微积分2答案完整版
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第九章
∑ ∑ 而当 b > 1时,
∞ 1 收敛，故 ∞ 1 收敛;
bn
n=1
n=1 a + bn
∑ ∑ ∑ 当
b
=
1时，
∞ n =1
1 bn
∞
= 1发散，故而由 a > 0 ,
n =1
0
<
1 a +1
<
+∞
,故
∞ n=1
a
1 + bn
也发散;
∑ 当 0 < b < 1时， lim n→∞
1 a + bn
=
∑ 而当 x = 1 时，原级数变为调 ∞ 1 ，它是发散的.
n=1 n
∑ 综上所述，当 0 < x < 1时，级数 ∞ xn 收敛.
n=1 n
（2）因为
lim Un+1 U n→∞
n
=
lim
n→∞
(n
+
1)3
⋅
⎛ ⎜ ⎝
x 2
n+1
⎞ ⎟ ⎠
n3
⋅
⎛ ⎜⎝
x 2
n
⎞ ⎟ ⎠
=
x 2
,由达朗贝尔比值判别法知，当
于是 Sn = (ln1− ln 2) + (ln 2 − ln 3) +⋯[ln n − ln(n +1)]
= ln1− ln(n +1) = − ln(n +1)
∑ 故 lim n→∞
Sn
=
−∞
,所以级数
∞ n=1
ln
n n +1
发散.
（6）∵ S2n = 0, S2n+1 = −2
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分二课后题答案
第五章习题5-11.求下列不定积分：125)x -d x ; 2 2⎰x ; 3 3e x x ⎰d x ； 4 2cos2x⎰d x ； 5 23523x x x⋅-⋅⎰d x ； 6 22cos 2d cos sin x x x x ⎰.解 5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰2. 解答下列各题：1 一平面曲线经过点1,0,且曲线上任一点x ,y 处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程；2 设sin x 为fx 的一个原函数,求()f x '⎰d x ；3 已知fx 的导数是sin x ,求fx 的一个原函数；4 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000即P=0时,Q =1000,已知需求量的变化率边际需求为Q ′P =-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 1设所求曲线方程为y =fx ,由题设有f′x =2x -2,又曲线过点1,0,故f 1=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.2由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.3由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. 4由1()1000()ln 33PQ P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3P Q P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立： 1 d x = d ax +ba ≠0； 2 d x = d7x -3； 3 x d x = d52x ； 4 x d x = d1-2x ； 5 3x d x = d3x 4-2; 6 2e x d x = d 2e x； 7 2ex -d x = d1+2ex -; 8d xx= d5ln ｜x ｜;= d1-arcsin x = d112d 19x x += darctan3x ; 12 2d 12xx += darctan x ;13 32x -2d x = d2x -3x ； 14 cos 23x -1d x = dsin 23x -1.解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a+=≠∴=+2.求下列不定积分：1 5e d t t ⎰;2 3(32)x -⎰d x ;3d12xx -⎰; 45t ; 6 d ln ln ln x x x x ⎰; 7 102tan sec d x x x ⎰; 8 2ed x x x -⎰;9dsin cos x x x ⎰; 10 ⎰; 11de e x xx-+⎰; 12 x ; 13 343d 1x x x -⎰; 14 3sin d cos x x x ⎰; 15x ⎰; 16 32d 9x x x +⎰; 172d 21xx -⎰; 18 d (1)(2)x x x +-⎰; 19 2cos ()d t t ωϕ+⎰; 20 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;21 sin2cos3d x x x ⎰; 22 cos cosd 2x x x ⎰; 23 sin5sin 7d x x x ⎰; 24 3tan sec d x x x ⎰;25x ; 26 ;27ln tan d cos sin xx x x⎰; 28 21ln d (ln )x x x x +⎰; 292,0x a >; 30 ⎰31x⎰; 32 ;33⎰; 34,0x a >⎰; 352d x x ⎰; 36 2d x x⎰; 372sec ()d 1tan x x x+⎰; 38 (1)d (1e )x x x x x ++⎰提示：令xt e =. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 利用教材§例16及公式20可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a C C a a a --=-. 30令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以2sec cos sin sec d d d d tt t t t t C t ====+⎰⎰tan ,sin 原式x t t C =∴=∴=.31令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时 故223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d tx t t t t t t t x t=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰ 3tan 3t t C =-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得tan t =,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x tt t x x===, 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分. 综上所述有33arccos d x C x x=+⎰. 32令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 33令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =3421(2d d x a x x a =+=⎰arcsin xa C a=⋅. 35令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.3622d d x x x x ==+⎰⎰ 由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t=, 当x >0时,此时t >0 当x ≤-2时,此时102t -≤<综上所述:原式= ln1C x -++. 37 2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰. 38令e x=t ,则x =ln t ,d x =1td t .习题5-31.求下列不定积分：1 sin d x x x ⎰;2 e d xx x -⎰; 3 arcsin d x x ⎰; 4 e cos d xx x -⎰;5 2esin d 2xxx -⎰; 6 2tan d x x x ⎰;7 2e d t t t -⎰; 82(arcsin )d x x ⎰;9 2e sin d x x x ⎰; 10 x ⎰;11cos(ln )d x x ⎰; 122(1)sin 2d x x x -⎰;13ln(1)d x x x -⎰; 1422cosd 2x x x ⎰; 1532ln d xx x⎰; 16sin cos d x x x x ⎰;172cot csc d x x x x ⎰; 18 22(1)e d x x x x +⎰;191(ln ln )d ln x x x+⎰; 20e ln(1e )d x x x +⎰; 21 23sin d cos x x x ⎰; 22x ; 232e d (1)x x x x +⎰; 24arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰10t =,则32,3d d x t x t t ==11令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x xx x x x =-+=++++=-++⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t∴原式C +.于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =+⎰.习题5-4求下列不定积分：1 21d 1x x +⎰; ２ 5438d x x x x x +--⎰; ３sin d 1sin x x x +⎰; 4 cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 1令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是注 本题亦可用万能代换法4令tan 2xt =,则 则。
浙江大学城市学院微积分II(丙)练习册全部答案
