机械系统弹性动力学优秀课件
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第三部分机械系统弹性动力学基础课件
（3） 两端均固定。边界条件可表示为
U (0) U (l) 0
它相当于（ 4-24 ）中k= ∞的情形。其相应的频率为
从而求的其固有频率
sin n l 0
nk
k
l
k
l
E , k 1,2,3, (4 28)
对应主振型
Uk (x)
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 29)
所以前三阶的主振型为
k11 k 21
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
2(t ) t 2
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
左右截面的位移分别为u, u u dx
故微分段的应变为 u x
《机械系统动力学》课件
04
数值模拟法的缺点是计算量大，计算时间长，且需要较高的数学建模 和数值计算能力。
解析法
01 02 03 04
解析法是通过数学解析的方法来求解机械系统动力学问题的方法。
解析法需要建立系统的数学模型，利用数学解析的方法求解模型的微 分方程或差分方程，以获得系统的解析解。
解析法的优点是能够获得系统的精确解，具有较高的理论价值。
实验研究法的优点是能够直接获取系统的实际动 力学行为，具有较高的真实性和可靠性。
数值模拟法
01
数值模拟法是通过计算机数值计算来模拟机械系统的动态行为的方法 。
02
数值模拟法需要建立系统的数学模型，利用数值计算方法求解模型的 微分方程或差分方程，以获得系统的动态响应。
03
数值模拟法的优点是能够模拟复杂系统的动态行为，具有较高的灵活 性和可重复性。
动能定理
总结词
描述物体动能变化的定理
详细描述
动能定理指出，一个物体动能的改变等于作用力对物体所做的功。这个定理是能 量守恒定律在动力学中的表现，是分析机械系统运动状态的重要工具。
势能定理
总结词
描述物体势能变化的定理
详细描述
势能定理指出，一个物体势能的改变等于作用力对物体所做的负功。这个定理可以帮助我们分析机械系统的运动 状态，特别是当物体受到重力的作用时。
CHAPTER 04
机械系统动力学的研究方法
实验研究法
实验研究法需要设计和搭建实验装置，对系统 施加激励并采集响应数据，通过分析数据来揭
示系统的动态特性。
实验研究法的缺点是实验成本较高，实验条件难以控 制，且实验结果可能受到实验误差和环境因素的影响
。
实验研究法是通过实验测试和观察机械系统的 动态行为，以获取系统的动力学特性和性能参 数的方法。
数值模拟法的缺点是计算量大，计算时间长，且需要较高的数学建模 和数值计算能力。
解析法
01 02 03 04
解析法是通过数学解析的方法来求解机械系统动力学问题的方法。
解析法需要建立系统的数学模型，利用数学解析的方法求解模型的微 分方程或差分方程，以获得系统的解析解。
解析法的优点是能够获得系统的精确解，具有较高的理论价值。
实验研究法的优点是能够直接获取系统的实际动 力学行为，具有较高的真实性和可靠性。
数值模拟法
01
数值模拟法是通过计算机数值计算来模拟机械系统的动态行为的方法 。
02
数值模拟法需要建立系统的数学模型，利用数值计算方法求解模型的 微分方程或差分方程，以获得系统的动态响应。
03
数值模拟法的优点是能够模拟复杂系统的动态行为，具有较高的灵活 性和可重复性。
动能定理
总结词
描述物体动能变化的定理
详细描述
动能定理指出，一个物体动能的改变等于作用力对物体所做的功。这个定理是能 量守恒定律在动力学中的表现，是分析机械系统运动状态的重要工具。
势能定理
总结词
描述物体势能变化的定理
详细描述
势能定理指出，一个物体势能的改变等于作用力对物体所做的负功。这个定理可以帮助我们分析机械系统的运动 状态，特别是当物体受到重力的作用时。
CHAPTER 04
机械系统动力学的研究方法
实验研究法
实验研究法需要设计和搭建实验装置，对系统 施加激励并采集响应数据，通过分析数据来揭
示系统的动态特性。
实验研究法的缺点是实验成本较高，实验条件难以控 制，且实验结果可能受到实验误差和环境因素的影响
。
实验研究法是通过实验测试和观察机械系统的 动态行为，以获取系统的动力学特性和性能参 数的方法。
高等机构学第十一章-机械系统动力学课件.ppt
i 1
n
n
Pi
等效构件作转动
M e Pi ,
i 1
Me
i 1
n
n
Pi
等效构件作移动 Fev Pi , i 1
Fe
i 1
v
n
Pi 机构中所有构件在运动过程的瞬时功率之和
i 1
Me
Je
Fe
me
v
注意： M e M ed M er
等效构件的力矩或力的运动方程的微分形式为：
d 2 dJ M d M r J dt 2 d
d
2 d f (,)
d
J
将其代入下面的欧拉公式，则：
i1
i
(
d d
)
i
i
M
(
i
,
i
)
2
2
J ii
(
dJ
d
)
i
用差商 Ji1 Ji Ji1 Ji
i1 i
代替
(
dJ
d
)
i
则上式变换为：
i1
3J i J i1 2Ji
