机械系统弹性动力学优秀课件
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5.3.1 引言
有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算 数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方 法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当 丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的 通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整 机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、 气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多 的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会 效益。
因此可得到扭转振动的通解
( x , t ) ( C 1 sa i C n 2 x ca o ) A s x (s n i t n B cn o t )
当边界条件已知时，可求出固有频率。
例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。
解：根据题意知，左端位移 为0，右端外力为0。故有边 界条件如下
2
t2
(x)dd2qt2(t)
2
d2(x)
x2 q(t) dx2
整理得
b(2x)2x(2x)q1(t)2qt(2t)
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想
相等只能等于常数。令该常数为
2 n
则有
d2q(t) dt2
n2q(t)
0
d2(x)
dx2
a2(x)
0,
a2
n2
b2
解以上两个方程得
q(t)AsinntBcosnt (x)C1sinaxC2coasx
❖ （1）有限单元法的基本思想
有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一 系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的 待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求 得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关 系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程 “组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界 条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结 果就越精确。
x R 1
F
i
2m i
1 01
2m i
1
0
0 x L
1
F
i
1
k 1
i
x F
R i1
1
2m i
1 ki 1 2mi
ki
x F
R i1
x
C
i
F
R i1
Ci为第i个子结构的传递矩阵。
连续运用传递关系，有
Z
R n
C nC n1
C
1
Z
R 0
C
0 F 0R
x n c 12 ( ) F 0R c 22 ( ) F nR 0
频率方程为
解方程可求 固有频率
c22()0
5.2.2 轴的扭转振动（集中质量法）
如图所示，方向符合右手定律。
对图示扭转系统 对旋转轮盘，点矩阵为
对扭转弹簧，场矩阵为 综合可得传递矩阵为
5.3 动力学问题有限元法
❖ 建立离散系统振动方程的方法: 如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例
解：设张力T不变，则恢复力为 所以微分方程为： 故有
❖ 建立连续系统振动方程的方法: 以直杆的纵向振动为例
由材料力学知
(x) u
x
FT ( x)
AE
AE
u x
FT
FT x
dx
AE ( u x
2u x 2
dx)
微元段的运动方程为
故有
FiR mi2xi FiL
xi xiR xiL
写成矩阵形式
xR 1 0xL xL
F i 2m i 1 F i Cip F i
对于弹簧有
Fi L
F
i
R 1
x
L i
x
R i
1
F
i
R 1
ki
用传递矩阵表示如下
xL 1 F i 0
11ki F x iR 1Cif F x iR 1
综合上述关系，有
Adxt2u2 AEx2u2 dx
共同点：以牛顿定律为出发点。
5.1.1 扭转自由振动
如图所示，由材料 力学得
T
GI
0
x
T x
GI
2 0 x2
微元段的平衡方程为
TTxdxTJdx2t2
代如整理得
212, b G0I
wk.baidu.com
x2 b2 t2
J
用分离变量法求解以上方程，设
(x,t)(x)q(t)
求导可得
Z
R 0
其中 ,
C
c11 ( )
c
21
(
)
即
c12 ( )
c
22
(
)
xn
F
R n
c11 (
c
21
(
) )
c 12 c 22
( (
) )
x0
F
R 0
边界条件为
x0 0
F
R n
0
即
xn 0
c 11 (
c
21
(
) )
故有
c 12 c 22
( (
) )
机械系统弹性动力学
本章内容 ❖ 5.1 弹性体振动 ❖ 5.2 传递矩阵法 ❖ 5.3 动力学问题有限元法 ❖ 5.4 基于Ansys的弹性动力学分析
5.1 弹性体振动
弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质 点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。 因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。
Kuf
而动力有限元法要得到并求解如下方程：
M u K u f
5.3.2 一维有限元模型
建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首 先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在 振动方程中令时间为常数，即
2u 1 2u x2 b2 t2 0
积分得 u(x) C1x C 2 代入边界条件 u (0) C 2 u1 u(L) C1L C 2 u2
所以有
u(x)
1
x L
u1
（2）有限元计算步骤 1 离散化； 2 单元分析； 3 单元合成； 4 求解； 5 分析结果。 简言之：“一分一合”
（3）有限元法的基本方法和理论 1 直接有限元方法； 2 虚功原理方法； 3 能量变分原理方法； 4 迦辽金方法（加权残数法）。
有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法 要得到并求解如下方程：
(0) 0
T(L)
GI0
d
dx
xL
0
代入可得
C2 0 C 1 a cos aL 0 即 aL 2 j 1
2
固有频率为
nj
(2
j 1)
2L
GI 0 J
振型
j ( x ) C1 sin
(2 j 1)
2L
x
5.1.2 梁的横向振动
5.2 传递矩阵法
5.2.1 轴的纵向振动（集中质量法）
如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分 为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简 化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的 精度。
取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端 状态向量为