第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1． 验证函数212y C x C x =+是否为微分方程2220yy y x x'''-+=的解．解：122y C C x y C '''=+=２， ２， 代入方程：()221212222222()0y y y C C C x C x C x x x x x'''-+=-⋅+++=２２ 因此是解。
2．验证由方程22x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解．解：对22x xy y C -+=两边求导，有2()20x y xy yy ''-++=，即有 (2)2x y y x y '-=-，是解有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。
3．验证函数1212()(,xy C C x e C C -=+为任意常数）是微分方程20y y y '''++=的通解，并求满足初始条件004,2,x x y y =='==-的特解．解：2122122212212()(),()(2),x x x x x x y C e C C x e C C C x e y C e C C C x e C C C x e ------'=-+=--''=----=--- 将上式代入方程左边有：21221212(2)2()()0x x x C C C x e C C C x e C C x e ------+--++=，有因为解中２个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。
由004,2,x x y y =='==-得： 124,2C C ==特解：(42)xy x e -=+第二节一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解）（1）0 xydx=解：1,dyy= 11211,(1)ln, ln,,C Cdy x yyy Cy y e--=-=+==±⋅=⎰（20 +=解：,=,=()21,y=-arcsin,x C=即为通解（3）212,0x yxy xe y-='==解: 22,,x y y xdyxe e e dy xe dxdx-=⋅=()()22222222221,,211,,221111,ln,2224y x y xy x x y x xy x x x xe dy xe dx e xdee xe e dx e xe e dxe xe e C y xe e C===-=-⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰由12xy==，得1,C=211ln()122xy x e⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（4）23(4),1xx x y y y='-==．解:22,,(4)(4)dy dx dy dxy x x y x x==--⎰⎰()411111ln,ln ln ln4,4441ln ln,,4444Cy dx y x x Cx xC xx xy C y ex x x=+=--+-=+=±⋅=---⎰ 由31xy==，得113C=，43(4)xyx=-。
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案二
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习 题 二1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限： （1）; )1(1>=a ax nn （2）; 3)1(nn x -= （3）; 11ng x n = （4）; )11()1(nx n n +-= （5）; 1)1(3n x n n -+= （6）; 1sec nx n =（7）; 2642)12(531limn n n ++++-++++∞→ （8）. 2121121211lim )1(22-∞→++++++n n解：1）收敛.因为当∞→n 时,; )1(>∞→a a n 所以; 0→n x 所以. 01lim lim ==∞→∞→nx n x ax2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数n n x x n n 313 所以n x 是发散的;3)发散的.因为当∞→n 时,01→n ;所以-∞→=ng x n 11; 4)因为⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n x n 1 1 所以n x 是发散的;5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31)1(3→-+=n x n n ;即∞→x lim 3=n x ; 6)收敛的.当∞→n 时,01→n ;11sec →n ;即∞→x lim 1=n x ; 7)因为nn n n n n n n +=+-+=++++-+++12)22(2)121(2642)12(531 ;所以∞→x lim11=+nn; 所以是收敛的;8)因为23211)21(1212112121121211121)1(221=----=++++++----n n n n1211-+n所以2321123lim 1=+-∞→n x ; 所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为; 21 , , 21 , 21,11-n 2所以通项为; 211-=n n a 所以∞→x lim 0=n a ;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）; )0(lim 0>→μμx x （2）; )0(lim <∞→μμx x（3）; 1) , 0(lim 0≠>→a a x x （4）; 1) , 0(lim ≠>∞→a a x x（5）; 1) , 0(log lim 1≠>→a x a x （6）; arccos lim 1x x -→（7）; arctan lim 1x x → （8）. cos lim x x ∞→解：1）当0x →时,∞→x lim ; 0)0(=>u x u2）∞→x lim ∞→=<x u u x lim)0(; 0)0u (1=<-ux3）∞→x lim 1)1 , 0(=≠>a a a x4） 0; 1<a∞→x lim ⎩⎨⎧><=≠>.1 1.1 0)1 , 0(a a a a a x 所1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1=≠>-→a a a x x6)π=-→x arccos lim 1x 所以; 1cos -=π7). 4x arctan lim 1π=-→x8)x cos lim ∞→x 的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）; 0 , )(==x xx x f （2）; 0 ,3)( 1==xx f x（3）; 0 ,1arctan )(==x x x f（4）. 1 , 21 , )1arcsin(1 , )1(11)(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<+=x x x x x g x f解：1)10lim -→x +→≠-=0lim 1)x (f x ; 1)(f =x 所以该点的极限不存在2)10lim -→x ≠=0)x (f +→0lim x ; )x (f ∞=所以该点的极限不存在3)10lim -→x ; 2f(x)lim 2-f(x)0ππ=≠=+→x 所以该点的极限不存在4) ; 0)x (f lim 211)x (f lim 11=≠=+-→→x x g 所以该点的极限不存在5．用δε-或N -ε的方法陈述下列极限：（1）; )(lim A x f ax =+→ （2）; )(lim A x f ax =-→（3）; )(lim A x f x =+∞→ （4）. )(lim A x f x =-∞→解：1)当δ<-<a x 0时 ξ<-A x f )(2)当δ<<x -a 0时 ξ<-A x f )( 3)当M x >时 ξ<-A x f )( 4)当-M x <时 ξ<-A x f )(6．用极限的严格定义（即δε-或N -ε的方法）证明下列极限： （1）; 01lim4=∞→nn （2）; 31135lim22-=+-∞→n n n（3）; 01lim 1=++-→x x （4）. 010lim =-∞→x x解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使ξ14>n 即1n ξ>成立所以对于任意给定的ξ,存在41N ξ=当N n >时恒有ξ<-014n成立,故01lim4=∞→n x2)对于任意给定的ξ,要使ξ<++-3113522n n 成立即29316 )(1lim ξξ->+∞=→n x f o x x 成立所以对于正数ξ,存在293-16N ξξ=成立当N n >时恒有ξ<++-3113522n n 成立 所以31135lim22-=+-∞→n n x 3)由于10)(+=-x x f 所以对于任意给定的0>ξ,存在2ξδ=当δ<+<10x 时 恒有ξ<-0)(x f 成立 故01lim 1=++-→x x4)对于任意给定的正数ξ要使ξ<-010x 成立即ξ1g x >成立 所以存在. 1g X ξ=当X x >时恒有ξ1g x >成立 即. 010lim =∞→x x7．求下列极限：（1）; )(lim 330hx h x h -+→ （2）; 11lim 1--→x x n x（3）;)2(arctan lim1x x x ++∞→ （4）; 11lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x xx （5）; 11lim220xx x +-→ （6）; 231lim3xx x +--∞→（7）; 22312lim 4---+→x x x （8）. )31(lim 22---++∞→x x x x x解：1）22203322303303)33(lim 33lim )(lim x h xh x hx h xh h x x h h h x h h h =++=-+++=-+→→→2)n x x n x =--→11lim 1 3）12)1(arctan lim 2arctan lim 1+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→πx x x x x 4)x x x x x x xx x x x x x 1lim)1()1)(1(lim )11(lim 1121+=-+-=---→→→ 5)2)11(lim )11(lim11lim20222022-=++-=-++=+-→→→x xx x x x x x x6))31)(2(91231lim33+-+--=+---∞→x x x xx x)31)(2()42)(2(33323+-++-+=x x x x x2-= 7))312)(22()312)(312(lim22312lim44++--++-+=---+→→x x x x x x x x)312)(22()4(2lim 4++---=→x x x x)312()22(2lim 4+++-=→x x x322=8))31(lim 22---++∞→x x x x x)3142(lim 22--++++=∞→x x x x x x1)31111142(lim 2=--++++=∞→xx x x xx8．