i
M (i ,i ) J i i
的近似值约为：
1 2
(i
i1)t
F1
m
( F jx
j 1
x j q1
F jy
y j q1
M
j
j
q1
)
F2
m
( F jx
j 1
x j q2
F jy
y j q2
Mj
j )
q2
……
Fn
m
( F jx
j 1
x j qn
F jy
y j qn
n
n
Pi
等效构件作转动
M e Pi ,
i 1
Me
i 1
n
n
Pi
等效构件作移动 Fev Pi , i 1
Fe
i 1
v
n
Pi 机构中所有构件在运动过程的瞬时功率之和
i 1
Me
Je
Fe
me
v
注意： M e M ed M er
等效构件的力矩或力的运动方程的微分形式为：
d 2 dJ M d M r J dt 2 d
d
2 d f (,)
d
J
将其代入下面的欧拉公式，则：
i1
i
(
d d
)
i
i
M
(
i
,
i
)
2
2
J ii
(
dJ
d
)
i
用差商 Ji1 Ji Ji1 Ji
i1 i
代替
(
dJ
d
)
i
则上式变换为：
i1
3J i J i1 2Ji
i
M (i ,i ) J i i
的近似值约为：
1 2
(i
i1)t
F1
m
( F jx
j 1
x j q1
F jy
y j q1
M
j
j
q1
)
F2
m
( F jx
j 1
x j q2
F jy
y j q2
Mj
j )
q2
……
Fn
m
( F jx
j 1
x j qn
F jy
y j qn
01-机械系统动力学ppt
目的 驱动功大于阻力功时飞轮积蓄能量而只使主轴的角速度略增；
驱动功小于阻力功时飞轮释放能量而只使主轴速度略降。
ω
02
2 Jv
0
M
vd
和两个位置间的运行时间： dt d
ω
1
t t0 ω d 0
（2）等效力矩为等效构件角速度的函数，等效转动惯量为常数 由电动机驱动的鼓风机、离心泵、起重机等
用力矩方程
M
v
M
va
M
vc
Jv
dω dt
求解达到某角速度ω的时间：
ω
dω
1 t dtt0 t
ω 0 M va M vc Jv t0
转化方法：
将整个机械系统的动力学问题转化为系统中 某一运动构件的动力学问题，该运动构件称 为等效构件，通常等效构件取为原动件。
转化
等效构件 作 直线移动 或作 定轴转动，用牛顿第二定律计算方便。
转化内容：
为使等效构件与系统中该构件的真实运动一致，需将作 用于原机械系统的所有外力与外力矩、所有运动构件的质量 与转动惯量都向等效构件转化。
直线移动：
Fv
v2 2
dm v ds
m
vv
dv/dt ds/dt
v2 2
dm v ds
m
v
dv dt
定轴转动：
M
v
ω 2 dJv
2 d
Jvω
dω /dt ω 2
d/dt 2
dJv
d
Jv
dω dt
当系统的速比为常数时，Jv、mv为常数，有：
直线移动：力形式的运动方程 dv
Fv Fva Fvc m v dt
1 2
(m
机械系统动力学培训教程PPT课件( 46页)
数。
1、驱动力：原动机发出的力(力矩)。
• 下图分别为直流并激电动机、直流串激 电动机和交流异步电动机的机械特性曲 线
2、工作阻力：系统工作时需要克服的工作 负荷。
• （1）起重机、车床等： 工作阻力是常数 (在一段工作过程中)
• (2) 往复式压缩机、内燃机： 工作阻力是原动件位置的函数
• （3）鼓风机叶轮所受空气阻力： 工作阻力是执行件速度的函数
时,
•
小结:
• 当 与n一定时，如果加大 ，则机械的速度波动 系数下降，起到减小机械速度波动的作用，达到调 速的目的；但安装飞轮不能消除速度波动。
• 如果 值取得很小，飞轮的转动惯量就会很大；
若
， 而实际工程中 只能是有限值
。因此，不能过分地追求机械运转速度的均匀性，
否则将会使飞轮过于笨重。
• 由于 与n的平方成反比，因此，最好将飞轮安装 在机械的高速轴上。
启动阶段和停车阶段统称为机械系统的 过渡过程。
10.2 机械的等效动力学模型
• 10.2.1 等效动力学模型的建模方法 • 1、 等效动力学建模原理：
– 动能不变原则：等效构件的质量或转动惯 量所具有的动能等于整个系统的动能之和 。
– 功(功率)不变原则：作用在等效构件的等 效力、等效力矩所作的功(或功率)等于整 个系统的所有力、力矩所做功(或功率)之 和。
河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。
•
8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。
•
9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，
1、驱动力：原动机发出的力(力矩)。
• 下图分别为直流并激电动机、直流串激 电动机和交流异步电动机的机械特性曲 线
2、工作阻力：系统工作时需要克服的工作 负荷。
• （1）起重机、车床等： 工作阻力是常数 (在一段工作过程中)
• (2) 往复式压缩机、内燃机： 工作阻力是原动件位置的函数
• （3）鼓风机叶轮所受空气阻力： 工作阻力是执行件速度的函数
时,
•
小结:
