人教版高中数学必修五等差数列第一课时
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《等差数列》第一课时教学设计
《等差数列》第一课时教学设计【摘要】本文主要介绍了《等差数列》第一课时的教学设计。
在阐述了课时主题和目标。
在正文中，包括了教学内容、教学重点、教学方法、教学步骤和教学资源等内容。
具体来说，教学内容包括等差数列的定义和性质，教学重点在于引导学生理解等差数列的概念和解题方法，教学方法主要以示例引导学生学习，教学步骤分为引入、讲解、练习和总结等环节，教学资源则是指教材、教具等教学辅助工具。
在进行了课时总结和教学反思，帮助教师总结教学经验和改进教学策略。
通过本文的介绍，有助于教师更好地设计和完成《等差数列》第一课时的教学任务。
【关键词】等差数列、第一课时、教学设计、目标、教学内容、教学重点、教学方法、教学步骤、教学资源、课时总结、教学反思1. 引言1.1 课时主题：《等差数列》第一课时教学设计《等差数列》是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。
第一课时的教学设计是为了帮助学生建立对等差数列的基本概念和认识，为后续学习打下坚实的基础。
本课时的主题是《等差数列》第一课时教学设计，旨在引导学生了解等差数列的定义、性质和相关计算方法，培养学生的数学思维和分析能力。
通过本课时的学习，学生将能够掌握等差数列的基本概念，理解等差数列的规律，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
希望通过本课时的设计，能够激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习成绩，为他们的未来学习和生活打下坚实的数学基础。
1.2 课时目标1. 理解等差数列的定义和性质，能够判断一个数列是否为等差数列；2. 能够求解等差数列的通项公式和前n项和公式；3. 能够应用等差数列的性质和公式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力；5. 激发学生对数学的兴趣，提高数学学习的积极性。
2. 正文2.1 1. 教学内容本课时的教学内容主要包括等差数列的定义、求公差、求首项、求项数以及等差数列的性质和应用。
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程，由此可以求得 a1
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
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超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
等差数列教学设计(一课时)
2.2.1《等差数列》教案设计难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义环节1 创设情境，提出问题在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说: 2062年左右。
学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，通过规律填写内容。
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 教师活动：提出问题，组织学生解决问题1、你能根据规律在（）内填上合适的数吗？(1)、1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.(2)、28,21.5,15,8.5,2, …,（-24）.(3)、1，4，7，10，（ 13 ），16.(4)、2， 0， -2， -4， -6，（ 8 ）.问题2、它们有何共同的规律？(1)d=76 (2)d=-6.5 (3)d=3 (4)d=-2 学生活动通过多个数列观察发现其共同规律，环节二环节三环节等差数列的定义：的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母教师活动：回归问题，组织学生解决问题(1)1, 3, 5, 7, 9,2, 4, 6, 8, 10(2)5(3)环节教师活动：问题驱动问题（（（问题a在尝试最终得项公式这一性质。
引导学生推导等差数列的通项公式，并使用方法二再次推导，为学生提供多种推导思路与方法。
dn a a n )1(1-+=叠加的 （累加相消法）等差数列的通项公式：环节5 能力提升例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解：(2)-401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的项？如果是，是第几项 ？ 解：因此 解得学生活动教师辅助学生自主完成例题。
人教A版高中数学必修五课件2.2等差数列第1课时.pptx
等差数列的通项公式： 由an等差a1数列(n的定1)义d 有
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d
a2 a1 d a3 a2 d a1 2d
……
an an1 d
a…4… a3 d a1 3d
以上个n 式1子相加得
ad1
12 2
a30 a1 29d
12 29 2
70
【总结提升】
1、等差数列的任一项与它前一项的差就是公差； 2、判断某一个数是否为某等差数列的项，相当于
已知 an 求n，若求出的n N*，则是；否则不是。
3其、中a是的n、 等三差a项1数、，列可n的、求基d另本外量一，项知。道
an 5 (n 1)(4) 4n 1
令 -329 4n 1,解得 n 82 N
所以—329是此等差数列中的项。
变式1：等差数列 {an } 中，已知a10=30，a20=50，求a30。
解：由
a10 a 30 19d 50
4、数列{中an}，=（a1） 2，2an1 2an 1，则a101
D
A、49B、50C、5D、52
5、等差数列{中an，} =。a2 5，a6 a4 6，则a1 －8
an a1 (n 1)d an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
——不完全归纳法
注意等差数列通项公式 注意区分等差数列的递 的推导方法——累加法 推关系与通项公式的区别
5、—329是等差数列—5，—9，—13，…中的项 吗？若是，是第几项？
解：等差数列中，a1 5, d 4,
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
高中数学人教A版必修5《等差数列》第一课时PPT
解得 n 100
变式1：