求. 3545lim 1-∞→+-n n n解：51)53(95)54(411lim3545lim211=+-=+-∞→++-∞→n nn n n n nn9．下列数列}{n x ，当∞→n 时是否是无穷小量？ （1）; 31050nn x =（2）[]; 1)1(1n x nn -+=（3）. n n n x =解：1)是无穷小量 因为0lim =∞→n n x2)是,因为0lim =∞→n n x (n 为奇数或者偶数)3)不是.10．当0→x 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）;100 3x y = （2）; 1012100x y =（3）; )1(log 2x y += （4）; 4cot x y =（5）; 2sec ⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π（6）. 1sin 1xx y =解：1)是无穷小,因为0lim 0=→y x2)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim3)是无穷小量,因为0lim 0=→y x4)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim5)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim6)非大非小11．已知)()(lim 0x g x f x x →存在，而0)(lim 0=→x g x x ，证明. 0)(lim 0=→x f x x解：因为, 5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=存在 而0)(lim 0=→x g x x所以; 0)(lim 0=→x f x x12．设31lim 21=-++→x bax x x ，求a ，b .解：因为3lim 1lim 121=+=-++→→y x x b ax x x x所以1)2)(1(12---=-++x x x x b ax x 所以1a =,2b -=13．设011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求a ，. b解：011lim )11(lim 222=+----+=--++∞→∞→x bbx ax ax x b ax x x x x所以即b bx ax ax x ----+221为一常数 所以-1b 1a ==14．当0→x 时，下列变量中与423x x +相比为同阶无穷小的是（B ）.A ．xB ．2xC ．3xD ．4x解：B ． 因为3131lim3lim 204220=+=+→→x x x x x x15．求. 28159lim 4823+--∞→n n n n n解：3281591lim281593lim4835482=+--=+--∞→∞→nn n n n nn n n16．设a x →时∞→)(x f ，∞→)(x g ，则下列各式中成立的是（D ）.A ．∞→+)()(x g x fB ．0)()(→-x g x fC ．0)()(1→+x g x f D ．0)(1→x f解：D.因为a x →时∞→f(x),∞→g(x)，所以0)(1→x f ，0)(1→x g .17．求下列极限 （1）; )72()43()12(lim 510--+∞→x x x x （2）. )cos 100(1lim 32x xx x x +++∞→解：1)=--+∞→510)72()43()12(limx x x x 32243232)72()43()12(lim15510151515510==--+∞→x x x x x x 2)x)105100(1111lim)105100(1lim 232+++=+++∞→∞→xx x x x x x x x18．求下列极限：（1）; 3sin 2sin lim0x x x → （2）; sin sin lim 0xx xx x +-→（3）; 5arctan 2lim0x x x → （4）; sin lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n π（5）; sin lim x x x -→ππ （6）; cos 1lim 0xxx -+→（7）; cos 1cos 1lim20x x x --→ （8）; sin tan lim 0xxx x -→（9）; sin tan cos lim 0x x x x x x --→ （10）. 65)1sin(lim 21-+-→x x x x解：1)3232lim 3sin 2sin lim00==→→x x x x x x2)0sin 1sin 1lim sin sin lim00=+-=+-→→xx x xx x x x x x 3)5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x4)ππππ===∞→∞→∞→nn nn nn n n n 1lim 1sin lim)sin (lim5)11cos lim ' )()(sin lim sin lim'=-=-=-→→→xx x x x x x x πππππ 6)2)'2sin 2()'(lim2sin2limcos 1lim 000===-+++→→→xx xx xx x x x7)2 8)0)cos cos 1(lim ')'sin (tan lim sin tan lim 2000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x x9)1cos lim )cos (sin )cos 1(lim sin tan cos lim0==-=--→→→x xx x x x x x x x x x10)7111lim )6)(1(1lim65)1sin(lim 1121=+=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x19．设3)1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ，. b解：因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221=+-++=-++→→x x bax x x b ax x x x所以)5)(1(2+-=++x x b ax x所以-5b . 4==a20．设nn n n x n ++++++=22212111 ，用极限存在的夹逼准则求. lim n n x ∞→解：因为nn nx n nn +≤≤+22111而111lim 2=+∞→n nn ，11lim 2=+∞→nn nn所以1lim =∞→n n x21．求下列极限：（1）; 31lim 3xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ （2）; )21(lim 13+∞→-xx x（3）; 21lim 30x x x +→ （4）; )tan 1(lim cot 210x x x -→+（5）; 1232lim 1+∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x （6）. 1312lim 10xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→解：1). ])31[(lim )31(lim 9933e xx xx x x =+=+∞→∞→2). )21(*])21[(lim )21(lim 3232213---∞→+∞→=--=-e xx x xx xx3). 323221030])21[(lim 21lime x x x x xx =+=+→→4). e x)tan 1(*]x)tan 1[(lim x)tan 1(lim 2-2tanx 12cotx -10=+++-→=→x x5). 1x)1221(lim )1232(lim 212121x e x x x x x x =+++=++++∞→+∞→6)xx x x x x x x 1010)131(lim )1312(lim --=--→→ =331)311(lim +-→-+x x x=. e22．设xx x k x x xx 2sinlim lim 2∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-，求. k解：因为.222sin 2lim 2sinlim ==∞→∞→xx x x x x所以. 2)1(lim )(lim 22*2==-=--∞→-∞→k kk xx x x e xk x k x 所以. n2121k =23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=; 0 , 0,0 , 1sin )(2x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=. 0 , 1, 0 , sin )(x x xx x f解：1)因为0x)(f lim 0=→x ，而0f(0)=.所以f(x)在定义域上是连续的。
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]
![微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/992ef9c06137ee06eff91822.png)
1 y 2 ec1 ( x2 1) ,记 c ec1 有 y 2 c( x 2 1) 1.