• 当 与n一定时，如果加大 ，则机械的速度波动 系数下降，起到减小机械速度波动的作用，达到调 速的目的；但安装飞轮不能消除速度波动。
• 如果 值取得很小，飞轮的转动惯量就会很大；
若
， 而实际工程中 只能是有限值
。因此，不能过分地追求机械运转速度的均匀性，
否则将会使飞轮过于笨重。
• 由于 与n的平方成反比，因此，最好将飞轮安装 在机械的高速轴上。
启动阶段和停车阶段统称为机械系统的 过渡过程。
10.2 机械的等效动力学模型
• 10.2.1 等效动力学模型的建模方法 • 1、 等效动力学建模原理：
– 动能不变原则：等效构件的质量或转动惯 量所具有的动能等于整个系统的动能之和 。
– 功(功率)不变原则：作用在等效构件的等 效力、等效力矩所作的功(或功率)等于整 个系统的所有力、力矩所做功(或功率)之 和。
河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。
•
8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。
•
9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，
《弹性动力学引论》PPT课件
均匀性假设
• 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成，认为弹性体 内不同点处的材料具有相同的性质。
•
弹性常数不随坐标的位置改变而改变；
• • 作用 可以取出物体的任意一个小部分讨论，
•
然后将分析结果应用于整个物体
• • 应用与整个弹性动力学方程建立的。
各向同性假设
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。
弹性力学的发展
到19世纪末和20世纪初，又应当提到的是另外 两个人，一位是英国人乐甫，他是总结到他那 时全部弹性力学成果的一位大师，并且奠定了 薄壳理论的基础，以及系统将弹性力学成功地 应用于地球物理的第一人。另一位是苏联学者 穆斯海利什维利，他终生致力于用复变函数求 解弹性力学。
弹性力学的发展
§1-2 弹性力学的研究内容
应力分析 位移和应变分析 • 弹性动力学的研究内容 应力和应变的关系
弹性波的传播
§1-3 弹性力学中的基本假定
• 问题的提出
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作 出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的 因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围 之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。
（4） 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互作
内力
用力;
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim s
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
A0 A (2) 应力矢量. Q的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
机械系统的动力学分析ppt课件
)
2
min
m (1
)
2
则得：
2 max
2 min
2
2 m
三、机械的调速
2、周期性速度波动的调节 讨论：
max min m
（1）由公式可知，若ωm一定，当δ↓，则ωmax－ωmin↓， 机械运转愈平稳；反之，机械运转愈不平稳。设计时为
使机械运转平稳，要求其速度不均匀系数不超过允许值。
即：
δ ≤[δ ]
为了便于讨论机械系统在外力作用下作 功和动能变化，将整个机械系统个构件的运 动问题根据能量守恒原理转化成对某个构件 的运动问题进行研究。为此引入等效转动惯 量（质量）、等效力（力矩）、等效构件的 概念，建立系统的单自由度等效动力学模型。
§17-2 机械的运转和速度波动的调节
二、机械系统动力学的等效量和运动方程 1、机械的运动方程式的一般表达式
计计算和强度计算的重要依据。 方法：图解法和解析法
§17-1 平面机构力分析
二、平面机构动态静力分析 1、构件惯性力的确定 1）作平面复合运动的构件
2）作平面移动的构件 惯性力P1＝—mαs
3）绕定轴转动的构件 惯性力偶矩MI1
§17-2 机械的运转和速度波动的调节
一、机械的运转
机械运转中的功能关系
三、机械的调速
3、飞轮的设计原理 由于机械中其他运动构件的动能比飞轮的动能小
很多，一般近似认为飞轮的动能就等于整个机械所具
有的动能。即飞轮动能的最大变化量△Emax应等于机
械最W大m盈ax 亏 J功(E△mmWaaxx maxE。mmina)xmEax m2inmin12JJ(m2m2ax
2 min
Me = M1-F3(v3/ω1)
机械系统动力学第五章 考虑构件弹性的机械系统动力学
60 TZ z1n1
k (t )
齿轮单对齿啮合刚度
km (t ) km (t ) FN 2 x x x me me me
