高频交易的最优执行策略研究

］＝ Ｅ［ Ｃ（ Ｘ）
∫
０
Ｘ Ｘｔ） ｄ ｔ＋ ｇ（ ｔ
Ｘｈ（ Ｘ） ｄ ｔ ∫
ｔ ｔ
０
Ｔ
（ ） ７
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《 经济学动态 》 ２ ０ １ ３ 年第 ２ 期
Ｔ
）＝ Ｖ ａ ｒ（Βιβλιοθήκη BaiduＣ（ ｘ）
ｔ ∫σ Ｘ ｄ
０
２ ２ ｔ
（ ） ８
） 芳、 刘海龙 （ 最早将其推广到组合最优调整问 ２ ０ ０ ９ 题， 发现股票之间的 相 关 性 提 供 了 另 外 一 条 降 低 流 动性成本的渠 道 。 对 于 该 代 模 型 的 其 它 主 要 缺 陷 ， 我们将在介绍第二 代 模 型 后 再 集 中 比 较 讨 论 ， 以凸 显后者的优势 。
Ｘ
了 投资者的风险偏好程度 。 当λ＞０ 、 λ＝０ 、 λ＜０ 分别对应风险厌恶 、 中性 、 偏好 。 显然投资者的最优 交易策 略 是 λ 的 函 数 ， 即 Ｘ＊ （ 进 而λ 会 影 响 到 λ）， ） ） ， （ ） ） ］ ）。 有效前沿 （ Ｖ ａ ｒ（ Ｃ（ Ｘ＊ （ Ｅ［ Ｃ（ Ｘ＊ （ λ） λ） 由 于 在 非 线 性 效 应 情 况 下 无 法 得 到 显 性 解， （ 考 虑 了 如 下 线 性 情 况： 假 Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ ＆Ｃ ｈ ｒ ｉ ｓ ｓ ２ ０ ０ １） ｇ 设 ｇ（ Ｖｉ）＝θ Ｖｉ ， ｈ（ Ｖｉ）＝ ｓ ｉ ｎ（ Ｖｉ） Ｖｉ 。 在风 ＋η ｇ 险中性情况下 ， 如果忽略短暂效应 ， 最优的交易策略 ／ （ ）， 为ζ ＝ Ｘ０ 即将总的股票资产平均分割 Ｎ ＋１ 成等额头寸在每个时刻成交 。 它是一个常数速度的
Ｎ 割成小额形式 ｛ ｉ＝ １…， τ（ ｉ｝ ｉ ｉ ＝ｉ ＝１ 分别在时刻ｔ ζ Ｎ
∫
０
） 是绝对连续的过程 ， 且 Ｖｔ ＝ 将 Ｘｔ 。Ｃ ｅ ｔ ｉ ｎ等（ ２ ０ １ ０ 其扩展到无界变差情形的变现策略 。 同时考虑初始 、 （ 的无风险资 产 过 程 为 ｙ ， 与（ 式相对应的连 ３） ４） 续形式财富过程和执行成本分别为 ：
一、 引 言
高频交易是指投资者利用计算机自动捕捉市场 上的每一个获利机会并生成程式化交易策略的交易 方式 。 其最大特点是持仓时间短 、 交易量巨大 。 一般 地， 大额交易会对市场价格产生逆行冲击 ， 扩大买卖 进而导致交易的平均执行价格异于市场可利用 价差 ， 的最优价格 。 因此 ， 高频交易的一个重要组成部分就 是如何将大额交易分割为小额订单指令提交并执行 ， 即最优执行策略研究 。 其实 ， 最优执行策略不仅对高 频交易很重要 ， 而且在现实操作中 ， 机构投资者面临 如保险公司 、 证券自营商 、 基金公司等 ， 同样的问题 ， 他们的日常活动就是最优分割和执行其交易需求 ， 具 即分割后订单的执行时间和数量 。 正是实践 体地说 ， 的需要 ， 最优执行理论的研究越来越热 ， 已经形成了 一个成熟完整的研究体系 。 但是目前国内外都还没 有全面系统介绍该理论的文献综述 ， 并且国内的相关 研究仅仅围绕文中第一代模型而展开 。 有鉴于此 ， 本 文综述的目的之一是系统阐述该理论的历史发展沿 以激发国内学者跟进这方面的研究 ， 为推进中国 革， 的高频交易实践提供理论依据 。