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15, a7 27, a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 (n 1) 7 n 15
7
3. -20是不是等差数列0，- 2 ，-7…中的项；
20 0 (n 1) 7 n 47 (舍)
2
7
例5：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
解：由题意可知
a14d 10 a1 11d 31
an a1 (n 1)d
这是一个以 a1 和 d为未知数的二元一次方程组，
解这个方程组，得
a1 2 d 3
总之
已知等差数列是的首项为a1， 公差为d,则等差数列的通项 公式为：
an=a1+(n-1)d
（n）
典例展示
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d
例3:已知等差数列的首项 a1=3 ，公差 d =2，求它的通项公式an。
分析：知道a1,d ,求an ;代入通项公式。
解：∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n+1
(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.
解：(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，得
an = a1+(n-1)d＝9＋(n-1)(－4)＝13－4n.
当n＝10时，a10 =13－4×10＝－27.
(2)由an＝4n－3知 a1＝4×1－3＝1 且 d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4 所以，等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.
变式1：
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15, a7 27, a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
100 2 (n 1) 7 n 15
7
3. -20是不是等差数列0，- 2 ，-7…中的项；
20 0 (n 1) 7 n 47 (舍)
2
7
例5：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
解：由题意可知
a14d 10 a1 11d 31
an a1 (n 1)d
这是一个以 a1 和 d为未知数的二元一次方程组，
解这个方程组，得
a1 2 d 3
总之
已知等差数列是的首项为a1， 公差为d,则等差数列的通项 公式为：
an=a1+(n-1)d
（n）
典例展示
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d
例3:已知等差数列的首项 a1=3 ，公差 d =2，求它的通项公式an。
分析：知道a1,d ,求an ;代入通项公式。
解：∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n+1
(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.
解：(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，得
an = a1+(n-1)d＝9＋(n-1)(－4)＝13－4n.
当n＝10时，a10 =13－4×10＝－27.
(2)由an＝4n－3知 a1＝4×1－3＝1 且 d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4 所以，等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.
人教版高中数学必修五等差数列课件
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）0，5，10，15，20，（ 25 ）. （2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. （3） 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同特点是？
d=5
( 1 ) 0,5，10，15，20，（25）
（3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3,d=0
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
不是
2345
（6）15，12，10，8，6，…
不是
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
探究性问题1：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
练习二
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
通项公式
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
（1） （2） （3）
（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
高中数学人教版必修5等差数列 课件PPT
2．若 m 与 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m 与 n 的 等差中项是________． 解析：由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8. 又由 2m 和 n 的等 差中项为 5，得 2m＋n＝10，两式相加，得 m＋n＝6，所以 m 与 n 的等差中项为m＋2 n＝62＝3. 答案：3
2 A.n＋1
B.23n－1
C.23n
2 D.n＋2
[解析] 因为 a1＝1，a2＝23， 所以a12－a11＝32－1＝12. 因为an1－1＋an1＋1＝a2n(n≥2)， 所以an1＋1－a1n＝a1n－an1－1(n≥2)．
所以数列a1n是首项为 1，公差为12的等差数列． 所以a1n＝1＋12(n－1)＝n＋2 1， 所以 an＝n＋2 1. [答案] A
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
答案：D
4．等差数列 1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的 第 20 项是________． 解析：数列中 a2＝－3，a1＝1，∴d＝a2－a1＝－4. 通项公式为 an＝a1＋(n－1)×d ＝1＋(n－1)×(－4) ＝－4n＋5， a20＝－80＋5＝－75. 答案：an＝－4n＋5 －75