(4) 分离变量得,
1 dy sin x c dx ,两边积分得, tan y 2 2 cos x cos y c.
x 1 y 3
作变换
x u 1 ,原方程化为 y v 3
dv v u du u v
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令
v 1 du , 方程可化为 d 2 u 1 u
5
两边积分可得,整理可得, 2arctan ln u 2 (1 2 ) c 将
x y dx dy 0, y x 0 1 ； 1 y 1 x
y(1)0;
(6) yy′xey0, (7) y′e2xy，
y x 0 0 ．
dy dx 1 y 1 x (1 y 0) ,两边积分得
解: (1) 原方程分离变量得
2
ln 1 y ln 1 x c1
y 2x
y
(7) 分 离 变 量 得 e dy e dx , 两 边 积 分 得 e
1 2x e c , 由 y 2
x 0
0 得
3
c
1 1 2x y ,所以,原方程满足初始条件的特解为 e (e 1) . 2 2
2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0 的物体放在保持常温 为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有
(5) 原方程可化为: y(1 y)dy x(1 x)dx ,两边积分得 由 y
y 2 y3 x 2 x3 c 2 3 2 3
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社 第八章
第八章习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z=(2)1ln()zx y=-；(3)z=arcsin yx；(4)zarccos（x２+y２）．解：（1）要使函数有意义，必须222210x ya b--≥即22221x ya b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x yx ya b⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.图8-1 图8-1（2）要使函数有意义，必须ln()0x yx y-≠⎧⎨->⎩即1x yx y-≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y>且1}x y-≠,如图8-2所示为直线y x=的下方且除去1y x=-的点的阴影部分（不包含直线y x=上的点）.（3）要使函数有意义，必须1yxx⎧≤⎪⎨⎪≠⎩,即11yxx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即x y xx-≤≤⎧⎨>⎩或x y xx≤≤-⎧⎨<⎩，所以函数的定义域为{(,)|0x y x>且}{(,)|0,}x y x x y x x y x-≤≤<≤≤-，如图8-3阴影所示.图8-3 图8-4（4）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩即222001x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩, 所以函数的定义域为222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,如图8-4阴影所示.２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ⎛⎫⎪⎝⎭； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）32(2,3)(2)2(2)33331f -=--⨯-⨯+⨯=;（2）23321211221412,23f x y x x y y x xy y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （3）32(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3222()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )f，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式． 解：由(,1)F x x =得1)x f =即1)1f x =-1t =则2(1)x t =+代入上式有2()(1)1(2)f t t t t =+-=+所以 ()(2)f x x x =+于是(,)1)1) 1F x y f x ===-４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２＋y ２＞０｝； (4)(0,2]A =． 解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点∅ 边界点A 聚点A （3）内点A边界点（0，0） 聚点A（4）内点∅ 边界点[0,2] 聚点[0,2]习题8-2１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224xy x y+； (2) z =x y x y +-． 解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim 1y y y kxky kf x y k y y k →→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数224Z=xy x y+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y kxx kx kf x y k x kx k→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数Z=x yx y+-在(0,0)处的极限不存在. ２．求下列极限：(1) 00sin limx y xy x →→； (2)22011lim x y xyx y→→-+；(3)00x y →→ (4)22sin lim x y xy x y →∞→∞+．解：（1）0000sin sin()limlim 0x x y y xy xy y x xy →→→→=⋅=（2）222211101lim101x y xy x y →→--⨯==++（3）0000001)2x x x y y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，221x y+是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y xyx y →∞→∞=+.３．求函数z =2222y xy x+-的间断点．解:由于220y x -=时函数无定义，故在抛物线22y x =处函数间断，函数的间断点是2{(,)|2,R}x y y x x =∈.习题8-3１．求下列各函数的偏导数：(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntany x； (3) z =arctan yx； (4) u =zx y ．解：（1）1(1)y zy x x-∂=+∂(1)ln(1)y zx x y∂=++∂; （2）22221sec cot sec ;tan z y y y y y yx x x x x x x∂-=⋅⋅=-∂ 22111sec cot sec ;tan z y y y yy x x x x xx∂=⋅⋅=∂ （3）22221;1zy yxx x yy x ∂--=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭22211;1zx yx x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）22ln ln ;z zx x u z z yy y y x x x∂-=⋅⋅=-⋅∂1;1ln ln .zxzz x xu z y y xu y y y y z x x-∂=∂∂=⋅⋅=⋅∂２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．解：sin sin sin (,)e (cos )(2)e e [cos (2)1]x x x x f x y x x y x x y ---'=⋅-++=-⋅++ s i ns i n(,)e22ex x y f x y --'=⋅= 所以sin0(0,1)e (cos0(021)1)1x f -'=-⋅+⨯+=- s i n 0(0,1)2e 2y f -'== ３．设z =x +y +(y -，求112811,x x y y z z x y====∂∂∂∂．解：1122112d (,1)d(1)1d d x x y x z f x x xx x====∂==+=∂又23211(3z x x y y y y-⎛⎫∂-=+-⋅ ⎪∂⎝⎭所以1811π11arcsin 126x y z y==∂=+=+=+∂. ４．验证z =11+ex y ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足222z zxy z x y∂∂+=∂∂． 解：1111()()2211e ex yx y z x x x-+-+∂-=⋅-=∂ 1111()()2211e ex yx yz y y y-+-+∂-=⋅-=∂所以1111()()22222211e ex yx y z z x y x y x y x y-+-+∂∂+=⋅+⋅∂∂ 11()2e 2x yz --+==５．设函数z =2222422,00,0xy x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f z y y ∆→∆→+∆--'===∆∆ 00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f z x x∆→∆→+∆--'===∆∆ 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.６．求曲线22(),4z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩14在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 解：因为 242z x x x ∂==∂，故曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)1z x ∂=∂,所以切线与x 轴正向所成的倾角πarctan14α==.