动量守恒定律 子弹打木块弹簧 板块 三模型

一、 子弹大木块
【例2】如图所示，质量为M 的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为m 的子弹以初速度v 0水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为d ，木块给子弹的平均阻力恒为f .若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？
【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v ，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即
mv 0＝(m ＋M )v
对系统应用动能定理得
fd ＝12mv 20－12
(M ＋m )v 2
由上面两式消去v 可得
fd ＝12mv 20－12(m ＋M )(mv 0m ＋M )2
整理得12mv 20＝m ＋M M fd
即12mv 20＝(1＋m M
)fd 据上式可知，E 0＝12mv 20
就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰
能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f 和木块的厚度d (或者说与f ·d )有关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能E 0
必须大于(1＋m
M
)f ·d .
72、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。

—颗质量为的
子弹从木块的左端打进。

设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚
好从木块的右端打出，则子弹的初速度
应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题
分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。

由动量守恒定律得：
①
要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：②
根据功能关系得：③
解以上三式得：
二、 板块
1、 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度0v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。

图1
解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。

对物块，滑动摩擦力f F 做负功，由动能定理得：
2022
121)(mv mv s d F t f -=
+- 即f F 对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力f F 对木块做正功，由动能定理得22
1
Mv s F f =，即f F 对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：
><=-+=--1)(2
1
21212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t
本题中mg F f μ=，物块与木块相对静止时，v v t =，则上式可简化为：
><+-=2)(2
121
2
2
0t v M m mv mgd μ
又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：
><+=3)(0t
v M m mv
联立式<2>、<3>得：
)
(220
m M g Mv d +=μ
故系统机械能转化为内能的量为：
)
(2)(220
20m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=+⋅==μμ
【例10】如图所示，—质量为M 、长为l 的长方形木板B 放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ．现以地面为参照系给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A 开始向左运动、B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板．以地面为参照系，
(1)若已知A 和B 的初速度大小为
，求它们最后的速度的大小和方向．
(2)若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．
【分析与解】(1)A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同的速度.设此速度为V ，根据m ＜M ，可知 ，判断出V 的方向应与B 板初速度同向，即
向右．A 和B 的初速度的大小为
，则由动量守恒可得：
解得： 方向向右
(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法，在此基础上形成正确的物理图景．注意以下说理分析：A 在B 板的右端时初速度向左，而到达B 板左端时的末速度向右，若以地面为参考，可见A 在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动，直到相对地面速度为零的阶段，而后经历因B 板速度方向向右，A 相对B 板向左，故A 所摩擦力方向向右，A 向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为 的阶段，如下图所示．在前一阶段，摩擦力阻碍A 向左运动，在后一阶段，摩擦力为动力，使A 向右加速．设 为A 开始运动到速度
变为零过程中向左运动的过程，为A从速度为零增加到速度过程中向右运动的路程，L 为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程．设A与B之间的滑动摩擦力为，则由功能关系可知：
对于B:
对于A:
由几何关系
由以上四式解得
三、弹簧
11．(8分)如图2所示，质量M＝4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L＝0.5 m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑．小木块A以速度v0＝10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知木块A的质量m＝1 kg，g取10 m/s2.求：
(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度； 2 m/s
(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能． 39 J
★ 4、（09·山东·38）（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A 、B 、C ，质量分别为m B =m c =2m ,m A =m ，A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。

开始时A 、B 以共同速度v 0运动，C 静止。

某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。

求B 与C 碰撞前B 的速度。

解析：（2）设共同速度为v ，球A 和B 分开后，B 的速度为B v ,由动量守恒定律有
0()A B A B B m m v m v m v +=+,()B B B C m v m m v =+,联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为
09
5
B v v =。

例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球，如图1所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

图1
（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。

（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v 1，由动量守恒得1
0)(v m m mv +=当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒得2132mv mv =，由以上两式求得A 的速度023
1
v v =。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E P ，由能量守恒，有
P E mv mv +⋅=⋅222132
1221撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有2
3)2(2
1v m E P ⋅=
以后弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，
0v
设此时的速度为v 4，由动量守恒得4332mv mv =
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E P '，由能量守恒，有
'3212212423P E mv mv +⋅=⋅解以上各式得2
36
1'mv E P =。

例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以s m v /6=的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物体C 静止在前方，如图3所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。

求：在以后的运动中，
图3
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A 的速度有可能向左吗？为什么？
解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，有
A C
B A B A v )m m m (v )m m (++=+
解得：s m v A /3=
（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为'v ，则
s m v v m m v m C B B /2'')(=+=，
设物块A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E P ，根据能量守恒
J v m m m v m v m m E A C B A A C B P 12)(2
121')(21222=++-++=
（3）由系统动量守恒得
B C B A A B A v m m v m v m v m )(++=+
设A 的速度方向向左，0<A v ，则s m v B /4> 则作用后A 、B 、C 动能之和
J v m m v m E B C B A A k 48)(2
12122>++=
实际上系统的机械能
J v m m m E E A C B A P 48)(2
1'2
=+++=
根据能量守恒定律，'E E k 是不可能的。