4．设{an}为等差数列，若 a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝420，则 a1＋ a9＝________. 解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝7a5＝420. ∴a5＝60. a1＋a9＝2a5＝2×60＝120. 答案：120
探究二 等差中项及其应用 [典例 2] (1)在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成 等差数列，求此数列． (2)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1、x4、x5 成等差数列，求：p，q 的值．
等差数列教学设计(一课时)
2.2.1《等差数列》教案设计教材分析1.教案内容分析本节课是《普通高中课程规范实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。
2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．教案目标知识目标1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.掌握等差数列的通项公式.能力目标1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。
2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识.情感目标通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．教案重难点重点1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式的推导过程及应用．难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.教案设想本课教案，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。
整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教案中学生的主体作用。
教案过程教案环节教师活动学生活动设计意图环节一环节1 创设情境，提出问题在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说: 2062年左右。
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，并通过规律填写内容。
2018版高中数学人教B版必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和 第一课时
(2)结合数列的特征,利用单调性: 当d>0,则数列为递增数列 ,且当a1<0时,一定会出现某一项,在此项及以前 的项都是非正数 ,而后面的项都是正数 ,即Sn有最小值;当d<0时,数列为递 减数列,且当a1>0时,一定会出现某一项,在此项及以前的项都是非负数,而
后面的项都是负数,即Sn有最大值.
n n 1 2
d,且 a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则
① ②
将(n-1)·d=-513 代入②得 n+
1 n·(-513)=-1 022,解得 n=4,所以 d=-171. 2
(2)等差数列{an}中,已知a5=-1,a8=2,求S12.
思路点拨:(2)中结合等差数列的性质得a5+a8=a1+a12,再用公式求解.
(B)210
(C)380
a1 3 , d 4
(D)400
a1 d 7 解析: ⇒ a1 3d 15
所以 S10=10a1+ 故选 B.
10 9 ×d=210, 2
3.在等差数列{an}中,S10=4S5,则 (A) (C)
1 4 1 2
a1 等于( d
C
从而 Sn=25n+
n n 1 2
(-2)=-(n-13) +169.
2
故前 13 项和最大,且最大值为 169.
法二 由 S17=
17( a1 a17 ) 9(a a ) =17a9,S9= 1 9 =9a5 以及 S17=S9,a1=25 得 d=-2. 2 2
所以 an=a1+(n-1)d=25-2(n-1)=27-2n. 显然,当 n≤13 时,an>0;当 n≥14 时,an<0. 所以前 13 项和最大,最大值为 S13=
人教版高中数学必修五等差数列课件
列.
2 1
2
【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an= dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函 数(d≠0时)或常数函数(d=0时). (2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其 中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知 道，d= (n≠m).
a2=3-2×2=-1，故a1+a2=0.
答案：0
4.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89的项数为
.
【解析】因为a1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=2n+3.
由-2n+3=-89，得n=46.
答案：46
一、等差数列的概念 观察下列几个实例，探究以下问题 (1)2，4，6，8，10，12，… (2)1，1，1，1，1，1，… (3)1，3，5，7，9，11，…
(2)公差：这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母__表示.
(3)通项公式：a常n=数_________.
d
2.等差中项
a1+(n-1)d
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，
并且A=______.
ab 2
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1，则它的公差为 ()
二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，探究下列问题：
探究1：利用数列的通项公式如何建立数 列任意两项之间的关系. 提示：在等差数列{an}中，若m，n∈N*， 则an=am+(n-m)d. 推导如下：因为对任意的m，n∈N*，在等差数列中， 有am=a1+(m-1)d，① an=a1+(n-1)d，② 由②-①得an-am=(n-m)d， 所以an=am+(n-m)d.
