 《固体物理导论》 基泰尔 （C. Kittel) (化学工业出版社） 3. 《固体物理学》 黄昆、韩汝琦 （高等教育出版社） 4. 《凝聚态物理学》上卷 冯端、金国钧 高等教育出版社） 5. 《Solid State Physics》 G. Grosso 、G. P. Parravicini (Elsevier)
a1
h1 : h2 : h3 = 1/r : 1/s : 1/t
(1). 晶面族的面指数可以有晶面组中任意晶面在基矢坐标轴上的截矩的系数 的倒数求出
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晶向的标志
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a1 , a2 , a3 —— 沿晶向到最近的一个格点的位矢 l1a1 l 2 a 2 l 3 a 3
l1 , l2 , l3 —— 一组整数
晶列指数 [l1 l 2 l 3 ] 晶胞 —— 有类似的晶列指数 带轴 ——一些特殊晶列
密勒指数 —— 标记这个晶面系 —— 以晶胞的基矢为参 考，所得出的晶列指数和晶 面的密勒指数，有着重要的 意义
(h k l )
(100) (110)
(111)
立方晶格的几种主要晶面标记
(100) 面等效的晶面数分别为：3个 表示为 {100} (110) 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 {110} (111) 面等效的晶面数分别为：4个 表示为 {111}
将其截距的倒数约化为互质的整数：
1 1 1 : : h1 : h2 : h3 r s t
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
a1 a 2 a3 , , h1 h2 h3
a1 a 2 a 3 , , —— 同族中其它晶面的截距是 的整数倍 h1 h2 h3
(h1h2 h3 ) h1 , h2 , h3/15
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a1 , a2 , a3
为坐标系的三个轴 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 三个基矢末端格 点必分别落在该 族的不同晶面上
设 某晶面在 a1 , a2 , a3 方向上的截距为 r, s, t
RA 3a1 a2 a3
RA 2a1 3a2
晶列指数 [311]
晶列指数 [230]
晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布喇菲格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
同一个格子，两组不同的晶面族
§1-4
晶列 晶面指数
布喇菲格子的特点 —— 所有格点周围的情况都是一样的 —— 晶体的晶列 —— 在布喇菲格子中 作一簇平行的直线， 这些平行直线可以将 所有的格点包括无遗 平行直线 —— 晶列
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——晶列上格点的周期相同 —— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等 —— 每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
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