７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ． 解：,z zy x x y ∂∂==∂∂∴ d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ 而()()z x x y y xy x y y x x y ∆=+∆+∆-=∆+∆+∆∆ 当0.1,0.2,2,3x y x y ∆=∆=-==时，d 30.12(0.2)0.1z =⨯+⨯-=-2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ∆=⨯-+⨯+⨯-=-. ８．求下列函数的全微分：(1) 设u =()zx y，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z，求d z ．解：（1）1121(),()z z u x u x x z z x y y y y y --∂∂-=⋅⋅=⋅⋅∂∂;()ln ,z u x xz y y∂=∂ (1,1,1)(1,1,1)1,1,u u x y∂∂∴==-∂∂ (1,1,1)0u z∂=∂,于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)d d d d d d z z z ux y z x y xyz∂∂∂=++=-∂∂∂（2）z x∂==∂2zy∂==∂ ∴22d d d d d z z z x y xyx y ∂∂=+=∂∂习题8-4１．求下列各函数的全导数：(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1t，y．解：（1）d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+⋅∂∂ 22323232cos 3e 2(sin )e 32=2e(3sin )2e (3sin )x y x y x yt t t tt t t t ++++=⋅⋅-+⋅⋅-=-（2）d d d d d d z f f x f y t t x t y t∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂223223222321sec (32)3sec (32)4 sec (32)3t x y t x y xt t x y y -=++⋅+++⋅+++⋅3223242(3(3)t t t t=-++. ２．求下列各函数的偏导数：(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;(2) z =e uv , u =, v =arctany x． 解：（1）z z x z yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22222222222(2)cos (2)sin 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 3sin cos (cos sin )xy y v x xy vu v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22323333323333(2)sin (2)cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )xy y u v x xy u vu v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++（2）221e e 1()uv uv z z u z v y v u y x u x v x x x∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂+arctan2222e e()(arctanyuvxyxv yu x y x y x y x=-=-++211e e 1()uv uv z z u z vv u y y u y v yxx∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂+2222e e()(arctanln y uvxyyv xu x x x y x y x=+=+++ ３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (,x yy z)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )． 解：（1）121110u f f f x y y ∂'''=⋅+⋅=∂12212211u x x f f f f y y z z y ∂-''''=⋅+⋅=-∂122220u y y f f f z z z∂-'''=⋅+⋅=∂ （2）令22,u x y =+则()z f u =22d ()22()d z f u f u x xf x y x u x∂∂''=⋅=⋅=+∂∂22d ()22()d z f u f u y yf x y y u y∂∂''=⋅=⋅=+∂∂ （3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.123123d 1d u f t f v f w f f y f yz f yf yzf x t x v x w x∂∂∂∂∂∂''''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂ 12323d 0d u f t f v f w f f x f xz xf xzf y t y v y w y∂∂∂∂∂∂'''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂1233d 00d u f t f v f w f f f xy xyf z t z v z w z∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ ４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =yx，Ｆ（u ）可导．证明：2z zxy z x y∂∂+=∂∂． 证：222()()2()()z yy xF u x F u y xF u yF u x x∂-''=++⋅=+-∂21()()z x x F u x xF u y x∂''=+⋅=+∂22()()()z zxy xy x F u xyF u xy xyF u x y∂∂''∴==+-++∂∂ 22[()]x y x F u z=+=∂ ５．利用全微分形式不变性求全微分：(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =222()yf x y z --，f 可微． 解：（1）令22,sin(2)u x y v x y =+=+，则vz u =122d d d d()ln d sin(2)v v z zz u v vu x y u u x y u v-∂∂=+=++⋅+∂∂122sin(2)2222(2d 2d )ln cos(2)d(2)[2(d d )ln cos(2)(2d d )]2sin(2)()(d d )cos(2)ln()(2d d )v v v x y vu x x y y u u x y x y vu x x y y u x y x y ux y x y x x y y x y x y x y x y -+=++⋅++=⋅++⋅++⎡⎤+=++++++⎢⎥+⎣⎦（2）22222222111d d d d ()d()yu y y f y f x y z x y z f f f f-'=+⋅=-----222222222222221()d (2d 2d 2d )12()d (d d d )()()yf x y z y x x y y z z f f yf x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=-------６．求下列隐函数的导数：(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设x z =ln z y，求,z zx y ∂∂∂∂． 解：（1）设(,,)e e 0x yx F x y z xyz +=+-=，则ee ,e ,x yx x y x y z F yz F xz F xy ++'''=+-=+=故e e e ,x x y x yy x y z F Fx yz xzz z Fz xy F xy++'--+''=-==-=-（2）设(,,)ln 0x zF x y z z y=-=,则 2221111,,x y z y z x y x F F F z z y y z z y z z--'''==-⋅==-⋅=--故21x z F z z z xF x z z z '∂=-=-='∂+--2211()y z F z z yx yF y x z z z'∂=-=-='∂+-- ７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z zzy x x y∂∂+=∂∂． 证：设22(,,)()F x y z x z yf x z =+--则2212()x F xyf x z ''=--2222()12()y z F f x z F yzf x z '=--''=+-故22222()112()x z F zxyf x z x F yzf x z ''∂--=-=''∂+- 2222()12()y zF z f x y y yzf x z F '∂-=-='∂+-' 从而22222222()()12()12()z z xyzf x z z yf x y z y x y yzf x z yzf x z '∂∂∂---+=+''∂∂+-+- 222222222222222()()12()2()12()[2()1]12()xyzf x z z yf x y yzf x z xyzf x z z x zyzf x z x yzf x z x yzf x z '--+-='+-'--++='+-'-+=='+-８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求z x ∂∂及z y∂∂． 