即 Ｘ０ ＝ Ｎ）出手 ，
ｉ＝１
ｉ 。 记在ｔ ｉ 时刻手头还剩余 ∑ζ ｉ １ －
的股票数量 为 Ｘｔ ＝ Ｘ０ － ∑ ζ － ｉ ＝ Ｘ ｔ ｊ 或 者ζ ｉ ｉ
ｊ＝１
Ｒ（ Ｘ）＝ ｙ ＋ Ｘ０ Ｓ ０－
Ｔ ｔ ｔ
， Ｘ ＸＴ＋ ＝ ０ 。 为 了 引 入 长 期 和 短 期 价 格 效 应 ， ｔ ｉ １ ＋ 我们还需引 入 第ｉ 个 区 间 的 平 均 交 易 变 化 速 度 Ｖｉ ／ 可假设受到交易逆向冲击的 τ 。 在此假设下 ， ＝ζ ｉ ① 价格过程 ， 即长期价格效应价格过程和总的股票 价格过程 （ 包含短期效应 ） 分别为 ：
（ ） 、 、 仲 Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ ＆Ｃ ｈ ｒ ｉ ｓ ｓ ２ ０ ０ １ Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ（ ２ ０ ０ ３） ｇ ｇ ） 、 黎明等 （ 胡小 平 等 （ 考虑了均值－方差 ２ ０ ０ ５ ２ ０ ０ ８） 最优化问题 ， 即： ］ ） 其 中， ｍ ｉ ｎ｛ Ｅ［ Ｃ（ Ｘ） Ｖ ａ ｒ（ Ｃ（ ｘ） ＋λ λ 测度 ｝，
二、 最优执行策略的本质 ： 流动性或流动性风险
高频交易的变现或购买策略都是在短时间内完
＊
王丹 、 向修海 ， 华中科技大学经济学院 ， 邮政编码 ： 电子邮箱 ： ４ ３ ０ ０ ７ ４， ｗ ｄ ５ ５ ２ ９＠１ ２ ６． ｃ ｏ ｍ。 感谢匿名审稿 人 的 宝 贵 意 见 ，
文责自负 。
ｔ
Ｔ（ Ｔ ＜ "）时 间 内 变 现 和 买 入 数 量 为 Ｘ０ 的 股 票 。 下面仅考虑 Ｘ０ ＞ ０ ， 即 卖 出 所 持 有 的 股 票， 对于购
买策略具 有 相 似 讨 论 。 将 时 间 区 间 ［ ０， Ｔ］划 分 成 ／ 长度为τ ＝ Ｔ 即在交易之前已经 Ｎ 的等距小区间 ， 投资者将股票分 限制了交易的时 间 计 划 。 相 应 地 ，
１２ Ｓ Ｖｉ σ τ ｕ τ ｇ（ ｉ １ ＝Ｓ ｉ＋ ｉ １－ １） ＋ ＋ ＋ ／
Ｘ） ｄ ｔ ∫Ｘｇ（ Ｘ） ｄ ｔ＋σ Ｘｄ － ∫Ｘｈ（ ∫ Ｗ
ｔ ｔ
０
Ｔ
Ｔ
ｔ
ｔ
０
０
（ ） ５ （ ） ６
Ｉ（ Ｘ）＝ ｙ ＋ Ｘ０ Ｓ Ｘ） ０ －Ｒ（ 那么 ， 其期望和方差分别为 ：
Ｔ
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此， 从随机流动性角度来看， 最优执行策略的本质又是 流动性风险控制问题， 或者是随机流动性问题。 从以 下 的 分 析 可 以 看 出 ， 最优执行问题建模的 发展思路正好与对 流 动 性 设 定 的 逐 步 完 善 相 一 致 ， 从短暂效应到跨期 效 应 ， 从确定性流动性到随机流 动性 。 我们 以 这 种 思 想 将 最 优 执 行 模 型 划 分 为 三 代： 外生效应函数 模 型 、 内 生 反 弹 动 态 模 型、 随机流 动性模型 。 接下来我们一一介绍其基本思想以及它 们之间的区别和联系 。
Ｎ Ｎ
＇ （ Ｒ Ｘ）＝ Ｘ０ Ｓ Ｖｉ） ｈ（ Ｖｉ） τ∑Ｘ －τ∑Ｖｉ ｇ（ ０－ ｉ
三、 第一代模型 ： 外生效应函数模型
