物理-阻尼振动 受迫振动和共振
大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
物理 第6章 振动2(阻尼与受迫振动及振动合成)
（3）共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
塔科马海峡桥的倒塌
11
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成 1. 分振动: x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动: x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 1 故 3 (2k 1) 即
(k 0,1,2,)
3 2k
(k 0,1,2,)
22
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 A1 cosω1 t 1. 分振动: x2 A2 cosω2t A2 A 2. 合振动: x x1 x2 当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0 e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
稳定受迫振动的运动方程65受迫振动共振驱动力的角频率受迫振动的振幅由系统的固有频率w阻尼系数以及驱动力幅h决定对一定的振动系统改变驱动力的频率w当驱动力频率为某一值时振幅会达到极大值特点
17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年
大学物理阻尼、受迫、共振、机械波
§3-5 频谱分析（不讲）§3-6阻尼振动 受迫振动 共振（了解）一、阻尼振动简谐振动是一种理想情况，实际上阻尼是不可消除的。
机械能将会损耗，其振幅不断衰减。
这种振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动。
设阻力与物体的速度成正比r dxf v dt γγ=-=-dxF kx dtγ=--合22d x d xk x m d t d tγ--= 220d x d x kx d t m d t mγ++= 令2mγβ=，20k mω= （β——阻尼系数） 220220d x dx x dt dtβω++= 特征方程为22020λβλω++=1,2λβ=-弱阻尼即 0βω 时1,2i λββω=-±=-± ()00cos t x A e t βωϕ-=+其中ω=Ox特征：振幅随时间指数衰减，圆频率比固有圆频率小，周期比固有周期长。
二、受迫振动对弱阻尼的系统施加持续的周期性外力作用 （称为策动力）⇒ 受迫振动 0c o s F F p t = 0c o s dxF kx F pt dtγ=--+合 202c o s d x d xk x F p t m d t d tγ--+= 202c o s F d x d x k x p t d t m d t m mγ++=令2mγβ=，20k m ω=， 00F f m= 220022cos d x dx x f pt dt dtβω++= 该非齐次方程的解为()()00cos cos t x A e t A pt βωϕϕ-=+++ 衰减项 稳定相经过足够长的时间后，稳定解为 ()c o s x A p t ϕ=+稳定受迫振动得频率等于策动力的频率。
2A =受迫振动的振幅与系统的初始条件无关！三、共振2A =当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的振幅是策动力圆频率 p 的函数，它有一个极大值 —— 共振 由0dAdp= 可得r p =A第4章机械波波动：振动在空间的传播过程叫做波动。
第1章 1.5 受迫振动与共振
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6.如图 1-5-7 所示，在曲轴 A 上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可 以带动弹簧振子上下振动.问：
图 1-5-7
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(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测 得振子在 10 s 内完成 20 次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各 是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
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振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的
振动能量
变
提供
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械运转时底座发生 共振筛、声音的共
的振动
鸣等
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2.共振曲线的理解和应用 (1)两坐标轴的意义 纵轴：受迫振动的振幅，如图 1-5-4 所示.横轴：驱动力频率.