解法一：由e cos ,e sin u ux v y v ==得221ln(),arctan ,2yu x y v z uv x=+== 故22(cos sin )e uz z u z v xv yu v v u v x u x v x x y-∂∂∂∂∂-=+==-∂∂∂∂∂+22(sin cos )e uz z u z v yv xu v v u v y u y v y x y-∂∂∂∂∂+=+==-∂∂∂∂∂+ 解法二：设方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v v x x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得e cos e sin u u uv xv v x --∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-⎪∂⎩又方程组的两个方程关于y 求偏导得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得：e sin e cos uu u v y v v y--∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ 从而e (cos sin )u z z u z vv v u v x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+=-∂∂∂∂∂e (s i n c o s )uz z u z v v v u v y u y v y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0xye y -=和e z -xz =0确定，求d d ux． 解：方程e 0xyy -=两边对x 求导得d de ()0d d xyy y y x x x +-=，解得2d e d 1e 1xy xy y y y x x xy==-- 方程e 0zxz -=两边对x 求导得d de 0d d zz z z x x x--= 解得d de z z z z x x xz x==-- 从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y zf f f f x x x xy xz x''''''=++=++--习题8-5１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctany x； (3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )．解：（1）23222248, 128;z z x xy x y x x∂∂=-=-∂∂232222248, 128;1622z z y x y y x y y zxy x y∂∂=-=-∂∂∂=-（2）22221,1()z y y y x x x y x∂-=⋅=-∂++ 22222222222222222222222222222211,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y x x y xz y xyx x x y x y z x xyy y x y x y z x y y y y x x y x y x y ∂=⋅=∂++∂-=-⋅=∂++∂--=⋅=∂++∂+-⋅-=-=∂∂++（3）1ln , ,x x z zy y xy x y-∂∂==∂∂222222211ln , (1),1ln (1ln )x x x x x z z y y x x y x y z xy y y y x y x y y---∂∂==-∂∂∂=+⋅=+∂∂（4）1ln()1ln(),z xy x y xy x xy∂=+⋅⋅=+∂22222211,1,11.z y x xy x z x x x y xy y z xy y z x x y xy y∂=⋅=∂∂=⋅⋅=∂∂=-∂∂=⋅=∂∂２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微： (1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )．解：（1）2222, 22224z zxf f xf x f x f x x∂∂'''''''==+⋅=+∂∂ 2222, 22224z zyf f yf y f y f y y ∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2224zxf y xyf x y∂''''=⋅=∂∂（2）1212, =+2 z zyf f xf f x y∂∂''''=+∂∂ 22111221221112222(1)12zy f y f f y f y f yf f x∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 22111221*********(2)2(2)44z x f x f f x f x f xf f y∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 21111221221111222(2)2 (2)2zf y f x f f x f x y f xyf x y f f ∂'''''''''=++⋅+⋅+⋅∂∂'''''''=++++３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数． 解：设(,,)e 0zF x y z xyz =-=，则,,e z x y z F yz F xz F xy '''=-=-=-于是,e x z z F z yz zx F xy xz x∂=-==∂--e z z xz zy xy yz y∂==∂-- 从而222()(1)()z z xz x z z x zx x xxz x ∂∂--+-∂∂∂=∂-232223(1)221.(1)(1)z z z z z z z z x z x z --+---==-- 223222223()(1)(1)221.()(1)(1)z zz yz y z z y z z z z z z z y y z y yz y y z y z ∂∂--+---+∂--∂∂-===∂--- 2222233()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z z xz x z x z z z z z y y y y z x y xz x x z xy z xy z ∂∂---∂---∂∂-====∂∂----习题8-6１．求z =x ２+y ２在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2的方向的方向导数．解：设(1,2),(2,2o p p ，则射线l的方向就是向量(1o p p =的方向，将o p p 单位化得：1(,),22||o o p p p p =于是1cos ,cos 2αβ==, 又2,2,f fx y x y ∂∂==∂∂ 于是(1,2)(1,2)2,4,f f x y∂∂==∂∂所以(1,2)124122f l∂=⨯+=+∂ ２．设u =xyz +x +y +z ,求u 在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数．解：设0(1,1,1),(2,2,2)p p ,则射线l 的方向就是向量0p p =(1,1,1)的方向，将0p p单位化得00||p p p p =⎝⎭，于是cos αβγ=== 又1,1,1f f f yz xz xy x y z ∂∂∂=+=++∂∂∂，于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)2,2,2fff xyz∂∂∂===∂∂∂,所以(1,1,1)222333f l∂=⨯+⨯+⨯=∂. ３．求函数z =x ２-xy +y ２在点Ｍ（１，１）处沿与Ox 轴的正方向所成角为α的方向l 上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：2,2f f x y x y x y ∂∂=-=-+∂∂, (1,1)(1,1)1,1f fx y∂∂==∂∂∴(1,1)π1c o s 1s i n 2s i n ()4f lααα∂=⋅+⋅+∂当πsin()4α+=1，时，即π4α=当πsin()14α+=-时，即5π4α=时，此方向导数有最小值当πsin()04α+=时，即3π4α=或7π4时，此方向导数为0.习题8-7１．求下列函数的极值： (1) z=x ３-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0． 解：（1）由方程组：23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩ 得驻点（0，0），（2，2） 又68,2,2,xx xy yy z x z z ''''=-==-在点（0，0）处，2120B AC -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B AC -=>该点不是极值点.（2）由方程组222e (2241)0e (22)0x xx y z x y y z y ⎧'=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-.又2222e (4484),e (44),2e xxxxx xy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，在点1(,1)2-处22202e 2e 4e 0,B AC -=-⋅=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值11(,1) e.22f -=- （3）由方程组(2)0(2)0xy z y a x y z x a y x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.33a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又2,22,2xx xy yy z y z a x y z x ''''''=-=--=-.在点（0，0）处，220,B AC a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点.在点,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭处,2203a B AC -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3,3327aa a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于23xx A z a ''==-故 当0a >时，(0)A <，函数有极大值327a ,当0a <时，(0)A >，函数有极小值327a .