齿轮传动系统动力学问题是参数激振问题
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 二、齿轮啮合时的载荷分配
对于渐开线直齿圆柱，其重合度 1 2 ，在一个 啮合周期内，有双齿啮合区和单齿啮合区。双齿啮合 时，法向载荷由两对轮齿共同承担；单齿啮合时，法 向载荷由一对轮齿承担。
k (t )
H T 1 T 2 A1 A2
FN
例：某减速器中的一对齿轮，其参数列于表5-1-1。
齿轮齿数 齿轮模数 齿顶高系数 Z1=41 Z2=161 m=12 ha1=ha2=1.0
压力角
齿宽 材料弹性模量
α=20°
b= E=2.10×1011Pa
材料泊松比
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解
由从动件初始运动条件θ=0，y=y’=0得
y= h h 1 π 1-cos + cos -cos 2 2 2 π 0 1- 0
从而有
y=n 2
分别为齿轮1，2因轮齿弹性变形产生的扭转角； J1 J 2 分别为齿轮的对各自转轴的转动惯量， T1 、 T2 分别为作用在齿轮上的外力偶矩
显然，由静力平衡条件知
、
T1 T2 = rb1 rb 2
km (t ) 、 c 为齿轮时变啮合刚度和阻尼系数
rb 2 分别为齿轮1，2的基圆半径； rb1 、
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 一、齿轮传动系统运动微分方程的建立
《弹性动力时程分析》课件
参数设定
根据实际结构进行简化， 将其抽象为计算模型。
STEP 03
模型验证
通过对比实际数据与模型 计算结果，验证模型的准 确性。
确定模型中的材料属性、 几何尺寸、边界条件等参 数。
输入地震波
地震波选择
选择能反映地震特性的地震波，如持续时间、峰值加 速度等。
地震波调整
根据模型和实际场地条件，对地震波进行调整，使其 更符合实际情况。
直接积分法
对运动方程进行积分，得 到位移、速度、加速度等 响应。
模态叠加法
通过模态振型和模态坐标 变换，将运动方程转化为 易于求解的形式。
振型分解法
将复杂的振动问题分解为 若干个简单的振动问题， 分别求解后再组合。
Part
03
弹性动力时程分析的步骤与流 程
建立模型
STEP 01
模型简化
STEP 02
方法
基于有限元理论，采用数值计算方法对结构进行地震作用下 的动力响应分析。
应用
广泛应用于桥梁、高层建筑、大跨度结构等领域的抗震分析 和设计。
Part
02
弹性动力时程分析的基本原理
弹性动力学的理论基础
弹性力学的基本概念：弹 性、应变、应力等。
弹性力学的基本方程：平 衡方程、几何方程、物理 方程等。
案例二：大跨度桥梁的弹性动力时程分析
大跨度桥梁的地震响应预测
对大跨度桥梁进行弹性动力时程分析，预测其在地震作用下的响应。考虑桥梁的结构特点、地震波传 播特性以及桥梁的动力特性，模拟地震发生时桥梁的位移、应力等变化，为桥梁的安全性评估提供依 据。
案例三：复杂地质条件的弹性动力时程分析
地下结构在复杂地质条件下的地震响应分析
准确性
根据实际结构进行简化， 将其抽象为计算模型。
STEP 03
模型验证
通过对比实际数据与模型 计算结果，验证模型的准 确性。
确定模型中的材料属性、 几何尺寸、边界条件等参 数。
输入地震波
地震波选择
选择能反映地震特性的地震波，如持续时间、峰值加 速度等。
地震波调整
根据模型和实际场地条件，对地震波进行调整，使其 更符合实际情况。
直接积分法
对运动方程进行积分，得 到位移、速度、加速度等 响应。
模态叠加法
通过模态振型和模态坐标 变换，将运动方程转化为 易于求解的形式。
振型分解法
将复杂的振动问题分解为 若干个简单的振动问题， 分别求解后再组合。
Part
03
弹性动力时程分析的步骤与流 程
建立模型
STEP 01
模型简化
STEP 02
方法
基于有限元理论，采用数值计算方法对结构进行地震作用下 的动力响应分析。
应用
广泛应用于桥梁、高层建筑、大跨度结构等领域的抗震分析 和设计。
Part
02
弹性动力时程分析的基本原理
弹性动力学的理论基础
弹性力学的基本概念：弹 性、应变、应力等。
弹性力学的基本方程：平 衡方程、几何方程、物理 方程等。
案例二：大跨度桥梁的弹性动力时程分析
大跨度桥梁的地震响应预测
对大跨度桥梁进行弹性动力时程分析，预测其在地震作用下的响应。考虑桥梁的结构特点、地震波传 播特性以及桥梁的动力特性，模拟地震发生时桥梁的位移、应力等变化，为桥梁的安全性评估提供依 据。
案例三：复杂地质条件的弹性动力时程分析
地下结构在复杂地质条件下的地震响应分析
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故有
FiR mi2xi FiL
xi xiR xiL
写成矩阵形式
xR 1 0xL xL
F i 2m i 1 F i Cip F i
对于弹簧有
Fi L
F
i
R 1
x
L i
x
R i
1
F
i
R 1
ki
用传递矩阵表示如下
xL 1 F i 0
11ki F x iR 1Cif F x iR 1
综合上述关系，有