） 这代模型首先由 Ｂ 提出 ， ｅ ｒ ｔ ｓ ｉ ｍ ａ ｓ ＆Ｌ ｏ（ １ ９ ９ ８ 他们将大额投资者的执行成本定义为由一系列小额 交易所带来的交易 成 本 的 期 望 值 ， 然后他们使用动 态规划求解得到相应的最优交易策略 。 这个思想后 （ ） 、 （ ） 被Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ ２ ０ ０ ３ Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ ＆Ｃ ｈ ｒ ｉ ｓ ｓ １ ９ ９ ９， ２ ０ ０ １ ｇ ｇ 扩展 ， 在目标函数中 同 时 考 虑 投 资 者 的 风 险 厌 恶 和 交易成本的方差 。 但基本思想仍然是外生假设大额 交易者的交易策略会对市场价格产生长期和短暂两 种逆向效应 。 这也 是 这 代 模 型 的 核 心 思 想 ， 外生的 价格效应是它区别于以下两代模型的重要特征 。 国 内对大额 投 资 者 交 易 策 略 的 研 究 主 要 基 于 这 种 框 架 。 为了便于理解 这 代 模 型 的 思 想 ， 下面的讨论将 分别讨论这种框架的离散和连续时间版本 。 鉴于直观理解 ， 我们首先从离散时间形式出发 ， 然后取交易间隔时间趋于 ０ 得到连续版本 。 假设市 场存在风险资产 （ 下面以股票为例 ） 和无风险两种资 ） 以下统称“ 投 资 者” 需要在未来 产 。 大额投 资 者 （
《 经济学动态 》 ２ ０ １ ３ 年第 ２ 期
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高频交易的最优执行策略研究
王 丹 向修海 !
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内容提要 ： 高频交易是最近金融行业非常热门的话题 ， 如何在中国金融市场上实施高频交易更 — — 最优执行策略研究 。 本文首 是备受大家关注 。 本文将介绍高频交易的一个非常重要组成部分 — 先剖析了最优执行策略的本质 ， 即流动性或者流动性风险 。 然 后 基 于 此 思 想 将 最 优 执 行 策 略 模 型 划分为三代 ， 并详细分析了三代模型之间的区别和联系 。 本文 对 最 优 执 行 策 略 模 型 发 展 历 程 的 总 结， 既有利于激发未来的研究 ， 又为中国高频交易的实施提供了实践启发 。 关键词 ： 高频交易 最优执行模型 流动性 流动性风险 成预设的交易量 。 对 它 们 来 说 ， 最优策略是将交易 量分割成小额订单然后分批成交 。 然而从单笔交易 来看 ， 它们的交易会 对 当 前 均 衡 价 格 产 生 不 利 的 影 响， 其均衡偏离幅度 取 决 于 当 前 最 优 价 格 附 近 的 限 价指令数量 。 这种 偏 离 一 般 会 产 生 三 种 效 应 ， 一是 长期效应 ， 也就是在整个交易周期内都存在 ， 它主要 对以后各个时刻 通过中间价格的漂 移 而 逐 渐 累 积 ， 的交易价格都产生影响 ； 二是短暂效应 ， 即它会在当 因此 ， 只对当前 前时刻的交易结束后立即衰减至零 ， 三是跨期效应 ， 它意味着均衡的偏离 交易产生影响 ； 不会立即衰减至 零 ， 而 是 逐 渐 衰 减 至 零。一 般 后 二 者总称为反弹效应 。 