电磁感应习题课

解法二：作辅助线OA,OB,OC,OB与圆周交点于D,ΔAOC 和△OCB所围回路产生的电动势即为AB产生的电动势， 设方向为顺时针， d d B

2
S
d t
S S OAC S COD 3 4 1 2 2 . 1 10 V
5
d t
1 2 R
2
R sin 60
E感
R
2
B t
2r
d B d S B d S Ba d x
B
1.如图，两条平行导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一 个边与长导线平行，到两长导线的距离分别为r1,r2,已知两导线 中电流都为I＝I0sinωt,I0,ω为常数，导线框长为a宽为b求导线 框中电动势。 A B 解：对这类题目主要类型有①I不 x 变，线圈以v运动；②I变化，线 r1 圈不动；③I变化，线圈运动，都 a 应先求出B分布，然后求出Φ＝Φ I I r2 （t),最后求出d Φ/dt. 0 b 选顺时针方向为ε的正方向，取 x dx 面元dS=adx

0l
ln
d a a
15 20 自感系数为 两个线圈之间的互感为 求串联后的等效自感系
L 1 和 L 2的 M, 数。
L1
M
L2
①顺接时不但电流相同， 而且L1中的自感电动势ε11和互 感电动势ε12方向相同，故L1中 的电动势为
1 11 12 ( L 1
①动生电动势的计算
＝ v B ） d l ； （

d dt
(闭 合 、 一 段 ）
方向：正方向确定；v×B 确定；楞次定律 确定。
②感生电动势的计算
＝
d E感 d l ； (闭 合 、 一 段 ）
dt
方向：正方向确定；楞次定律确定。
b


0
0 Iy d x
2 ( d x )
b

0I
2
b

0
yd x d x

0I
2
b

0
2 x 0 .2 x 0 . 05 0 . 15
d x

0I

0
x 0 .1 x 0 . 05
8
d x
0I
b
( x 0 . 05
b
B1
0I
2 r
a c
12
d
S


c
0 I1
2 r
adr
0 I 1a
2
b
ln
b c
M
12 I1

0a
2
ln
b c

0a
2
ln 3
(2)线框中的互感电动势: 0a d I1 2 M ln 3 I 0 cos t dt 2
代入数据,即可求出最后结果.
15-16 有大小两个圆形线圈同心共轴放置,小线圈由50匝表面 绝缘的细导线绕成圆面积S=4.0cm2,大线圈由100匝表面绝缘的 导线绕成,大圆半径R=20cm,求: (1)两线圈的互感系数; (2)当大线圈中的电流以50A/s的变化率减少时,小线圈中的感 应电动势. 0 N 1I1 （大线圈圆心处的磁场） 解:(1) B 1
③自感电动势的计算
④互感电动势的计算
＝ L
1＝ M
L
d I dt d I2 dt
2＝ M百度文库

I
12 2
d I1 dt
,L 2W I
2 m
2. 互感和自感的计算
3. 磁场能量的计算
Wm 1 2

I
,M


21
I1
Wm
2
1 2
LI
2
L1 I 1
1 2
L2 I 2 M 12 I 1 I 2
0
x 0 . 05
x 0 . 05
)d x
2 . 59 10

I
2 . 59 10
8
dΦ dt
d I dt
5 . 18 10
8
V
其方向为反时针方向。
3. 15--11 在半径为R=10cm的圆柱形空间充满磁感应强度 为B的均匀磁场，如图，B的量值以3.0×10-3T/s的恒定速率 增加。有一长为L=20cm的金属棒放在图示位置，一半在磁 场内部，另一半在磁场外部，求感应电动势εAB.
解法一：如图取dl, 已知AC上的E感为
E感
× × 0 × × r θ’
B 2 t
r
2
CB上的E感为
E感 R
× ×θ × × R θ’ r × h × × A × θ
B t
2r
C
B
则


AC

E 感 dl

E 感 d l cos ＝
r d B 2 dt
cos d l
ln
r2 b r2
)
当cosωt>0时，ε<0, ε沿反时针方向；
当cosωt<0时，ε>0, ε沿顺时针方向。
2. 如图，长直导线AB中的电 流I沿导线向上，并以 dI/dt=2A/s的变化率均匀增长， 导线附近放一个与之同面的直 角三角形线框，其一边与导线 平行，位置及尺寸如图，求线 框中的感应电动势的大小和方 向。 解：与上题类似，只是计算Φ的 难度要增加，无新的物理意义。
②反接时，每只线圈中的互感 ε11 电动势与自感电动势反向
1 ( L1
d I dt d I dt M M dI dt d I dt d I dt ) )
ε12
ε22
ε22
2 ( L2
I
1 增加 2 3 4
2 1 2 ( L1 L 2 2 M )
2

dt 4 E感 d l

E 感 d l cos ＝
dB
cos d l

2 2 R h dB
t

AB
3 4
AC
CB
2
(


12
)R
dB dt
× × 0 × × ×× × × Rr × × × A × C
r B

2
wm
1 B 2
2

1 2
H
2
1 BH B H 2 2 1
Wm
dW m w m dV
V
1 B HdV 2
四、特殊的结论 无限长螺线管的自感 同轴电缆的自感
E感
L n V
2
L
l
2
ln
R2 R1
B 2 t
r
L

d I dt
( L1 L 2 2 M )
15-14 一无限长直导线通以电流I=I0sinωt,和直导线在同一平 面内有一矩形线框,其短边与直导线平行,b=3c,如图所示. 求:(1)直导线与线框的互感系数.
i I 0 sin t
(2)线框中的互感电动势.
解:(1)设直导线为1,线框为2,则有:
B1
12 N
0 I1
2 r B dS N
12 I1
R2 R1
i