质量左端状态为
由牛顿定律
mixi FiRFiL
对于简谐振动
xi 2xi
有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算 数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方 法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当 丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的 通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整 机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、 气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多 的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会 效益。
因此可得到扭转振动的通解
( x , t ) ( C 1 sa i C n 2 x ca o ) A s x (s n i t n B cn o t )
当边界条件已知时，可求出固有频率。
例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。
解：根据题意知，左端位移 为0，右端外力为0。故有边 界条件如下
2
t2
(x)dd2qt2(t)
2
d2(x)
x2 q(t) dx2
整理得
b(2x)2x(2x)q1(t)2qt(2t)
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想
相等只能等于常数。令该常数为
2 n
则有
d2q(t) dt2
n2q(t)
0
d2(x)
dx2
a2(x)
0,
a2
n2
b2
解以上两个方程得
q(t)AsinntBcosnt (x)C1sinaxC2coasx
❖ （1）有限单元法的基本思想
有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一 系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的 待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求 得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关 系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程 “组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界 条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结 果就越精确。
x R 1
F
i
2m i
1 01
2m i
1
0
0 x L
1
F
i
1
k 1
i
x F
R i1
1
2m i
1 ki 1 2mi
ki
x F
R i1
x
C
i
F
R i1
Ci为第i个子结构的传递矩阵。
连续运用传递关系，有
Z
R n
C nC n1
C
1
Z
R 0
C
0 F 0R
x n c 12 ( ) F 0R c 22 ( ) F nR 0
频率方程为
解方程可求 固有频率
c22()0
5.2.2 轴的扭转振动（集中质量法）
如图所示，方向符合右手定律。
对图示扭转系统 对旋转轮盘，点矩阵为
对扭转弹簧，场矩阵为 综合可得传递矩阵为
5.3 动力学问题有限元法
❖ 建立离散系统振动方程的方法: 如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例
解：设张力T不变，则恢复力为 所以微分方程为： 故有
❖ 建立连续系统振动方程的方法: 以直杆的纵向振动为例
由材料力学知
(x) u
x
FT ( x)
AE
AE
u x
FT
FT x
dx
AE ( u x
2u x 2
dx)
微元段的运动方程为
故有
FiR mi2xi FiL
xi xiR xiL
写成矩阵形式
xR 1 0xL xL
F i 2m i 1 F i Cip F i
对于弹簧有
Fi L
F
i
R 1
x
L i
x
R i
1
F
i
R 1
ki
用传递矩阵表示如下
xL 1 F i 0
11ki F x iR 1Cif F x iR 1
综合上述关系，有
Adxt2u2 AEx2u2 dx
共同点：以牛顿定律为出发点。
5.1.1 扭转自由振动
如图所示，由材料 力学得
T
GI
0
x
T x
GI
2 0 x2
微元段的平衡方程为
TTxdxTJdx2t2
代如整理得
212, b G0I
wk.baidu.com
x2 b2 t2
J
用分离变量法求解以上方程，设
(x,t)(x)q(t)
求导可得
Z
R 0
其中 ,
C
c11 ( )
c
21
(
)
即
c12 ( )
c
22
(
)
xn
F
R n
c11 (
c
21
(
) )
c 12 c 22
( (
) )
x0
F
R 0
边界条件为
x0 0
F
R n
0
即
xn 0
c 11 (
c
21
(
) )
故有
c 12 c 22
( (
) )
机械系统弹性动力学
本章内容 ❖ 5.1 弹性体振动 ❖ 5.2 传递矩阵法 ❖ 5.3 动力学问题有限元法 ❖ 5.4 基于Ansys的弹性动力学分析
5.1 弹性体振动
弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质 点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。 因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。
Kuf
而动力有限元法要得到并求解如下方程：
M u K u f
5.3.2 一维有限元模型
建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首 先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在 振动方程中令时间为常数，即
2u 1 2u x2 b2 t2 0
积分得 u(x) C1x C 2 代入边界条件 u (0) C 2 u1 u(L) C1L C 2 u2
所以有
u(x)
1
x L
u1
（2）有限元计算步骤 1 离散化； 2 单元分析； 3 单元合成； 4 求解； 5 分析结果。 简言之：“一分一合”
（3）有限元法的基本方法和理论 1 直接有限元方法； 2 虚功原理方法； 3 能量变分原理方法； 4 迦辽金方法（加权残数法）。
有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法 要得到并求解如下方程：
(0) 0
T(L)
GI0
d
dx
xL
0
代入可得
C2 0 C 1 a cos aL 0 即 aL 2 j 1
2
固有频率为
nj
(2
j 1)
2L
GI 0 J
振型
j ( x ) C1 sin
(2 j 1)
2L
x
5.1.2 梁的横向振动
5.2 传递矩阵法
5.2.1 轴的纵向振动（集中质量法）
如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分 为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简 化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的 精度。
取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端 状态向量为
质量左端状态为
由牛顿定律
mixi FiRFiL
对于简谐振动
xi 2xi