高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

大招九圆锥曲线的切线方程及其应用

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切

线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。

（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、

。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。

评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。

联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，

过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上）

联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当

在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过

引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

证明：（1）两边对求导，得

得，由点斜式得切线方程为

化简得………………….①

因为…………………………………………………②

由①－②×2可求得切线方程为：

（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。

根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

通过以上联想可得出以下几个推论：

推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：

推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为

；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，

过两切点的弦所在直线方程为：。

推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。

推论4：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，

过两切点的弦所在直线方程为：。

在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。

1．（13分）（2013•山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，

F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM

交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共

点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被

椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得

，∴椭圆C的方程为．

（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，

又t+n=2a=4，消去t得到，化为∵a﹣c＜n＜a+c，即

，也即，解得．

∴m的取值范围；．

第三问若用传统方法，联立利用=0计算非常复杂，若用切线方程则非常方便

（3）证明：设P（x0，y0），

不妨设y0＞0，由椭圆方程，

取，则=，∴k==．∵，，

∴=，

∴==﹣8为定值．

2．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即

①

∵离心率，∴②

联立①②得：，所以b2=8．

把b2=8代入②得，a2=16．

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，

不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．

联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．

由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8

又P（）在椭圆上，所以．

整理得，．

代入t2+r2=8，得．

解得：．所以，．

此时．

满足椭圆上的其余点均在圆Q外．

由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．

故所求圆Q的标准方程为．

本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的第三问若用公切线做非常方便（2009安徽理科）点在椭圆

上，直线与直线

垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为. （I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；

（II）证明:构成等比数列。

练习

1（2012大纲理科）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆

（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

2( 2013广东卷)已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中