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•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 4:42:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
阻尼振动受迫振动共振
2 0
2
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t ( 0)
3
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
三种阻尼的比较
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
4
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
二 受迫振动
m d2 x C dx kx F cos t
dt 2 dt
p
驱动力
k
0
m
2 C m f F m
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
5
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
驱动力的 角频率
（2）速度共振(速度振幅取极值)
vm B
f
(2 02 )2 4 22
共振频率 : 0
共振速度振幅 :
vm
f
2
9
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
• 160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 • 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 • 1940年 美国 桥 大风 流速
10
x
A et 0
cos(t
)
Acos(pt
)
A
f
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
大学物理(下册) 9.5阻尼振动 受迫振动 共振
A
( 0)
2 2 b.过阻尼： 0 2 2 c.临界阻尼： 0
x
o c
b
三种阻尼的比较
t
a
9.5.2 受迫振动
共振
受迫振动：施加周期性外力作用的振动；
周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物 发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。受 迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。
此时系统作弱阻尼运动，对应解为：
x Ae
t
cos(t 0 )
(7)
振幅 角频率
A、0为积分常量，由初条件确定；并且 其中： 有：
02 2
(8)
c.讨论： 1.(6)式的解由两部分组成：
t Ae 衰减项： “振幅”；
x
A
O
阻尼振动位移时间曲线
Ae t
最后得：
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
(6)
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
注：1.上式是阻尼振动微分方程；
(6)
2.固有角频率 振动系统确定；
阻尼系数 振动系统、介质性质确定； b.方程的求解与讨论 微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小 关系，(6) 式有三种解，对应三种运动状态： 1.阻尼力较小时： 0 弱阻尼；
9.5 阻尼振动
受迫振动
共振
介绍两种接近客观实际较复杂的振动。
9.5.1 阻尼振动(Damped Oscillation) 1.阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要 受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随 时间变化因阻力而减小阻力是复杂的，故提出 许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
受迫振动
变。
2自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也
不受阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由 振动的频率，叫做系统的固有频率。 六、受迫振动与共振
1、受迫振动 （1）定义：物体在外界驱动力（即周期性外力）作用下
A B C
D
2
E
O′
1 2 解：D S = at = a? T 4 (S 2 - S1 )g \ a= p 2L
2
ap
L gபைடு நூலகம்
六、实验 用单摆测定重力加速度 1、实验原理： 单摆在摆角很小（小于100）时，可看成简谐运动， 其固有周期为 T 2 l g，由此可得g=4π2l/T2 .据此通过 实验方法测出摆长l和周期T,即可求出当地重力加速度. 2、实验器材： 铁架台及铁夹、细线（约1m长）、带孔小钢球（组 成单摆）、秒表（测周期）、刻度尺（分度为1mm， 测摆长） 组装仪器 测量摆长 3、实验步骤 测量周期 数据处理 重复测量
4.00 3.00 2.00 1.00
l/m
0.5 1.0
0
〖练11〗某同学测定的g的数值比当地公认值大，造成 的原因可能是( ② ⑤ ⑥ ) ①摆球质量太大了； ②量摆长时从悬点量到球的最下端； ③摆角太大了（摆角仍小于10°）； ④计算摆长时忘记把小球半径加进去； ⑤摆球不是在竖直平面内做简谐振动，而是做圆锥摆 运动； ⑥计算周期时，将(n－1)次全振动误记为n次全振动.
【例22】（07全国卷）（1）在做“用单摆测定重力 加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：
A．适当加长摆线
B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D．单摆偏离平衡位置时开始计时，经过一次全振动 后停止计时，用此时间间隔作为单摆摆动的周期
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
大学物理11.3 阻尼振动和受迫振动简介
f 0 2 2 2 2 2 0 4 n
共振频率 r 2n 共振振幅 Ar
f0
2
ω0为固有频率。
2 2 0 n2
7
大学物理 第三次修订本
第11章 机械振动基础
共振频率
阻尼系数 n 越小，共振角频率
A
小阻尼
r越接近于系统的 固有频率 0 ，同
运动方程
2
2
x A0e
nt
cos( n t ) A cos(t )
2 0 2
大学物理 第三次修订本
5
第11章 机械振动基础
受迫振动微分方程的稳态解为
x A cos(t ) 为驱动力角频率。
为受迫振动与驱动力之间的相位差。 f 2n A tan 2 2 2 2 2 2 0 (0 ) 4n
时共振振幅 Ar也
越大。
大阻尼
0阻尼
o
大学物理 第三次修订本
r 0
P
8
第11章 机械振动基础
1940年11月,华盛顿州的Tacoma Narrows 桥, 由于桥面刚度太差 , 在 45 mph 风速的情形下 , 产 生“Galloping Gertie”(驰振）.
