导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 二、基础知识自测：1.求下列函数的导数：(1)常函数：y=c(c 为常数)(2）幂函数：3y x = ； y=1x ； y = (3)指数函数： 2x y =； x y e = ；(4）对数函数：2log y x =； y lnx = ；(5）正弦函数：y=sinx(6)余弦函数：y=cosx2.求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y ln =； （3）x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.（2011山东文）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（2013江西文）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h －f x0－hh的值为( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．变式训练：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 2.设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．3.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数()()(1)g x f x a x ＝－－ ，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．当堂检测：1.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e课后拓展案A 组1. （2014广东理）曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. （2014全国2理）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4B 组4.（2012新课标）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5．（2011大纲）已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-66.（2013 广东）若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.。
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用（复习） 学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义：___________________________________________________2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x； 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；xx sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 1.若0()2f x '=,求lim kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+-②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． ①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值 1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点 2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数()f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．[（2）函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x n (n ∈Q *) ；f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________f (x )＝e x >f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． {A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．~【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)．；【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．…【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；\【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．"【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．@【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．、(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )二、填空题： —5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．?10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．~(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案 二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2}2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．《参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0.6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴ΔyΔx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1，￥∴ΔyΔx ＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. ?（5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y－⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x－y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.？【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 /区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a－2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h －1≤0h 1≤0，解得a ≥32.【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0f ′0＝－a a ＋2＝－3,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4故函数为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ](2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )~ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． >解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x.函数定义域为(0，＋∞)，列表 x(0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减[极小值单调递增极大值单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ）当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞):3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x ＞0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，、x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.][∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23. 二、填空题：5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点．|参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ⎣⎡⎭⎫3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e 《⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值￥所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e <m <0时，原方程有两解． 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )无极值．x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 …⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。
