高考一轮复习学案：追及与相遇问题

第5课时追及与相遇问题基础知识归纳1. 追及和相遇问题当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.2. 追及问题的两类情况（1）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最小距离•②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件•③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个极大值•（2）速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：①当两者速度相等时有最大距离•②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上3. 相遇问题的常见情况（1）同向运动的两物体追及即相遇.⑵相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇重点难点突破一、追及和相遇问题的常见情形1.速度小者追速度大者常见的几种情况:说明开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小， 当两 物体速度相等时，即t = t o 时刻：① 若A x = x o ，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ② 若A x<x o ，则不能追及，此时两物体间最小距离为x o-A x③ 若A x>X o ，则相遇两次，设 t i 时刻A x i = X o 两物体第 一次相遇，则t 2时刻两物体第二次相遇注：x o 是开始时两物体间的距离、追及、相遇问题的求解方法分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：方法1：利用临界条件求解•寻找问题中隐含的临界条件， 例如速度小者加速追赶速度大者， 在两物体速度相等时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者， 在两物体速度相等时有最小距 离•方法2：利用函数方程求解•利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t 两物体间的距离y = f(t)，若对任何t ，均存在y = f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个 时刻t ，使得y = f(t) w o ,则这两个物体可能相遇•其二是设在t 时刻两物体相遇，然后根据几 何关系列出关于t 的方程f(t) = o ，若方程f(t) = o 无正实数解，则说明这两物体不可能相遇； 若方程f(t) = o 存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇方法3：利用图象求解•若用位移图象求解， 分别作出两个物体的位移图象， 如果两个物体 的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与 t 轴包围的面积•方法4：利用相对运动求解•用相对运动的知识求解追及或相遇问题时， 要注意将两个物体 对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量•在追及问题中，常把被追及物体作为 参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s 相对=s 后一 s 前=S o , v 相对= v 后一v 前，a 相对=a 后一a 前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题类型 图象匀减速追匀速r|cHT F匀速追匀加速!:foif-Ji,li ：_T匀减速追匀加速(>”1.解“追及”、“相遇”问题的思路(1) 根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图(2) 根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程•注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.(3) 由运动示意图找出两物体位移间的关联方程•(4) 联立方程求解.2•分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点(1) 分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等•“两个关系”是时间关系和位移关系•其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口•因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益•(2) 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动(3) 仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件1.运动中的追及和相遇问题【例1】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s,加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).【解析】设两车速度相等经历的时间为t,则甲车恰能追上乙车时，应有a甲t2v 甲t—= v 乙t + L2其中t =空空，解得L = 25 ma甲若L>25 m,则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇若L = 25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大若L<25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t = 0时两车都在同一计时处,此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆(AC )3 / 6A、C正确.【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故2.追及、相遇问题的求解【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距s, A车在后面做初速度为V。

、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同•要使两车不相撞，求A车的初速度V o应满足什么条件？【解析】解法（物理分析法）A、B车的运动过程（如图所示）利位移公式、速度公式求解•对 A 车有S A= v°t+ ” —2a）廉2V A= V o+ (—2a) X1 2对 B 车有S B= at , V B= at2两车有s= S A—S B追上时，两车不相撞的临界条件是V A=V B联立以上各式解得V o=・J6as故要使两车不相撞，A车的初速度V o应满足的条件是 E ... 6as解法二：（极值法）利用判别式求解，由解法一可知S A=S+S B,即V o t + - X—2a） # = s+丄a『2 2整理得3at2- 2V o t + 2s = 0这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式△= （2V o）2-4X3aX2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度V o应满足的条件是Vo^. 6as 解法三：（图象法）利用速度一时间图象求解，先作A、B两车的速度一时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A 车有V A=V= V o—2at对B车有VB=V= at以上两式联立解得V o 3a由图象可知【思维提升】 三种解法中，解法一注重对运动过程的分析, 相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系， 这也是中学物理中常用的数学方法； 解法三通过图象不仅将两物体 运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答【拓展2】从地面上以’初速度2V o 竖直上抛物体 A ，相隔A t 时间后再以初速度 V o 竖直上 抛物体B.要使A 、B 在空中相遇， A 应满足什么条件？【解析】A 、B 两物体都做竖直上抛运动，由s = V o t -丄9『作出它2们的s-t 图象，如图所示.显然，两图线的交点表示 A 、B 相遇（S A = S B ）.2V O4v o由图象可看出 A t 满足关系式- V At V -时，A 、B 在空中相遇 g g3.分析追及、相遇问题的思路【例3】现检测汽车A 的制动性能：以标准速度 2o m/s 在平直公路上行驶时，制动后 4。

s 停下来若A 在平直公路上以2o m/s 的速度行驶时发现前方 18o m 处有一货车B 以6 m/s 的速 度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？【错解】设汽车A 制动后4。

s 的位移为X i ,货车B 在这段时间内的位移为 X 2.据a = 匕旦得车的加速度a =- o.5 m/s 2t 又 x i = V o t + — at 2 得22X 2= V 2t = 6 X4o m = 24o m两车位移差为 4— m — 24o m = 16o m 因为两车刚开始相距 18o m>16o m 所以两车不相撞.经t 时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离 S ,它可用图中的阴影面积表示,S = 1V 0?t = 21V 0?1V 02 2 所以要使两车不相撞,A 车的初速度V 0应满足的条件是 vo — 6as抓住两车间距有极值时速度应2V oV o【错因】这是典型的追及问题•关键是要弄清不相撞的条件 •汽车A 与货车B 同速时，两 车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据 大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞 错解•【正解】如图，汽车A 以v o = 20 m/s 的初速度做匀减速直线运动经40 s 停下来.据加速度公式可求出a =- 0.5 m/s 2.当A 车减为与B 车同速时，是A 车逼近B 车距离最多的时刻， 这时若能超过B 车则相撞，反之则不能相撞•件车銅相阉同遽硏体相撞j； 「I~H,ISOin,: I -- i --------------- .乂车据V 2— v0 = 2ax 可求出A 车减为与B 车同速时的位移v 2 -V0 400 -36x i =m = 364 m2a 2X0.5此时间t 内B 车的位移为X 2,则t = ^Z v ^ =2^-6s = 28 sa 0.5X 2= V 2t = 6 X28 m = 168 mA x = 364 m — 168 m = 196 m>180 m所以两车相撞.【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图（如解析中图）画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴 影区是A 车比B 车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻 的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出 A 车速度成 为零时，不是 A 车比B 车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析1 2x i = 2o>4o m —— o.5） 40 m = 4— m•当两车同速时，两车位移差 •而错解中的判据条件错误导致。