机械系统弹性动力学
本章内容 ❖ 5.1 弹性体振动 ❖ 5.2 传递矩阵法 ❖ 5.3 动力学问题有限元法 ❖ 5.4 基于Ansys的弹性动力学分析
5.1 弹性体振动
弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质 点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。 因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。
x R 1
F
i
2m i
1 01
2m i
1
0
0 x L
1
F
i
1
k 1
i
x F
R i1
1
2m i
1 ki 1 2mi
ki
x F
R i1
x
C
i
F
R i1
Ci为第i个子结构的传递矩阵。
连续运用传递关系，有
Z
R n
C nC n1
C
1
Z
R 0
C
Kuf
而动力有限元法要得到并求解如下方程：
M u K u f
5.3.2 一维有限元模型
建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首 先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在 振动方程中令时间为常数，即
2u 1 2u x2 b2 t2 0
积分得 u(x) C1x C 2 代入边界条件 u (0) C 2 u1 u(L) C1L C 2 u2
（2）有限元计算步骤 1 离散化； 2 单元分析； 3 单元合成； 4 求解； 5 分析结果。 简言之：“一分一合”
（3）有限元法的基本方法和理论 1 直接有限元方法； 2 虚功原理方法； 3 能量变分原理方法； 4 迦辽金方法（加权残数法）。
有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法 要得到并求解如下方程：
Z
R 0
其中 ,
C
c11 ( )
c
21
c
22
(
)
xn
F
R n
c11 (
c
21
(
) )
c 12 c 22
( (
) )
x0
F
R 0
边界条件为
x0 0
F
R n
0
即
xn 0
c 11 (
c
21
(
) )
故有
c 12 c 22
( (
) )
如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分 为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简 化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的 精度。
取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端 状态向量为
质量左端状态为
由牛顿定律
mixi FiRFiL
对于简谐振动
xi 2xi
❖ 建立离散系统振动方程的方法: 如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例
解：设张力T不变，则恢复力为 所以微分方程为： 故有
❖ 建立连续系统振动方程的方法: 以直杆的纵向振动为例
由材料力学知
(x) u
x
FT ( x)
AE
AE
u x
FT
FT x
dx
AE ( u x
2u x 2
dx)
微元段的运动方程为
❖ （1）有限单元法的基本思想
有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一 系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的 待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求 得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关 系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程 “组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界 条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结 果就越精确。
0 F 0R
x n c 12 ( ) F 0R c 22 ( ) F nR 0
频率方程为
解方程可求 固有频率
c22()0
5.2.2 轴的扭转振动（集中质量法）
如图所示，方向符合右手定律。
对图示扭转系统 对旋转轮盘，点矩阵为
对扭转弹簧，场矩阵为 综合可得传递矩阵为
5.3 动力学问题有限元法
(0) 0
T(L)
GI0
d
dx
xL
0
代入可得
C2 0 C 1 a cos aL 0 即 aL 2 j 1
2
固有频率为
nj
(2
j 1)
2L
GI 0 J
振型
j ( x ) C1 sin
(2 j 1)
2L
x
5.1.2 梁的横向振动
5.2 传递矩阵法
5.2.1 轴的纵向振动（集中质量法）
Adxt2u2 AEx2u2 dx
共同点：以牛顿定律为出发点。