0 I 1b
2 r
R2 R1

S
dr
0 NI 1 b
2
ln
R2 R1
R2
R1
b
故:
M

0 Nb
2
ln
1 M
dI2 dt

0 NbI 0
2
ln
R2 R1
sin t
I q T 2 r2
2 (t)
( t ) r2
在圆心处形成的磁场为:
B
0I
2 r2

0 ( t ) r2
2 r2

0 ( t )
2
r2 r1
(t )
BS
d dt
0 ( t )
2
2
S1
0 ( t )
2
15-17 一矩形截面螺绕环由细导线密绕而成, 内半径为R1,外 半径为R2,高为b,共N匝;在螺绕环的轴线上另有一无限长直导 线 OO', 如 图 所 示 , 在 螺 绕 环 内 通 以 交 变 电 流 i=I0cosωt, 求 当 ωt=π/4时,在无限长导体中的感应电动势.
解:设导线为导体1,螺绕环为导体2,则:
小结
一、基本概念 动生电动势（洛仑兹力) 感生电动势（感应电场） 4. 互感
1. 感应电动势
2.感应电场 3.自感
二、基本规律 dΦ dΨ dΦ 1.法拉第电磁感应定律 , , N
dt dt dt
2. 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）
三、计算类型 1. 感应电动势的计算


6
(
3 4


12
)R
2
(


12
)R
2
dB dt
×
ε<0,方向为反时针。即 从A→B
A
× × × ×
×O
×
× × D 30° × ° 60× 120° × C
B
15—15 一三角形线框ABC与无限长直导线共面，其AB边与 直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之间的互感系数。
解：取面元 d S h d x ( b a x ) tg θ d x
d I dt M d I dt )
I 增加 1 2 3
4
同理得L2中的电动势 总电动势为
1 2 ( L1 L 2 2 M )
2 22 21 ( L 2
d I dt
M
d I dt
)
d I dt
L

d I dt
( L1 L 2 2 M )
2R
12 N 2 S 2 B 1
0N 1N 2S2
2R
R
I 1 （小线圈的磁链）
6
s
M
12 I1

0N 1N 2S2
2R
dI1 dt
6 . 28 10
4
H
(2) 2 M
3 . 14 10
V
2409 一半径为r2,电荷线密度为λ的均匀带电圆环,里面有一半 径为r1总电阻为R的导体环,两环共面同心(r2>>r1),当大环以变 角速度ω=ω(t)绕垂直于环面的中心轴旋转时,求小环中的感应 电流,其方向如何? 解:等效电流为:
L

ln
a
I d
0I 1 1 d B d S B d S ( )l d r 2 r d r
I


0 Il
2
d a

a
(
1 r

1 d r
ln
)d r
a
L
0 Il
2
[ln
d a a
d a
] I

0 Il
ln
d a a L
B
0I
2 ( a x )
B a
d B d S
0I
2 ( a x )
( b a x ) tg θ d x


0I
2
2
ba
tg θ

0
ba x a＋ x
b a
dx
0I
2
ba
A x θ o dx b
） x d
C
x
tg θ

0
(
b a x
0I
2 x

0I
2 ( x r1 r 2 )
r1 b


r1
0 Ia
2
(
1 x

1 x r1 r 2
)d x
0 Ia
2
(ln
r1 b r1
ln
r2 b r2
)

d dt

0 Ia
2
cos t (ln
r1 b r1

a x a＋ x
0I
tg θ [ b ln
( b a )]
M I
0
2
tg θ （ b ln
b a
a b)
15—18 两导线的半径a，中心距离为d，载有大小相等方向 相反的电流，试证明长为l的一段的自感为 0l d a
B
0I
2 r

0I
2 ( d r )
r1
2


0 r1 d ( t )
2 dt
典型选择题:
1.在一自感线圈中通过的电流I随 时间t的变化规律如图 a 所示,若以 I的正方向作为ε的正方向,则代表 线圈内自感电动势ε随时间变化规 律的曲线为图 b 中的哪一个?
L
d I dt
A h I d
y
h=20cm d=5cm b=10cm
x B x dx b

建立坐标系，规定顺时针方向为正。 d B d S 而直角三角形斜边的方程为 y=-2x+h=-2x+0.2
B
0I
2 ( d x )
, d S y d x , d
0 Iy d x
2 ( d x )

h d B 2 dt
dl

h 2
AC
dB

3
R
2
dB dt
( AC R , h R sin 60
R
2


3
R)
r d
CB
2
2r d t 2r d 2 2 1 R dB R dB 3R tg 3 R / 2 h h R cos 30 d 1 tg R / 2 h 2 dt 2 dt 2 1 2 R dB 3 1 1 (tg 3 tg ) 2 dt 3 dB 2 d B ( ) R 2 dt 3 6 12 dt R