２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.解：由方程23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点（0，0），（2，2）（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.D 的边界可分为四部分：12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ϕ-=---=-≤≤因为()2(1)0,y y ϕ'=-+≤所以()y ϕ单调递减，因而(1)4ϕ-=-最大，(1)8ϕ=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤令()0g x '=得124433x x ==.而122227min{(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==,1214227m a x {(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x -==分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数(,)f x y 在D 上的最大值，116.1f ⎫-=≈-⎪⎪⎝⎭. ３．求函数z =x +y 在条件111x y+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值． 解：构造拉格朗日函数11(,)1F x y x y x y λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭解方程组221010111x y F x F y x yλλ⎧'=-=⎪⎪⎪'=-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。
微积分II课后答案详解
2 4 4 4 = + + = )1,1,1( | z u + y u + x u ∴ 3 3 2 1
3
z + y + x +1 = zu z3
2 2
3
z + y + x +1 = yu y2
2
3
z + y + x +1 = x u �解 1
2
z
u + y u + x u求处� � 1 � 11 �点在 ,) 3 z + 2 y + x + 1(nl = u 设�3
z2
) yx (nl y 2 yx 2 y∂ = x. . 2 ]) yx (nl[ = 1 1 1− 1 z∂ ) yx (nl x 2 yx 2 x∂ = y . . 2 ]) yx (nl[ = �解 1 1 1− 1 z∂ y∂ x∂ , 求 , ) yx (nl = z ② z∂ z∂
2
yx 3 − 3 x =
�y + x � )y + x ( 2 )y + x ( y + x � x∂ y∂ y∂x∂ 2 � y∂ + + = = + = y x = ) ( n l ) ( y x−0 z∂ ∂ z2 ∂ 1 � x � ∂
)y + x ( 2 )y + x ( y + x x∂ y +x x∂ x∂ x∂ 2 = + =) + ) y + x (nl( = ) ( = 2 y2 + x x−y +x x ∂ z∂ ∂ z2 ∂ 1 y +x x∂ .x + ) y + x (nl = �解 z∂ 1 y∂x∂ 2 x∂ 求 ,) y + x (nl x = z ③ , ∂ z2 ∂
微积分第二章习题参考答案
,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )
微积分2习题答案
微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上］⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续，则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①，②=24.7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时，l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时，① x + sinx12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量，则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ：① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛？ + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ，( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n ［解］记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在，故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。
微积分II课程微积分2答案
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
微积分二第六章课外练习题参考答案
《微积分二》第六章课外综合练习题（一）参考答案单项选择题：1．设2()()2x xF x f t dt x =-⎰，其中()f x 是连续函数，则2lim ()x F x →=（ C ）。
A .0B .(2)fC .2(2)fD .不存在提示：22222()()()lim ()limlim21xxx x x x f t dtf t dt xf x F x x →→→+==-⎰⎰22()2(2)2(2)f t dt f f =+=⎰。
2．设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，则10()f x dx ⎰=（ B ）。
A.2π B. 3π C. π D. 4π提示：111320001()[()]1f x dx x f x dx dx x =++⎰⎰⎰111320001()1dx f x dx x dx x=+⋅+⎰⎰⎰ =11001arctan ()4x f x dx +⎰101()44f x dx π=+⎰所以10()3f x dx π=⎰3．设()(),()xaf x f t dt '⎰为连续函数则 为（ C ）。
A ．)(t fB ．)()(a f t f -C ．)(x fD ．)()(a f x f - 提示：利用积分上限的函数的性质。
4．设)(x f 为连续函数，则()()b baaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰等于（ A ）A ．0B ．1C ．b a +D ．()b af x dx ⎰提示：()()()()t a b xba b babaaf a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==⎰⎰⎰⎰。
5．下列定积分中，其值为零的是（ D ）A ．22sin x xdx -⎰ B ．2cos x xdx ⎰ C ．22()x e x dx -+⎰ D ．22(sin )x x dx -+⎰提示：因为sin x x +是奇函数。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/(某)=3某2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(某)=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。
3.已知z=f(某,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）： 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。
2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R(某)=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法)（8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200某+400y-100000=0（2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案： 有极大值４８，有极小值１２
学霸解析：
的驻点为（－２，－１）（－２，３）（－４，－１）（－４，３）
在（－２，－１）处，Ａ＝－６，Ｂ＝０，Ｃ＝１２， ，不是极值点
在（－２，３）处，Ａ＝－６，Ｂ＝０，Ｃ＝－１２， ， ， 为极大值
在（－４，－１）处，Ａ＝６，Ｂ＝０，Ｃ＝１２， ， ， 为极小值
， ， 狭义积分收敛。
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
考查知识点：定义
（2）答案：1.6
学霸解析：
考查知识点：积分运用
3.答案：
学霸解析：
考查知识点：求导的数学应用
四、
学霸解析：
考查知识点：积分方程求法
模拟卷一答案
一、
1.答案：
学霸解析： , ,
考察知识点：代入法
2.答案：1
学霸解析：
考查知识点：lim求法
3.答案：4
学霸解析：
考查知识点：配对、带入
4.答案：2
七、
答案：
学霸解析：
知识点：级数的替换，难。
八．
学霸解析：利润为
（8,4）为唯一驻点为最大值
价格分别为
答：最大利润为605，此时两市场的销售价格分别为80元和120元。
知识点：对x,y分别求偏导，难。
2011-2012真题答案
一、填空题
1.答案：4/3
学霸解析：
考查知识点：定积分求法
2.答案：-2Ln2
四、答案：
学霸解析：
考察知识点：求导的方法
五、答案：
学霸解析：
考查知识点：定积分在D上的值的求法
六、
答案：
学霸解析：
因为 所以
所求特解为
考查知识点：初值求法
七、
答案：
学霸解析：
当 时 发散
收敛区间为
设
设
则
所以
时
考查知识点：幂级数的敛散性、和函数求法
八、答案：3/10π
学霸解析：
考查知识点：图形绕X,Y轴旋转所得体积的求法
4、答案：
学霸解析：画图可得，
知识点：二次积分定义域，易。
5、答案：
学霸解析：
.