第五章：一元函数的导数及其应用 重点题型复习(解析版)
第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案姓名： ；小组编号： ；自评： ；小组长评价： ；教师评价：【使用说明与学法指导】1.本导学案为导数复习学案，在做导学案之前需熟记导数的有关公式；2.自主高效完成导学案并总结规律方法；3.注意待定系数法在解题中的应用；4.带★的题C 层同学可选做。
【学习目标】1.熟练掌握导数有关的知识点。
2.掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【重点】 掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【知识点回顾】1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf3.导数的应用：（1）切线斜率与导数的关系：（2）求极值的方法：（3）求最值得方法：【合作、探究、展示】例1、右图为)(x f y =的导函数的图像，则正确的判断是①()x f 在（-3,1）上是增函数。
②1-=x 是()x f 的极小值点。
③()x f 在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数。
④2=x 是()x f 的极小值点。
规律方法总结：例2、设()bx ax x x f 3323+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点（1，-11） 求a,b 的值。
规律方法总结：例3、已知a 为实数，()()()a x x x f --=42(1)求()x f ' (2)若1-=x 是函数()x f 的一个极值点，求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值。
规律方法总结：★例4：已知函数()x x x f ln 22-=，求()x f 的单调区间与极值。
导数及其应用导教学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用（复习）学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义：___________________________________________________ 2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =； 2.1)'(-=n n nx x ；3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭1.若0()2f x '=,求0lim →k kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+- ②2(32)y sin x =+典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈．①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是CA. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5 求函数()f x 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数()f x '(2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x=>且1)x ≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
导数及应用导学案
导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
导数在函数中的应用(一轮复习听课导学案)
导数在函数中的应用一、总体要求【学习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值；2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；3、导数与函数、不等式、方程等知识相融合的问题；二、考点梳理知识点一 函数的导数与单调性的关系函数y ＝)(x f 在某个区间内可导, (1)若)(x f '＞0，则()x f 在这个区间内_____________;(2)若)(x f '＜0，则()x f 在这个区间内_____________;(3)若0)(='x f ，则()x f 在这个区间内_____________;知识点 二 函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．3．函数的最值与导数：(1) 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的连续函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值； ② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .三.考点应用 典例解析考点一 利用导数研究函数的单调性例1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)归纳总结----求单调区间的一般步骤:容易忽视的问题:________________________________________________________ 例2.已知函数()R b a b ax x x f ∈++-=,)(23，若函数()x f 在区间[]2,0上单调递增。
导数及其应用(复习课)
导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____， （２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________． （３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ； （3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ． ３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________． ３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。
导数公式表及应用导学案
导数公式表及应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1【问题探究】探究点一求导函数 问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x 3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12x D ．32 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4] 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化。
【2019年整理】高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》
高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》学科：数学 课题：导数及导数的应用 (一) 编号：1.会用导数求函数的单调区间以及已知单调区间求参数范围2记住极值、极值点的定义并会用导数求函数的极值、最值3.提高规范意识和注重细节意识，从而提高“稳做会，求全对”的得分意识4.不断提高运用数形结合、分类讨论以及转化等思想的能力1记住导数的几何意义，求导公式（8个基本函数求导公式，导数的四则运算，复合函数如何求导）2回顾用导数求函数单调区间以及已知单调区间求参数范围的方法步骤3 回顾极值、极值点的定义及用导数求极值、最值的方法步骤4结合一轮复习回顾导数部分常见题型及解题方法.)x (f .a x x )x ln(a )x (f x .的极值）求函数（的值）求（的一个极值点是函数已知21101362-++== 处取得极小值，则实数在函数 的单调递增区间为函数 ）轴交点的纵坐标是（ 处的切线与在点山东文）曲线==-=-=--+=m x )m x (x )x (f .x ln x y .y ),(P x y .(152215(D) 9(C) 3 (B)9(A)1211120111223 的单调递增区间是函数x x x )x (f .32132323++-=）内单调递减，则，在（若函数204423+-=ax x )x (f . 的取值范围是 a考点一 函数的单调性与导数例1 （2011年天津高考19(2)）【求单调区间】已知函数 R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223 其中t R ∈当0t ≠时，求()f x 的单调区间.变式训练：求f(x)的单调区间.例2 2011年青岛模拟考试（理21（2））【已知单调区间求参数范围】 ),0)(2)((6)(1'≠-+=t t x t x t x f 若[].)x (f 上的单调性，在讨论21),0)(2)((6)(2'>-+=t t x t x t x f 若 已知函数),x ('f )x ln()x (g ,x ax x )x (f -++=++-=31323223问： 是否存在实数 使得 在 上单调递增，若存在求实数 的取值范围；若不存在请说明理由.考点二 函数的极值、最值与导数例3的取值范围？ 个交点，求的图像有与函数若直线的极值求函数的值求的一个极值点是函数已知b )x (f b y )x (f a x x )x ln(a )x (f x 3(3)(2)(1)10132=-++==思考：若方程0101162=--++b x x )x ln(有三个不同实根，该如何求b 的取值范围？a )x (g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21a )x (g )x (f )x (F .m x x )x (g ,x ln a x )x (f -=+-=-=令22（1）当 时，试求实数 的取值范围使得 的图像恒在 轴上方；（2）当 时，若函数 在 上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围；（3）是否存在实数 的值，使函数 和函数 在定义域上具有相同的单调性？