高中数学人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和
-4-
第1课时 等差数列的 前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和 设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
������(������1+������������ ) 2
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+������8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 ������������ = ������1 + (������-1)������, ������������ = ������������1 + ������ = 7, ������ = 5, 解方程组得 或 ������1 = 3 ������1 = -1.
-12-
第1课时 等差数列的 前n项和
题型一 题型二 题型三
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题型四
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D典例透析
IANLI TOUXI
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
������
������������ ������, ������
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,������ = 1, ∴an= 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2. 7,������ = 1, 答案: 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2
高中数学必修五课件：2.2-1(2)《等差数列》(人教A版必修5)
一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的差等于同一 常数，那么这个数列就叫做等
差数列。(an+1-an=d)
二、等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
பைடு நூலகம்
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
§2.2 等差数列 （第一课时）
一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫 做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
观察下列数列是否是等差数列
不是
d=1 d=0
不是
不是
d= -3
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一常数，那 么这个数列就叫做等差数列。
列{an}的通项公式。
等差数列中a1 =1,d=2
an = 1+（n-1）×2=2n-1
关键求出a1和d
通项公式中有几个量？
a1 ,d, an ，n
已知其中三个量就可以求出第四个
等差数列中a4=15，d=3
a1 = 15-（4-1）×3=6
求等差数列8，5，2，…，的 第20项。
-401是不是等差数列-5，-9，-13… 的项？如果是，是第几项？
●
研究与探讨：
通过以上观察，你能发现首项 a1和公差d对{an}的图象的影响 吗？
等差数列的的作业
人教版高中数学必修5第二章 数列 2.2 等差数列
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000.
情境2： 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
得到数列：
22 1 , 23, 23 1 , 24,
每一项与它的 前一项的差必 须是同一个常 数(因为同一 个常数体现了 等差数列的基 本特征）
探究性问题1
公差d是每一 项（第2项起） 与它的前一项 的差，防止把 被减数与减数 弄颠倒
公差可以是正数,负数， 也可以是0
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表 示.
2
2
24 1 , 25, 25 1 , 26.
2
2
数列1 数列2
6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000.
22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26.
2
2
2
2
学生活动1：
观察，分析 交流讨论
问题1：请你说出这两个数列的 后面一项是多少？你的依据是 什么？
4d 11d
解之得a1=-2, d=3.
在等差数列｛an｝中， 1）已知a1=2,d=3,n=10,求an.
解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
2）已知a1=3,an=21,d=2,求n. 解：21=3+(n-1)×2, ∴n=10.
3）已知a1=12,a6=27,求d.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000.
情境2： 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
得到数列：
22 1 , 23, 23 1 , 24,
每一项与它的 前一项的差必 须是同一个常 数(因为同一 个常数体现了 等差数列的基 本特征）
探究性问题1
公差d是每一 项（第2项起） 与它的前一项 的差，防止把 被减数与减数 弄颠倒
公差可以是正数,负数， 也可以是0
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表 示.
2
2
24 1 , 25, 25 1 , 26.
2
2
数列1 数列2
6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000.
22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26.
2
2
2
2
学生活动1：
观察，分析 交流讨论
问题1：请你说出这两个数列的 后面一项是多少？你的依据是 什么？
4d 11d
解之得a1=-2, d=3.
在等差数列｛an｝中， 1）已知a1=2,d=3,n=10,求an.
解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
2）已知a1=3,an=21,d=2,求n. 解：21=3+(n-1)×2, ∴n=10.
3）已知a1=12,a6=27,求d.