5.1.1 扭转自由振动
如图所示，由材料 力学得
T
GI
0
x
T x
GI
2 0 x2
微元段的平衡方程为
TTxdxTJdx2t2
代如整理得
212, b G0I
x2 b2 t2
J
用分离变量法求解以上方程，设
(x,t)(x)q(t)
求导可得
5.3.1 引言
有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算 数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方 法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当 丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的 通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整 机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、 气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多 的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会 效益。
因此可得到扭转振动的通解
( x , t ) ( C 1 sa i C n 2 x ca o ) A s x (s n i t n B cn o t )
当边界条件已知时，可求出固有频率。
例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。
解：根据题意知，左端位移 为0，右端外力为0。故有边 界条件如下
2
t2
(x)dd2qt2(t)
2
d2(x)
x2 q(t) dx2
整理得
b(2x)2x(2x)q1(t)2qt(2t)
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想
相等只能等于常数。令该常数为
2 n
则有
d2q(t) dt2
n2q(t)
0
d2(x)
dx2
a2(x)
0,
a2
n2
b2
解以上两个方程得
q(t)AsinntBcosnt (x)C1sinaxC2coasx
所以有
u(x)
1
x L
u1
FiR mi2xi FiL
xi xiR xiL
写成矩阵形式
xR 1 0xL xL
F i 2m i 1 F i Cip F i
对于弹簧有
Fi L
F
i
R 1
x
L i
x
R i
1
F
i
R 1
ki
用传递矩阵表示如下
xL 1 F i 0
11ki F x iR 1Cif F x iR 1
综合上述关系，有
机械系统弹性动力学
本章内容 ❖ 5.1 弹性体振动 ❖ 5.2 传递矩阵法 ❖ 5.3 动力学问题有限元法 ❖ 5.4 基于Ansys的弹性动力学分析
5.1 弹性体振动
弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质 点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。 因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。
x R 1
F
i
2m i
1 01
2m i
1
0
0 x L
1
F
i
1
k 1
i
x F
R i1
1
2m i
1 ki 1 2mi
ki
x F
R i1
x
C
i
F
R i1
Ci为第i个子结构的传递矩阵。
连续运用传递关系，有
Z
R n
C nC n1
C
1
Z
R 0
C
Kuf
而动力有限元法要得到并求解如下方程：
M u K u f
5.3.2 一维有限元模型
建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首 先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在 振动方程中令时间为常数，即
2u 1 2u x2 b2 t2 0
积分得 u(x) C1x C 2 代入边界条件 u (0) C 2 u1 u(L) C1L C 2 u2
（2）有限元计算步骤 1 离散化； 2 单元分析； 3 单元合成； 4 求解； 5 分析结果。 简言之：“一分一合”
（3）有限元法的基本方法和理论 1 直接有限元方法； 2 虚功原理方法； 3 能量变分原理方法； 4 迦辽金方法（加权残数法）。
有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法 要得到并求解如下方程：
Z
R 0
其中 ,
C
c11 ( )
c
21
c
22
(
)
xn
F
R n
c11 (
c
21
(
) )
c 12 c 22
( (
) )
x0
F
R 0
边界条件为
x0 0
F
R n
0
即
xn 0
c 11 (
c
21
(
) )
故有
c 12 c 22
( (
) )