知识点：求三角函数极限，难。
6、答案：
学霸解析：由极坐标的定义可知，
知识点：极坐标定义，易。
二、
1、
答案：A
学霸解析：该无穷级数无法判断其收敛性。
知识点：收敛性，易。
2、
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
五、
答案：
学霸解析：设x,y为直角三角形的两个直角边长，
则问题归结为求周长s=x+y+ 2，满足条件x2+y2= 4，x> 0,y> 0的最大值
因为实际问题确实有最大值，因此斜边为2而周长最大时在 处取得
此时直角三角形的面积为
知识点：多元函数求偏导，难。
六、
证明:令 , ,
显然 , ,且 ,
由罗尔定理知： , ,所以 .
考查知识点：级数求和的方法
4.答案：
学霸解析：
对应的齐次方程
通解：
考查知识点：微分方程求解法
6.答案：BD
学霸解析：
A.可积
C.非最小值点
考查知识点：可积、可微、最小值点、敛散性的定义
二、计算与分析
1.答案：π
学霸解析：
原始= =-2
考查知识点：敛散性判断、求值
2.答案：2y/(x+y^2)^2
学霸解析：∂z/∂x=1/(x+y^2),∂z/∂y=2y/（x+y^2）
考查知识点：反常积分
4.答案：D
学霸解析：定义
考查知识点：收敛定义
5.答案：D
学霸解析：收敛定义
考查知识点：收敛定义
三、计算题
1.答案：19/3
学霸解析：原式=
考查知识点：定积分计算
2.答案：1/4
学霸解析：
考查知识点：敛散性判别
3.答案：
学霸解析：
考查知识点：求导
4.答案：
学霸解析：
考查知识点：求dz方法
九、答案：1250
学霸解析：
解
1250
考查知识点：求导、最大值求法
十、
学霸解析：
考查知识点：积分、微分、绝对值综合应用
模拟卷二答案
一、填空题（共6个空，每空2分,满分12分）
1、答案：充要。
学霸解析：部分和数列 的极限存在是级数 收敛的充要条件。
知识点：部分和整体的收敛性，易。
2、答案： 。
学霸解析：
知识点：微分方程的通解，中。
3、答案： 。
学霸解析：特征方程为 ，解得 ，另外特解是 ，
从而通解为
知识点：微分方程的通解，中。
4、答案： 。
学霸解析：根据定义，级数 收敛的必要条件是 。
知识点：收敛性定义，中。
5、
答案： 。
学霸解析： , , 。
知识点：函数替换，中。
6、答案：
学霸解析：
知识点：求不定积分，中。
考查知识点：近似值求法
4．答案：极小值点f（1,1）=-1
学霸解析：
在（0,0）处，A=C=O B=-3 B^2-ac=9>0
考查知识点：最小值点求法
(1,1)B^2-4AC<0极小值点f（1,1）=-1
5.答案：1/15
学霸解析：
d=
考查知识点：固定面积内求积分
6.答案：
学霸解析：
考查知识点：交换积分次序
学霸解析：
知识点：微分方程求通解，难。
二 、
1.
答案：C
学霸解析：绝对收敛：对于级数 ,如果级数 收敛的话，则称 为绝对收敛。
条件收敛：如果 发散，但 却是收敛的，则称 为条件收敛。
知识点：幂级数收敛性，易。
2．
答案：D
学霸解析：对于A，
对于B，
知识点：二重积分，中。
3．
答案：B
学霸解析： 广义积分收敛
4、答案：
学霸解析：由复合函数的导数法则得
知识点：复合函数的导数法，中。
5、答案：
学霸解析：用极坐标计算，由 ，得D:
知识点：求二重积分，中。
6、
答案：绝对收敛
学霸解析：因为
由比值判别法知 收敛( )，
从而由比较判别法知 收敛，所以级数 绝对收敛。
知识点：收敛性，中。
7、答案：
学霸解析：关系式两端关于 求导得：
即
这是关于 的一阶线性微分方程，其通解为：
又 ，即 ，故 ，所以
知识点：求原函数，中。
8、答案： ，
学霸解析：（一）令
则 ， ，
利用公式，得
（二）在方程两边同时对x求导，得
解出
，
同理解出
知识点：多元函数求偏导，难。
四、
答案：
学霸解析：由题意得：
令
解得当 时，20年后，银行的余额为0。
知识点：求导求值，中。
学霸解析：
考查知识点：求导数
3.答案：
学霸解析：
得
考查知识点：幂级数定
4.答案：0
学霸解析
考查知识点：交换积分
5.答案：y=
学霸解析：
得Y=
考查知识点：微分方程求解
二、单项选择题
1.答案：A
学霸解析：
考查知识点：定积分求法
2.答案：B
学霸解析：(3)正确
考查知识点：最小值定义
3.答案：C
学霸解析：反常积分定义
同理可得f（x）=0
③ 在（a,b）上有正有负
不妨设a<x1<x2<b
f(x1)f(x2)<0
由零值定理可得存在C属于（a,b）
使得f(c)-c=0
从而，由①②③可知，一定有c属于（a，b）使得f（c）-c=0
令
F(X)在[a，c]上连续，在（a，c）上可导
由罗尔定理，
使得
得证
2012-2013真题答案
5.答案：1
学霸解析：
考查知识点：双重积分求法
6.答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：固定面积内求积分
7.答案：
学霸解析：
考查知识点：三角函数求积分
四、答案：条件收敛
学霸解析：
考虑
发散。
所以
所以原式条件收敛
考查知识点：条件收敛判断
五、
（1）答案：收敛于【-1,1)
学霸解析：
X=1
发散
X=1
收敛于【-1,1)
学霸解析： 有3个零点 : ,
有2个零点 : ,
,显然 符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.
考查知识点：拐点数、微分
5.答案：