大学物理 第三次修订本
9
第11章 机械振动基础
*11.3 阻尼振动和受迫振动简介
一、阻尼振动
1.受力特点 线性恢复力 F f
2.动力学微分方程
dx 粘滞阻力 f v dt
F kx
l0
x
dx d x F f m a kx m 2 dt dt
大学物理 第三次修订本
第六章振动和波-简振模；复摆；阻尼振动；受迫振动和共振
P.1/33振动与波wzy 简谐振动特征量运动判据)cos(0ϕω+=t A x 判据1判据2判据3kxF −=0d d 222=++C x txωA , ω, ϕ22222020ωωv v +=+=x x A )(arctg 00x ωϕv −=振动曲线、旋转矢量法描述简谐振动)2πcos(d d 0++==ϕωωt A t x v )πcos(d d 02±+==ϕωωt A ta v P.2/33振动与波wzy 振动状态：(1) 给定振动系统,m、ω(T )、k 一定(2) 给定初始条件,A 、ϕ0一定(3) 给定系统后总能量与A 成正比P.3/33振动与波wzy lmO 1. 摆动的理想模型—单摆和复摆1) 单摆(simple pendulum)：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动βττml ma F ==切向运动方程222d d sin t mlmgl θθ=−0sin d d 22=+θθlgt 二、简振模建立自然坐标, 受力分析如图τnθN mgP.4/33振动与波wzy 0sin d d 22=+θθl gt 0sin d d 222=+θωθt⋅⋅⋅−+−=!5!3sin 53θθθθ单摆运动的微分方程非线性微分方程无解析解令lg =2ω得：Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt角谐振动P.5/33振动与波wzy 0d d 222=+θωθtgl T π2π2==ω周期)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程lg =2ω结论:单摆的振动是简谐振动.注意:(1) θ为振动角位移,不是相位.(2) ω、T 与m 无关,由l 、g 决定.P.6/33振动与波wzy 2) 复摆(compound pendulum ): 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律βI M =22d d sin t Imgh θθ=−0sin d d 22=+θθImght 令Imgh =2ω0sin d d 222=+θωθt——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程mgJCohθP.7/33振动与波wzy Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt 角谐振动mghI T π2π2==ω)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程周期由于小角度摆动都是谐振动,可推广到:一切微振动均可用谐振动模型处理.例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动.大角度摆动规律?P.8/33振动与波wzy 1582年伽利略注意到比萨教堂的吊灯(~20m)摆动：周期似与摆幅无关1602年:周期似与摆锤重量无关周期正比与摆长平方根5.420≅研究学习:如何得知任意形状物体的摆动周期？P.9/33振动与波wzy 简摆simple pendulum实体摆physical pendulum, compound pendulum 圆锥摆conic pendulum 球面摆spherical pendulum 双摆double pendulum 钟摆clock pendulum 扭摆torsional pendulum 弹簧摆spring pendulum 沙摆sand pendulum倒置摆inverted pendulum您知道几种摆？以人命名的摆？P.10/33振动与波wzy 伽利略摆钟1642双摆的轨迹小角度摆动时有两种正则频率P.11/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=证：设物体位移x ,弹簧分别伸长x 1和x 221x x x +=x k k k x 2112+=22212122d d tx m x k k k k x k =+−=−()0d d 212122=++x mk k k k t x 2. 简振模的计算系统的振动为简谐运动例1:证明图示系统的振动为简谐运动,其频率为()mk k k k 2121π21+=νOxxP.12/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=Q 21k F k F k F +=∴21111k k k +=串mk k k k )(2121+=ω()mk k k k 2121π21+=ν21k k k +=并Oxx21x x x +=P.13/33振动与波wzy 下列各运动是否为简谐振动? 振动周期怎样计算?P.14/33振动与波wzy m例2:质量为M 的平板两端用劲度系数均为k 的相同弹簧连到侧壁上,下面垫一个质量为m 的圆柱.求此系统的圆频率.解：2p 212kx E ×=222k 212121c m I x M E v ++=ω&c xv 2=&Rc ω=v 22222212212121⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+=x m R xmR x M &&&P.15/33振动与波wzy 2228116121x m x m xM &&&++=216321x m M &⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=22k p 16321x m M kx E E E &⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=+=机械能守恒0d d =tE01632122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++xx m M x kx &&&&016321=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&mM k3816+=ωP.16/33振动与波wzy 例3: 已知一水平放置的振动系统,其弹簧质量为m 、长度为L 、劲度系数为k ,振子质量为M ,求系统的振动周期.