如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分 为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简 化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的 精度。
取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端 状态向量为
质量左端状态为
由牛顿定律
mixi FiRFiL
对于简谐振动
xi 2xi
❖ 建立离散系统振动方程的方法: 如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例
解：设张力T不变，则恢复力为 所以微分方程为： 故有
❖ 建立连续系统振动方程的方法: 以直杆的纵向振动为例
由材料力学知
(x) u
x
FT ( x)
AE
AE
u x
FT
FT x
dx
AE ( u x
2u x 2
dx)
微元段的运动方程为
❖ （1）有限单元法的基本思想
有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一 系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的 待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求 得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关 系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程 “组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界 条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结 果就越精确。
0 F 0R
x n c 12 ( ) F 0R c 22 ( ) F nR 0
频率方程为
解方程可求 固有频率
c22()0
5.2.2 轴的扭转振动（集中质量法）
如图所示，方向符合右手定律。
对图示扭转系统 对旋转轮盘，点矩阵为
对扭转弹簧，场矩阵为 综合可得传递矩阵为
5.3 动力学问题有限元法
(0) 0
T(L)
GI0
d
dx
xL
0
代入可得
C2 0 C 1 a cos aL 0 即 aL 2 j 1
2
固有频率为
nj
(2
j 1)
2L
GI 0 J
振型
j ( x ) C1 sin
(2 j 1)
2L
x
5.1.2 梁的横向振动
5.2 传递矩阵法
5.2.1 轴的纵向振动（集中质量法）
Adxt2u2 AEx2u2 dx
共同点：以牛顿定律为出发点。
5.1.1 扭转自由振动
如图所示，由材料 力学得
T
GI
0
x
T x
GI
2 0 x2
微元段的平衡方程为
TTxdxTJdx2t2
代如整理得
212, b G0I
x2 b2 t2
J
用分离变量法求解以上方程，设
(x,t)(x)q(t)
求导可得
5.3.1 引言
有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算 数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方 法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当 丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的 通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整 机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、 气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多 的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会 效益。
因此可得到扭转振动的通解
( x , t ) ( C 1 sa i C n 2 x ca o ) A s x (s n i t n B cn o t )
当边界条件已知时，可求出固有频率。
例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。
解：根据题意知，左端位移 为0，右端外力为0。故有边 界条件如下
2
t2
(x)dd2qt2(t)
2
d2(x)
x2 q(t) dx2
整理得
b(2x)2x(2x)q1(t)2qt(2t)
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想
相等只能等于常数。令该常数为
2 n
则有
d2q(t) dt2
n2q(t)
0
d2(x)
dx2
a2(x)
0,
a2
n2
b2
解以上两个方程得
q(t)AsinntBcosnt (x)C1sinaxC2coasx
所以有
u(x)
1
x L
u1