九年级弧长和扇形面积计算讲义

内容基本要求略咼要求较咼要求弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关的简单问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题*自检自查必考点、弧长公式由于圆周角课看做360的圆弧，而360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C 2T R，所以在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长I的计算公式：I n nR180【注意】1.圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2.公式中的三个未知量I , n , R只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式为：180InT R、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度.常见的多边形滚动问题有：1.正三角形沿水平线翻滚；弧长和扇形面积计算2. 正方形沿水平线翻滚；3. 各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚;4.各内角不相等的多边形沿水平线翻滚.3. 扇形面积的计算公式:2小 n nRS360② S ?IR （ I 为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算.四、弓形面积的计算方法1. 弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.扇形1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2. 扇形的周长：在半径为 R ，圆心角的度数为n 的扇形中，周长的公式为:C 2R I2Rn nRA"2. 弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算•根据弧的情况不同,有以下三种情况:五、圆锥1. 圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形.这条直线叫做圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面. 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. 从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高.连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线.2. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为 I ，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线 I ,扇形的弧长就是圆锥的底面周长2 r ,因此圆锥的侧面积公式为：S nl3.圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积•公式为：S nl n 2【注意】圆锥面积计算公式中的r ,1与扇形面积计算公式中的 R ,1表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆.4.推论：已知扇形的半径为R ，圆心角为n,扇形围① 当弓形所含的弧是劣弧时， 务形S扇形② 当弓形所含的弧是优弧时， 乌形S扇形③ 当弓形所含的弧是半圆时，昂形^S aOS ABCB+SABC成的圆锥的底面半径为r ,则可以三者之间的关系为:n r360 R例题精讲-、弧长的计算1571【例2】如果中标的轴心到分针针端的长为5，那么经过40分钟，钟表的分针针端转过的弧长是过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是_______________ m【例7】（2013年扬州）如图，在扇形OAB 中,线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为 ____________________ 【例6】（2013年宜宾）如图, ABC是正三角形,弧EF的圆心依次是A B、C ,如果AB曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,1，那么曲线CDEF的长是其中弧CD、弧DE、【例1】在半径为3的圆中，150 的圆心角所对的弧长为（1571【例3】一条弧的长度为12 n,所对的圆心角为【例4】（2012年漳州）如图，一枚直径为4cmA . 2 Ticm B. 4 ncm【例5】（2013年玉林）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经AOB 110，半径OA 18，将扇形OAB沿过点B的直O108。

，那么这段弧的半径为C. 8 7cmD. 16 cm实用标准文案、多边形滚动问题【例8】（2013年遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形 ABC 沿直线I 向右翻动（不滑动），点 B 从开始圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平 移50米，半圆的直径为 4米，则圆心O 所经过的路线长是 _________________ 米.Jr* r*j_亠 」i【例10】（2013年贵阳）在矩形 ABCD 中，AB 6, BC 4，有一个半径为1的硬币与边 AB 、AD 相切, 硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边 AB 、BC 、CD 、DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（）A . 1圈B . 2圈C . 3圈［例 11】（2012年呼伦贝尔）如图，在 Rt ABC 中， ABC 90 , BAC 30 , AB . 3，将 ABC 绕顶点C 按照顺时针旋转至 ABC 的位置，且 A 、C 、B 三点在同一条直线上，则点 A 经过的路线的长度是（）到结束，所经过路径的长度为（)cm3 2A . - n B. 2+— n2 3【例9】（2011年兰州）已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示, 直径平行于地面放置，搬动时为了保护A. 4B. 2.3 32n3D . 3 n【例12】（2009年黄冈）已知：矩形ABCD的边AB 8, AD 6，现将矩形ABCD放在直线I上且沿着I向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置AB1GD1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是______________ .【例13】（2010年台州）如图，菱形ABCD中，AB 2, C 60，菱形ABCD在直线I上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60 叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留n）________________【例14】（2013年内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线I不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心0运动的路程为cm.【例15】（2013年六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，0A边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90。

，此时，点0运动到了点。

1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B 运动到了点B1处，又将正方形纸片A01C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90 按上述方法经过4次旋转后，顶点0经过的总路程为______________________________________________ 经过61次旋转后，顶点0经过的总路程为______________ .【例16】如图，边长为2的等边ABP置于边长为4的正方形AXYZ内，使点B在边AX上.将三角形先绕点B作顺时针旋转，然后再绕P作顺时针旋转，如此进行，使三角形沿着正方形的边向前转动，直到P回到原来位置•这时顶点P所行路程长度为_____________________、扇形、弓形面积的计算［例 17】（2013年资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）1 1 1A. - nB. 一冗C. 一冗D. n2 4 8【答案】A［例 18】（2013?襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点2E, B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为-n,则图中阴影部分的面积为（）3【例19】（2013年东营）如图，正方形 ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长 a为半径画弧,形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）71 713、33n22n 39D .工1 —na C.2【例20】（2013年昭通）如图所示是某公园为迎接“中国--南亚博览会” 设置的一休闲区. AOB 90 , 弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD II OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是?【例21】（2012 ?宁夏）如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是？【例22】（2013年遵义）如图，在Rt ABC中，ACB 90 , AC BC 1 , E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为？（结果保留根号）.【例23】（2013年？盐城）如图，在ABC中，BAC 90, AB 5cm, AC 2cm，将ABC绕顶点C按四、圆锥［例 24】（2013年贵港）如图，已知圆锥的母线长为该圆锥的侧面积是（）16,圆锥的高与母线所夹的角为，且sin -，则3【例25】（2013 ?黔西南州）如图，一扇形纸片，圆心角AOB为120 ° ，弦AB的长为2/3cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为【例26】（2013年盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是__________ c m2.（不考虑接缝等因素，计算结果用n表示）.A • 24 2 nB • 24nC. 16n D . 12n顺时针方向旋转45。

至ABQ的位置，则线段AB扫过区域（图中的阴影部分）的面积为?［例 28】（2009年永州）问题探究：（1 ）如图①所示是一个半径为 —，高为4的圆柱体和它的侧面展开图， AB 是圆柱的一条母线，2 n一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程•（探究思路：将圆柱的侧面沿母线 AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形 ABBA ，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB 的长）；（2） 如图②所示是一个底面半径为 -，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图， PA 是它的一条母3线，一只蚂蚁从 A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3） 如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的【例27】（2013年佛山）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线圆锥的侧面积S rl ，其中r 为底面半径，|为母线长）AB 与高AO 的夹角•（参考公式:一点，求蚂蚁爬行的最短路程.【例29】(2008年南通)铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面•他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二.(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算可以吗？(1)请说明方案一不可行的理由;(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由.【例30】如图：有一个半径为R的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面，小芳想这样做：在圆弧上取点C，使AOC 60，用扇形OBC作圆锥的侧面，在扇形OAC内剪一个最大的e M作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由.【例31】己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm , C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离.课后作业绕点C顺时针旋转60。