解: 设振子位移为x速度：xLl &弹簧l 处的d l 位移：动能：2k d 21d v l E ρ=′20232k61d )2(x m l l x L x m E xL &&=+=′∫+x Ll ld lk x O2d 21⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=x L l l x L m &P.17/33振动与波wzy 系统的能量222216121kx x m x M E ++=&&机械能守恒0d d =tE 061212=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x kx x x m M &&&&031=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&3/m M k+=ω周期:km M T 3/π2+=P.18/33振动与波wzy 哈密顿(Hamiltonian)原理另一种描述----哈密顿函数H (q i , p i , t )守恒系统, H =E k +E p描述物理系统----拉格朗日函数L (q i , , t )i q&广义坐标广义速度广义动量一个守恒系统, L =E k -E p作用量, 取决于运动过程∫=21d t t t L A 哈密顿原理:当系统从q i 演化到q f ,其真实的轨道总是满足作用量A 取极值的条件,即δA =0.P.19/33振动与波wzy δA =0@扰动δq i , 保持不变⎟⎠⎞⎜⎝⎛t q i d d δab哈密顿原理→稳定性原理(总是选择一条最稳定的轨道)→对称性原理哈密顿正则方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂−=∂∂=i i i i q H tp p H t q d d d d 定义动量牛顿方程P.20/33振动与波wzy 例: 简单弹簧连接体2122221)(2122l x xk m p m p H −−++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=−−−=∂∂−==∂∂=−−=∂∂−=mp p H t x l x x k x H tp m p p H t x l x x k x H t p 22212221111211d d ),(d d d d ,)(d d 脱耦模型:系统由二个无相互作用(脱耦)的准粒子(非真实的粒子)组成,一个是质量为2m 的质心,是一个自由粒子; 另一个是劲度系数为k 质量为m /2的简谐振子.P.21/33振动与波wzy 简单弹簧连接体P.22/33振动与波wzy 定义:振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生的减幅振动.三、阻尼振动vr r γ−=r F 为阻尼系数γ物体速度较小时，rF v x k F v v −=O x x 22tx m kx d d =−−v γmm kγβω==2:20令(β:阻尼因子)0d d 2d d 2022=++x tx t x ωβ动力学方程：02202=++ωβr r 22222442ωββωββ−±−=−±−=r 微分方程的特征方程为：P.23/33振动与波wzy 220202βωβωββ−±−=−±−=i r 1. 小阻尼情况：阻力很小()()ϕωϕβωββ+=+−=−−t A t A x t t cos e cos e 220方程解：220π2βω−=T 周期:220βωω−=0ωβ<P.24/33振动与波wzy 讨论：阻尼较小(β<ω0)时,振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.t A β−e P.25/33振动与波wzy 2. 过阻尼(over damping)情况：阻力很大22ωββ−±−=r ttA A x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+=202202ee21ωββωββ0ωβ>结论：阻尼较大(β< ω0)时, 振动从最大位移缓慢回到平衡位置, 不作往复运动.P.26/33振动与波wzy 3. 临界阻尼(critical damping)情况0ωβ=βωββ−=−±−=202r tt A A x β−+=e )(21方程解：结论：此时为“临界阻尼”的情况.是质点不作往复运动的一个极限.P.27/33振动与波wzy tx 阻尼较小时过阻尼振动: 阻尼较大时,振动从最大位移缓慢回到平衡位置,不作往复运动.过阻尼临界阻尼振动: 质点不作往复运动的极限状态.临界阻尼阻尼振动曲线：欠阻尼振动:振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.P.28/33振动与波wzy 四、受迫振动共振受迫振动(forced vibration)：系统在周期性的外力(称为策动力)持续作用下所发生的振动.策动力(driving force)：周期性的外力tH F ωcos s =物体在弹性力、回复力、阻力的作用下的运动s F vrF v xk F v v −=OxxP.29/33振动与波wzy t H txkx t x mωγcos d d d d 22+−−=令：h mH mmk ===βγω220t h x t x tx ωωβcos d d 2d d 2022=++()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解,为P.30/33振动与波wzy()2222204ωβωω+−=hA 22012tanωωωβϕ−−=−()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200暂态项,经过一端时间以后趋向于零稳定项,代入原方程求得受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成.经一段相当的时间后,阻尼振动衰减到可以忽略不计,这样就成为一余弦振动,其周期为强迫力的周期,振幅、初相位不仅与初条件有关,而且与强迫力的频率和力幅有关.P.31/33振动与波wzy 共振(resonance): 当策动力的频率接近于固有频率时,受迫振动的振幅达到最大值(位移共振)的现象.共振频率：2202βωωτ−=共振振幅：2202βωβτ−=hA 结论: 阻尼系数β越小,共振角频率越接近于系统的固有频率,同时共振振幅也越大.PωAo共振频率ω大阻尼小阻尼阻尼0→P.32/33振动与波wzy TACOMA 大桥情景再现1940年7月1日,桥龄仅4个月的美国Tocama 大桥在一场不算太强的大风中坍塌.风产生的周期性效果导致大桥共振,大桥在风中坚强的摇曳了近一天,最终轰然坠下…P.33/33振动与波wzy 共振小人作业: 6-17，6-19，6-20。
阻尼振动 受迫振动 共振
x
A0 e
t
O
减幅振动
t
阻尼振动的准周期性
阻尼振动
阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因 位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。
位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振 动的周期，有
2 2 2 T ' 2 2 ' 0 0