人教A版高中数学必修五课件2.2等差数列(第一课时).pptx
则a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d
…a4=…a3+d=a1+3d
an－1－an－2=d,
an－an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
an－a1=(n－1)d
由此得到an=a1+(n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明 当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项 公式。
d1
an
a1
3
的等差数列
∴
1 a50
1 (50 1) 1 3
52 3
3 ∴ a50 52
课堂小结
①等差数列定义：即(an≥n 2) an1 d
②等差数列通项公式：a(nn≥1a)1 (n 1)d 推导出公式： an am (n m)d
③等差数列通项形如一次函数
• 判断题： • ①数列a，a，a，a，…是等差数列。（）√ • ②数列0，0，0，0，…是等差数列。（）√ • ③若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差
数列。（ ）×
• ④若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列 （ ×）
1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是正数，也可以是０和负数。
分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入
通项，公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1
***********
与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。
解：由题意可得
a1+5d=12(1) ﹛
a1+17d=36(2)
∴d=2a1=2 ∴an=2+(n-1)×2=2n
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1、等差数列可由其两项确定。由两个已知条 件列出关于a1和d方程组，求出a1与d。 2、此题解法是利用数学的函数与方程思想，函 数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是 高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。
四、课堂练习：
1 ， 求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第 10项。
2 ， 100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，‥‥的 项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 aa21 d2d a1 d d
a4 a3 d a4 a13 d3d 归纳得: an a1 (n 1)d
通项公式：an a1 (n 1)d.
2、利用等差数列的通项公式判断一个数是否为 该数列的项：若由已知求出的n ∈ N*，则是该 数列的项
例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a5=10 ，a12=31,求首项a1 ， 公差 d 及通项an 。
分析： 此题已知a5=10 ，n=5 ；a12=31 , n=12分别代入通项 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。
n
n2 2
1
,
那么0.98(
A.是这个数列的项， 且n 6;
B.是这个数列的项， 且n 7;
C.是这个数列的项， 且n 7;
D.不是这个数列的项.
A ). C)
2、 填空题
（
4）
已知数列{ an6}的通项公式an
n
n
1
,
则它的第5项a5 ___5____;
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 ,的一个通项公式 2 4 8 16
例 1： 观察下列数列是否是等差数列： (1) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 , …
(2) - 3 , - 2 , 1 , 3 , 5 , 7 , …
(3) 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , …
(4) 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , … 等差数列的定义是判断一个数列是否
…
等差数列的通项公式（推导二）
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
叠加得 an a1 (n 1)d
通项公式：an a1 (n 1)d.
等差数列通项公式
a n ＝a1＋(n－1)d
a n由a1和d决定，因而知道两个独立的条件 就可以求通项公式。
(4) 数列：0，-3，-6，-9，-12，…… 从第2项起，每一项与前一项差的都等于-3
这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一常数。
一、等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。 等差数列的首项用字母 a1 表示。
为__a_n _(__1)_n _2n_2n_1_,_n__N; ( 6 )数列0, 1 lg 2,lg 3 ,lg 2,的一个通项公 2
式为_a_n__l_g__n_,_n___N___ .
• [例] 根据下列条件，写出数列的前四项， 并归纳猜想它的通项公式．
• (1) a1＝1，an＋1＝n＋n 1an • (2)a1＝1，an＋1＝an＋ • (3)a1 ＝ 2 ， a2 ＝ 3 ， an ＋ 2 ＝ 3an ＋ 1 － 2an
为等差数列的依据
1、等差数列要求从第2项起，每一项与它的前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是 ０和负数。
3、数列｛an ｝是等差数列 an - an1 = d (n≥2,且n ∈ N*)
等差数列的通项公式（推导一）
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …
解：由等差数列的通项公式知
an a1 (n 1)d ，① am a1 (m 1)d ，② ①－② an am (n m)d ，
an am (n m)d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
㈠推广后的通项公式
an am (n-m)d
三、通项公式的应用： 例 2：（1） 已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。
（2） 求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。 （3） -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？ 1、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以 求余下的一个 量 ,即“知三求一” 。
3 ， -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的 项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。26
4、在等差数列{an}中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。
已知a等m (差n ,数m列∈{ anN}中*) ，有公何差关为系d？，则a与n
(n∈N*)
(1)我们班学生的学号由小到大组成的数列： 1，2，3，4，5，……，55. 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 1
(2)正偶数数列：2，4，6，8，10，…… 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 2
(3) 数列：-3，-3，-3，-3，-3，…… 从第2项起，每一项与前一项差的都等于 0
等差数列
第一课时：定义，通项公式
1、 选择题
(1)下面数列是有穷数列的是( B )
A.1,0,1,0, B.1, 1 , 1 , 1 ; 234
C.2,22,222, D.0,0,0,0,
(2)以下四个数中， 是数列{n(n 1)}中的一项是(
A.380 B.39 C.32 D.23
(3)已知数列{an}的通项公式an
四、课堂练习：
1 ， 求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第 10项。
2 ， 100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，‥‥的 项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 aa21 d2d a1 d d
a4 a3 d a4 a13 d3d 归纳得: an a1 (n 1)d
通项公式：an a1 (n 1)d.