故A 不可能向左运动。

四、 曲面与摆球
(1)(a)图中B 是半径为R 的1
4圆弧轨道，A 、B 最初均处于静止状态，现让A 自由下滑，
求A 滑离B 时A 和B 的速度大小之比.
(2)(b)图中B 也是半径为R 的1
4
圆弧轨道，初态时B 静止不动，滑块A 以速度v 0沿轨道
上滑，若滑块已滑出轨道B ，求滑出时B 的速度大小.
(3)(c)图中B 为一半径为R 的半圆形轨道，开始时B 静止不动，滑块A 以一初速度v 0
使其沿轨道下滑，若A 能从轨道的另一端滑出，求滑出时B 的速度为多大？
(4)(d)图中小球来回摆动，求小球摆至最低点时A 、B 速度大小之比.
【答案】(1)v A ∶v B ＝M ∶m (2)v B ＝mv 0
M ＋m (3)v B ＝0
(4)v A ∶v B ＝M ∶m
【拓展2】如图所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M 的木块，一质量为m 的子弹，以水平速度v 0击中木块，已知M ＝9m ，不计空气阻力.问：
(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O 低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g )
(2)如果子弹以水平速度v 0击中木块，在极短时间内又以水平速度v 0
4
穿出木块，
则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少？
【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v 1，则mv 0＝(m ＋M )v 1
因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h ，则1
2(m ＋
M )v 21＝(m ＋M )gh
h ＝v 20
200g
(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块速度为v 2，
则mv 0＝m (v 0
4)＋Mv 2，在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为
ΔE ＝12mv 20－12m (v 04)2－12Mv 22＝716mv 2
【例4】光滑的水平面上有A 、B 两辆小车，m B ＝1 kg ，原来静止.小车A 连同支架的质量为m A ＝1 kg ，现将小球C 用长为L ＝0.2 m 的细线悬于支架顶端，m C ＝0.5 kg.开始时A 车与C 球以v 0＝4 m/s 的共同速度冲向B 车，如图所示.若A 、B 发生正碰后粘在一起，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2.试求细线所受的最大拉力.
【正解】小车A 与小车B 相碰的瞬间，C 的速度保持v 0不变，A 、B 组成的系统动量守恒：
m A v 0＝(m A ＋m B )v AB
解得v AB ＝m A v 0m A ＋m B ＝1×4
1＋1 m/s ＝2 m/s
方向与v 0相同.
A 、
B 结合成整体的瞬间，
C 的速度仍为v 0，所以C 相对于A 、B 整体的相对速度为v
相＝v 0－v AB ＝2 m/s
A 、
B 碰后，
C 相对于悬点做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律
可得F －m C g ＝m C v 2相
L ，即
F ＝m C g ＋m C v 2相L ＝(0.5×10) N ＋0.5×22
0.2
N ＝15 N
4、（2012新课标）（2）（9分）如图，小球a 、b 用等长细线悬挂于同一固定点O 。

让球a 静止下垂，将球b 向右拉起，使细线水平。

从静止释放球b ，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。

忽略空气阻力，求 （i ）两球a 、b 的质量之比；
（ii ）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b 在碰前的最大动能之比。

解：（i ）设球b 的质量为m 2，细线长为L ，球b 下落至最低点，但未与球a 相碰时的速度为v ，由机械能守恒定律得2221
2
m gL m v =
① 式中g 是重力加速度的大小。

设球a 的质量为m 1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正。

有动量守恒定律得 212()m v m m v '=+②
设两球共同向左运动到最高处，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
212121
()()(1cos )2
m m v m m gL θ'+=+-③ 联立①②③式得
12111cos m m θ
=-- 代入数据得
1
2
21m m =- （ii ）两球在碰撞过程中的机械能损失是 212()(1cos )Q m gL m m gL θ=-+-
联立①⑥式，Q 与碰前球b 的最大动能E k （E k =
221
2
m v ）之比为 122
1(1cos )k m m Q
E m θ+=--⑦ 联立⑤⑦式，并代入题给数据得2
12
k Q E =-
⑧
70、如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为，乙车内用细绳吊一质量为
的小球，当乙车静止时，甲车以速度
与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，
甲车和小球的速度各为多大？涉及摆的临界问题
a
b
O
分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量
守恒定律得：①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。

当小球和车的速度相同时，小球到达最高
点。

对两车和小球应用动量守恒定律得：②
解以上①②两式得：
例3、. 如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的物块以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静止的光滑圆弧面斜劈体。

求：
（1）物块m1滑到最高点位置时，二者的速度；
（2）物块m1从圆弧面滑下后，二者速度；
（3）若m1= m2物块m1从圆弧面滑下后，二者速度;
(1) 0.5m/s；（2）-1m/s; 1m/s; (3) 0; 2m/s;
v
0 m
1。