若存在求出 的值，若不存在请说明理由 .)(1,0+∞∈=x ,m a )x (F x 2=a )x (F [1,3]m a )x (f )x (g a的（ ）条件是则 ）内单调递增，，在（ 设q p m q mx x x x f p ,5:012ln )(:.12-≥∞++++= (A) 充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要2. （2011年湖南高考）设直线x=t 与函数f(x)= x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于M,N 点，则当MN 达到最小时t 的值为（ ） （A ）1 （B ）21 （C ）25（D ）22 3. 已知4)2(2)(24-++-=x p px x f 在]3,-∞-（上为增函数，在)0,3[-上为减函数，则p=4 已知函数 ，常数 为实数（1）是否存在实数 使得 在区间 上单调递增恒成立，若存在求出 的取值范围，若不存在请说明理由； （2）求函数 的单调递增区间B 组(选)： 5)x (a )x ln(x )x (f 11+-+=a a )x (f [)+∞,1a x ax )x ('f )x (g +-=1121(2)(1)010212-+>=>+-=)a ln()a (g ),a (g )x (f )x (f b a )('f )a (bx ax x ln )x (f 试证明不等式的最大值为设函数的单调区间，并求的代数式表示试用含有且已知函数。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
导数及其应用复习课教案共三课时
导数及其应用复习课教案（共三课时）复习目标：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。
2．熟悉微积分的基本知识结构，记住并理解其联系。
3．会正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
4．能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
5．能熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
复习重点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。
2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
复习难点：1．熟记微积分的的基本概念及微积分基本定理，并能根据事例正确理解。
2．正确地求给定函数的导数，会正确地求给定函数在已知区间上的定积分。
3．熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值。
4．熟练解决定积分在几何和物理方面的应用。
第一课时一．知识结构二．知识点精析（一）求函数的导数1．导数的基本概念、变化率。
2．记住基本初等函数的导数公式3．记住导数的四则运算4．理解复合函数的求导，即[]'(())f x ϕ=''(())()f x x ϕϕ（1）求初等函数的导数注：'()a x =1a ax -（a 为常数） '()x a =ln x a a （a 0,1a >≠常数） '()x e =x e（二）导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导函数。
②求出导数为0的点（驻点）或导数不存在点。
③列表讨论④总结2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a ,b ]上连续函数()f x 一定能取到最大与最小值且最大值与最小值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在点及端点之中。
②应用题的最大与最小值。
设所求的量为y ，设于有关量为x ，建立()y f x =，x D ∈，求()f x 的最大值或最小值。
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-导数及其应用复习 学案
《导数及其应用》复习一、 学业要求直观理解导数的概念，感悟极限思想，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数的导数，能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题。
二、 知识梳理请同学们根据下面的知识框图，自主梳理本章节中导数的基本概念和运算，以及应用导数研究函数性质的内容和方法。
本章的重点和难点是应用导数研究函数的切线、单调性、极值最值、零点等函数性质，单调性的讨论是导数研究函数问题的核心内容。
在复习时也要关注对基本初等函数的图象和性质、导数的概念和运算等基础内容的复习。
主要的数学思想方法有分类讨论、数形结合、函数方程不等式的转化等。
三、 例题导学（一）利用导数研究函数性质例1.已知函数()xf x e ax =-（a 为常数） （1） 当0a =时，求()f x 过原点的切线方程；（2） 讨论()f x 的单调区间和极值；（3） 求()f x 在[0,1]上的最小值；（4） 若()f x 在[0,1]上不单调，求a 的取值范围；（5） 若[0,1]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（6） 判断()f x 的零点个数；（7） 当1a =时，若1212()(),f x f x x x =≠，证明120x x +<；（8） 当0a =时，证明曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.（二）建立模型求解最优化问题例2.在等腰梯形ABCD 中，设上底CD=4，腰AD=4，问AB 多长时，等腰梯形的面积最大？四、 参考练习1.右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点；②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.3.已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.4.已知函数21()e 2x f x ax =-()a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是0，求a 的值； （II ）当3a =，[0,1]x ∈时，求证：()1f x ≤-；（Ⅲ）若()f x 存在单调递增区间，请直接写出a 的取值范围.5.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．。
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第三章导数及其应用（复习）提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.___________________________________________________2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()(y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x ；3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭1.若0()2f x '=,求0lim→k k2002.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+- ②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． ①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数(f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
已知函数1()ln(1),01x f x ax x x -=++≥+，其中0a > （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； .（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.5:图象的交点形如函数)()()(x g x f x h -=图像与x 轴交点个数问题，应先求出)('x h ，再求出极值并画出函 数的图像，从而根据极值的符号判断交点的个数例9.（08-四川卷22）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.①求a ； ②求函数()f x 的单调区间； ③若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
6：切线综合例10.（07-全国Ⅱ-22）已知函数3()f x x x =-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点M (,())t f t 处的切线方程； （Ⅱ）设0a >,如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.7、定积分的应用（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(＝∑=∞→n i n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
（2）定积分的性质①⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ②⎰⎰⎰±=±b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③⎰⎰⎰+=b ac a bc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线,,()x a x b a b ==<，x轴及一条曲线(),()0y f x f x =≥)围成的曲边梯形的面积⎰=ba dx x f S )(。