三种效应的综合会使得实际执 行的平均价格不同 于 交 易 前 可 观 测 的 价 格 ， 实际成 限价指令薄的形状 、 反弹效应的 交价格是交易规模 、 函数 ， 而总执行成本 是 实 际 成 交 价 与 总 交 易 计 划 的 乘积 。 因此 ， 最优执 行 策 略 问 题 就 是 求 解 使 得 总 期 （ 望执行成 本 最 小 的 交 易 策 略 。 回 顾 Ｋ 对 ｌ ｅ １ ９ ８ ５） ｙ 流动性的定义 ， 这里 实 际 成 交 价 的 影 响 因 素 与 流 动 从流动性确 性的深度和反弹 存 在 对 应 关 系 。 因 此 ， 定的角度来看 ， 最优 执 行 策 略 的 本 质 正 是 流 动 性 问 题 。 如果我们进一 步 假 设 流 动 性 是 随 机 的 ， 如深度 （ 限价指令簿形 状 ） 是 随 时 间 变 化 而 随 机 变 化， 投资 者延迟交易还必须考虑流动性风险所带来的成本问 题。比如， 当流动性很高时， 投资者应该加速交易， 而 投资者需要减少甚至等待交易。 因 当流动性较低时，
ｉ １ ＋
ｉ １ ＋
＝Ｓ σ τ ０＋
＇
／ １ ２
Ｖｊ） τ∑ｇ（ ｊ－ ∑ｕ
ｊ＝１ ｊ＝１
ｉ １ ＋
Ｖｊ） τ∑ｇ（ ＝Ｓ ｉ－
ｊ＝１
（ ） １
槇ｉ （ （ ） Ｓ Ｖｉ） ｉ ＝ １…， Ｎ ２ １ ＝Ｓ ｉ －ｈ ＋ ＇ ） 式（ 中的Ｓ １ ｉ 设定了长期均衡价格的动态过 程， 它是由无漂 移 项 的 算 术 布 朗 运 动 所 决 定 。 在 实 它仅 仅 理 论 上 存 在 ， 完全由市场基本面所决 际中 ， 槇， 定 。 一般地我们能够 观 测 到 的 是 Ｓ 它包含了大额 其 中σ 是 传 统 交易的长期和 短 期 价 格 效 应 。 另 外 ， 意义下价格 的 波 动 ； Ｖｉ ｇ（ １ ）反 映 了 大 额 交 易 对 市 ＋ 场供给与需求的长 期 均 衡 影 响 ， 通过过程 Ｓ不断累 积在区间 ［ 因此它是长期 ０， Ｔ］对价格都 产 生 影 响 ， 效应 ， 它是交易速度的 函 数 ； 而 ｈ（ 仅仅只对区 Ｖｉ １） ＋ ／ 在短时间 间［ ｔ ｔ Ｎ］的交易价格产生影响 ， ｉ １， ｉ １ ＋１ ＋ ＋ 内会衰减消退 ， 不存 在 持 久 性 ， 它 是 短 期 效 应； ｕ是 相互独立的随机 过 程 。 因 此 ， 大额投资者的财富和 执行成本分别为 ：
ｉ＝１
ｉ＝１
Ｎ
＋σ τ－
／ １ ２
ｉ＝１
∑Ｘｕ
Ｎ
ｉ ｉ Ｎ Ｎ
（ ） ３
＇ 槇 （ Ｉ Ｘ）＝ Ｘ０ Ｓ Ｖｉ） ｇ（ ０－ ｉＳ ｉ ＝τ ∑ζ ∑Ｘｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
Ｎ
／
１２ ｈ（ Ｖｉ） ｕ τ－ ∑Ｘ ＋τ∑Ｖｉ －σ ｉ ｉ
（ ） ４
ｉ＝１
ｉ＝１
） 式（ 的等式右 边 前 两 项 分 别 表 示 长 期 效 应 和 ４ 短期效应 成 本 ， 而 第 三 项 为 价 格 波 动 带 来 的 成 本。 和Ｓ 考 Ａ ｌ ｍ ｒ ｅ ｎ（ ２ ０ ０ ３） ｃ ｈ ｉ ｅ ｄ ＆Ｓ ｃ ｈ ｏ ｎ ｅ ｂ ｏ ｒ ｎ（ ２ ０ ０ ９） ｇ 虑了上述框架的连续版本 ， 即令τ → "， 可得连续交 ） 易策略过程为 ： 这意味着 Ｘ Ｘ Ｖ（ ｓ ｄ ｓ， ｔ ＝ Ｘ ０ －