向量共线、定比分点公式及数量积(补课)

向量共线、定比分点公式及数量积

一、 平面向量共线定理、定比分点

1. 平面向量共线定理

设),(11y x a =，),(22y x b =（ b ≠0），则b a //⇔01221=-y x y x 注：不能写成b a //⇔2

2

11x y x y =

，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式

已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =

λ+111OP +λ

+λ

12OP 坐标公式⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ

+λ+=1121

21y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21

λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为

内分点；λ ＜0时，P 为外分点.

二、平面向量的数量积

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于

a 的长度与

b 在a 方向上投影 |b |

c os θ的乘积. b

在a 方向上的投影：OP a

b

a b ⋅=θ=cos

3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量

（1）-|a ||b |≤|a ⋅b | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a

与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；

（2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（两向量垂直的判定）； （3）cos θ =

||||b a b a ⋅，|a |cos θ =||b b a ⋅，|b |cos θ =|

|a b

a ⋅（投影式）.

4.平面向量数量积的运算律

（1）交换律：a ⋅b =b ⋅a （2） 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )

（3）分配律：(b a + )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 5.平面向量数量积的坐标表示

（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a ⋅b 2121y y x x +=.

y

P 2

P P 1

O x

a

b θ

θ

a

b

o

P P

o

（2）设),(y x a =，则22||y x a +=

.

（3）平面内两点间的距离公式

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，

那么2

21221)()(||y y x x a -+-=.

（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =

b a ⊥⇔02121=+y y x x .

（5）两向量夹角的余弦 cos θ =

|

|||b a b

a ⋅⋅2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点

1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )

A ．3a ＋b

B ．3a －b

C ．－a ＋3b

D ．a ＋3

2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )

A ．)2,1(=a 与)1,2(=b

B ．)2,1(-=a 与=b 0

C ．)2,1(=a 与)4,2(--=b

D ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=AB ,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )

A ．)5,5(-

B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M

C ．()

1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭

⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

5、在ABC ∆中，=b ,=c ,若点D 满足DC BD 2=,则=( )

A ．c b 3132+

B ．b c 3235-

C ．c b 3

132- D ．c b 3231+

6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；

7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD

＝，则点C 的坐标为____________.

9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?