2、利用等差数列的通项公式判断一个数是否为 该数列的项：若由已知求出的n ∈ N*，则是该 数列的项
例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a5=10 ，a12=31,求首项a1 ， 公差 d 及通项an 。
分析： 此题已知a5=10 ，n=5 ；a12=31 , n=12分别代入通项 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。
n
n2 2
1
,
那么0.98(
A.是这个数列的项， 且n 6;
B.是这个数列的项， 且n 7;
C.是这个数列的项， 且n 7;
D.不是这个数列的项.
A ). C)
2、 填空题
（
4）
已知数列{ an6}的通项公式an
n
n
1
,
则它的第5项a5 ___5____;
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 ,的一个通项公式 2 4 8 16
例 1： 观察下列数列是否是等差数列： (1) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 , …
(2) - 3 , - 2 , 1 , 3 , 5 , 7 , …
(3) 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , …
(4) 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , … 等差数列的定义是判断一个数列是否
…
等差数列的通项公式（推导二）
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
叠加得 an a1 (n 1)d
通项公式：an a1 (n 1)d.
等差数列通项公式
a n ＝a1＋(n－1)d
a n由a1和d决定，因而知道两个独立的条件 就可以求通项公式。
(4) 数列：0，-3，-6，-9，-12，…… 从第2项起，每一项与前一项差的都等于-3
这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一常数。
一、等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。 等差数列的首项用字母 a1 表示。
为__a_n _(__1)_n _2n_2n_1_,_n__N; ( 6 )数列0, 1 lg 2,lg 3 ,lg 2,的一个通项公 2
式为_a_n__l_g__n_,_n___N___ .
• [例] 根据下列条件，写出数列的前四项， 并归纳猜想它的通项公式．
• (1) a1＝1，an＋1＝n＋n 1an • (2)a1＝1，an＋1＝an＋ • (3)a1 ＝ 2 ， a2 ＝ 3 ， an ＋ 2 ＝ 3an ＋ 1 － 2an
为等差数列的依据
1、等差数列要求从第2项起，每一项与它的前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是 ０和负数。
3、数列｛an ｝是等差数列 an - an1 = d (n≥2,且n ∈ N*)
等差数列的通项公式（推导一）
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …
解：由等差数列的通项公式知
an a1 (n 1)d ，① am a1 (m 1)d ，② ①－② an am (n m)d ，
an am (n m)d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
㈠推广后的通项公式
an am (n-m)d
三、通项公式的应用： 例 2：（1） 已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。
（2） 求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。 （3） -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？ 1、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以 求余下的一个 量 ,即“知三求一” 。
3 ， -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的 项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。26
4、在等差数列{an}中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。
已知a等m (差n ,数m列∈{ anN}中*) ，有公何差关为系d？，则a与n
(n∈N*)
(1)我们班学生的学号由小到大组成的数列： 1，2，3，4，5，……，55. 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 1
(2)正偶数数列：2，4，6，8，10，…… 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 2
(3) 数列：-3，-3，-3，-3，-3，…… 从第2项起，每一项与前一项差的都等于 0
等差数列
第一课时：定义，通项公式
1、 选择题
(1)下面数列是有穷数列的是( B )
A.1,0,1,0, B.1, 1 , 1 , 1 ; 234
C.2,22,222, D.0,0,0,0,
(2)以下四个数中， 是数列{n(n 1)}中的一项是(
A.380 B.39 C.32 D.23
(3)已知数列{an}的通项公式an