显而易见，由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为： 振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼 振动振幅的衰减程度。
§4-5
阻尼振动 受迫振动 共振
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用 下所作的振动，称为无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。
阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速 度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示 为
dA 0 d
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 2
2 0
2
O
0
共
振
受迫振动速度在一定 条件下发生共振的的现象 称为速度共振。
d vm 0 根据 d
vm
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 0
在 阻尼 很小的 前提下 ， 速度共振和位移共振可以 O 认为等同。
0
共
衰减项
稳态项
经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。
x A cos(t 0 )
F0 A 2 m ( 0 2 ) 2 4 2 2
2 tg 0 2 0 2
受 迫 振 动
稳态时振动物体速度：
dx v vm cos(t 0 2) dt
高中物理必选一知识点：第2章 第5节 受迫振动 共振
第五节受迫振动共振[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念了解阻尼振动和阻尼振动的图像物理观念掌握受迫振动的概念，知道受迫振动与驱动力的关系科学态度与责任理解共振和共振产生的条件，知道共振的应用和防止知识点一受迫振动的频率1．等幅振动：振幅不变的振动．2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动．3．受迫振动：在外界驱动力作用下的振动．4．固有频率：物体自由振动的频率，只与它们自身的参数有关，称为固有频率．知识点二共振1．条件：驱动力的周期(或频率)等于振动系统的固有周期(或固有频率)．2．特征：共振时，物体受迫振动的振幅最大．3．共振曲线：如图所示．知识点三共振的应用与防止1．共振的应用在需要利用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．2．共振的防止在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率保持一定差距．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)做阻尼振动的物体其振动频率不变．(√)(2)阻尼振动振幅逐渐减小时，其频率也逐渐减小．(×)(3)驱动力的频率越大振动物体振幅越大．(×)(4)共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率．(√)2．(多选)某一单摆由于受阻力作用，从开始摆动到逐渐停止的过程中() A．振幅越来越小，周期也越来越小B．振幅越来越小，周期不变C．通过某一位置时，机械能始终不变D．机械能不守恒，周期不变BD[单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故选项B、D对，A、C错．]3．某振动系统的固有频率为f1，该振动系统在频率为f2的驱动力的作用下做受迫振动，系统的振动频率为()A．f1B．f2C．f1＋f2D．f1＋f2 2B[做受迫振动的系统，其振动频率等于驱动力的频率f2，故B正确．]考点1阻尼振动、受迫振动与简谐运动的比较甲乙(1)如图甲所示，生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，树枝的运动是阻尼振动吗？(2)如图乙所示，荡秋千的小朋友在一旁小朋友的不断推动下不停地摆动．秋千的运动是受迫振动吗？提示：(1)是．(2)是．三者对比列表：振动类型简谐运动阻尼振动受迫振动产生条件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率频率不变驱动力频率振幅不变减小大小变化不确定振动图像形状不确定实例弹簧振子振动，单摆做小角度摆动敲锣打鼓发出的声音越来越弱扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动【典例1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是()A．机械能逐渐转化为其他形式的能B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能[思路点拨](1)在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．(2)在一段较短的时间内，动能和势能不一定都减小，关键要看动能与势能之间是如何转化的．AD[单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，选项B、C错．]阻尼振动的三个特点(1)振幅逐渐减小，最后停止振动．(2)系统的机械能逐渐减少，最后耗尽．(3)周期、频率不随振幅的变化而变化．[跟进训练]训练角度1阻尼振动的图线1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是()A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能BD[在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动的能量逐渐转化为内能，C错，D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，A错，B对．]训练角度2受迫振动2．如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz．现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为()A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 HzA[受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为1 Hz，选项A 正确．]考点2共振的特点洗衣机在把衣服脱水完毕后，电动机还要转动一会才能停下来．该过程中洗衣机先振动得比较小，然后有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减小直至停下来．思考讨论：(1)开始时，洗衣机为什么振动比较小？(2)期间剧烈振动的原因是什么？提示：(1)开始时，洗衣机的固有频率与脱水桶的频率相差较远．(2)剧烈振动的原因是此时脱水桶的频率与洗衣机的固有频率接近．(1)从受力角度来看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，物体的振幅达到最大．(2)从功能关系来看：当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加．2．对共振曲线的理解(1)两坐标轴的意义：纵轴：受迫振动的振幅，如图所示．横轴：驱动力频率．(2)f0的意义：表示固有频率．(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．【典例2】如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？[思路点拨]解答本题时应注意以下两个方面：(1)理解简谐运动、阻尼振动、受迫振动的概念．(2)知道受迫振动的频率与驱动力的频率的关系．[解析](1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构特点决定的，称为固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝tn＝1020s＝0.5 s，f固＝1T固＝10.5Hz＝2 Hz．由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力的频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关，故f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s．(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s．[答案](1)简谐运动0.5 s 2 Hz阻尼振动(2)受迫振动0.25 s(3)2 r/s共振问题的分析方法(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大．(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解．[跟进训练]训练角度1共振的现象分析3．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为L c>L b＝L d>L a>L e，现将b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是()A．4个单摆的周期T c>T d>T a>T eB．4个单摆的频率f a＝f c＝f d＝f eC．4个单摆的振幅A a＝A c＝A d＝A eD．4个单摆中c摆的振幅最大B[b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振．根据T＝2πLg知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误．]训练角度2共振曲线4．研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法错误的是()A．其纵坐标为位移B．其纵坐标为振幅C．单摆的固有周期为2 sD．图像的峰值表示共振时的振幅A[纵坐标是振幅，不是位移，A说法错误，B说法正确；当f驱＝f固时发生共振，振幅最大，由图知T固＝1f＝2 s，可见C和D的说法正确．]1．物理观念：阻尼振动、受迫振动、共振．2．科学思维：共振曲线．3．科学方法：比较简谐运动与阻尼振动、受迫振动的不同．1．(多选)下列说法中正确的是()A．有阻力的振动叫作受迫振动B．物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动C．物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动D．物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱动力频率CD[物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动，选项C对，B错；这个周期性的外力应当能给振动物体补充能量，不是有阻力的振动，选项A错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项D对．]2．下列振动，属于受迫振动的是()A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动B．打点计时器接通电源后，振针的振动C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动B[受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．]3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害．后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题．在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是()A．加大飞机的惯性B．使机体更加平衡C．使机翼更加牢固D．改变机翼的固有频率D[飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题，需要使系统的固有频率与驱动力的频率差距增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确．]4．下表记录了某受迫振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f，则()固固固C．50 Hz<f固<70 Hz D．以上三个答案都不对C[固有频率等于驱动力的频率时，振幅最大，固有频率越接近驱动力频率，振幅越大；表格中当驱动力频率为60 Hz时，振幅最大，说明固有频率在50 Hz～70 Hz之间，C正确．]5．如图为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长(g取10 m/s2)．[解析]由图像可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振．由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz，由T＝2πL g＝1f可得L＝g4π2f2≈1.58 m．[答案] 1.58 m。
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