5湍流的数学模型
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ε =ν
∂u i′ ∂u i′ ∂xk ∂xk
☆湍动粘度
κ2 µt = ρC µ ε
κ −ε
相对应的输运方程
∂κ ∂x j + G k + G b − ρε − YM + S k
µ ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ µ + t + = σk ∂t ∂x i ∂x j
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方 雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方 程模型。 程模型。 ▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程 的形式，则称为代数应力方程模型 代数应力方程模型。 的形式，则称为代数应力方程模型。
湍流模型
◆湍动粘度类模型
这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入湍动 这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入湍动 粘度（ 粘度（Turbulent Viscosity）或涡粘系数（Eddy ） 涡粘系数（ Viscosity），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数，整 ），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数 ），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数， 个计算关键词在于确定这种湍动粘度。 个计算关键词在于确定这种湍动粘度。 ▼湍动粘度的提出来源于Boussinesq提出的涡粘假定，该 提出的涡粘假定， 湍动粘度的提出来源于 提出的涡粘假定 假定建立了雷诺应力与平均速度梯度的关系
湍流两方程模型
▼RNG
κ −ε
模型
○通过在大尺度运动项和修正后的粘度项中体现小尺度的影 而使这些小尺度运动系统地从控制方程中除去。 响，而使这些小尺度运动系统地从控制方程中除去。
湍动粘度类模型
▼一方程模型
零方程模型实质上是一种局部平衡的概念， 零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响 。 局部平衡的概念 为了弥补混合长度假定的局限性， 为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程的基 础上， 从而使方程组封闭。 础上，再建立一个湍动能的输运方程 ，从而使方程组封闭。 湍动能输运方程
○散度和梯度符号来表示
∂ (ρφ ) + div ( ρu jφ ) = div (Γφ gradφ ) + Sφ ∂t
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
模型的控制方程
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
模型的适应性
①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而 模型中的相关系数， 确定的。 确定的。 ②给出的κ − ε 模型是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立 即是针对高Re湍流模型 而当Re较低时 例如， 湍流模型， 较低时（ 的。即是针对高 湍流模型，而当 较低时（例如，近壁区 流动），湍流发展不充分， ），湍流发展不充分 流动），湍流发展不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性 影响大，在近壁面可能再现层流。常用解决壁面流动方法有： 影响大，在近壁面可能再现层流。常用解决壁面流动方法有： 一种是壁面函数法； 一种是采用低Re的 模型。 一种是壁面函数法；另一种是采用低 的 κ − ε 模型。 模型在解决大部分工程问题时， ③标准 κ − ε 模型在解决大部分工程问题时，得到了广泛的 检验和成功应用，但用于强旋流、 检验和成功应用，但用于强旋流、绕弯曲壁面流动或弯曲流线 运动时，会产生一定的失真。 运动时，会产生一定的失真。
湍流现象
◆湍流物理特征 湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成， 湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺 度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定； 度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定； 流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点 流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并， 轨迹不断变化； 轨迹不断变化； 在某些情况下，流场做完全随机的运动， 在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情 况下，流场随机运动和拟序运动并存。 况下，流场随机运动和拟序运动并存。 “随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。 随机” 脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
µt ∂ (ρε ) ∂ (ρεu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂xi ∂x j σε
∂ε ε ε2 ∂x + C1ε κ (G k + C 3ε Gb ) − C 2ε ρ κ + S ε j
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程模型
○标准 κ − ε 两方程模型常数取值
∂u ∂u j − ρ µ i' µ 'j = µ t i + ∂x j ∂xi 2 − ρκ + µ ∂u i 3 ∂xi δ ij
是空间坐标的函数，取决于流动状态， ▼湍动粘度 µt 是空间坐标的函数，取决于流动状态，不是物性 参数 ▼湍动能
雷诺应力模型 雷 诺 应 力 方 程 模 型 代 数 应 力 方 程 模 型 湍动粘度类模型
零 方 程 模 型
一 方 程 模 型
两 方 程 模 型
湍流模型
◆雷诺应力类模型 这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充 方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。 方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
能量方程
φ =T
∂ (ρφ ) ∂ (ρφu j ) ∂ ∂φ Γφ + = − ρ φ ' µ 'j + S φ ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
湍流模型
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭 需求解的未知函数较方程数多）， ），在于方程中出现了湍流脉 （需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉 动值的雷诺应力项。要使方程组封闭， 动值的雷诺应力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某 些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程）， ），通 些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通 过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。 过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。 基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。 基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。 湍流模型 湍流模型
φ = φ +φ
'
1 t + ∆t φ = ∫ φ (t )dt ∆t t
平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值
u i = u i + u i'
湍流的基本方程
◆不可压缩流体湍流时均控制方程
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j ∂ ρ µ i' µ 'j + − ∂x j
(
)
雷诺应力
τ ij = − ρ µ i' µ 'j
湍流的基本方程
◆可压缩流体湍流时均控制方程（去掉-） 可压缩流体湍流时均控制方程（去掉 ）
连续性方程
∂ρ ∂ ( ρu i ) = 0 + ∂t ∂xi
运动方程
∂ (ρu i ) + ∂ (ρu i u j ) = ρf i − ∂p + ∂ ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ − ρ µ i' µ 'j ∂x j
湍流的基本方程
◆牛顿流体不可压缩流体的基本控制方程组
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j
运动方程
把湍流的运动看成是时均运动与随机运动的叠加
κ=
µ i' µ i'
2
=
1 '2 u + v '2 + w '2 2
(
)
湍动粘度类模型
▼零方程模型
零方程模型是指不使用微分方程，而使用代数关系式， 零方程模型是指不使用微分方程，而使用代数关系式，把湍动 粘度与时均值联系起来的模型。 粘度与时均值联系起来的模型。
▽Prandtl混合长度模型 混合长度模型
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程模型
○不可压缩流体流动，且不考虑用户定义的源项时 不可压缩流体流动，
µt ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂x i ∂x j σk
µt ∂ (ρε ) ∂ (ρεu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂x i ∂x j σε
流体仿真与应用
第五讲
湍流的数学模型
湍流现象
湍流现象
◆湍流认识
19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动， 世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动， 世纪 Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous 最初将这种流动现象称之为摇摆流（ 最初将这种流动现象称之为摇摆流 motion），其后 ），其后 将其改名为湍流（ ），这 ），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这 将其改名为湍流 ）， 个名字一直沿用至今。 个名字一直沿用至今。
∂κ ∂x + G k − ρε j
∂ε ε ε2 ∂x + C1ε κ G k − C 2ε ρ κ j
○通用形式
∂ (ρφ ) ∂ (ρu j φ ) ∂ ∂φ Γφ + Sφ + = ∂x ∂t ∂x j ∂x j j
▼二方程模型
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭 两方程模型是指补充 个微分方程使湍流时均控制方程组封闭 的一类处理方法。 的一类处理方法。 两方程模型中标准 κ − ε 模型及各种改进模型在工程中获得了 最广泛的应用 。
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程Biblioteka Baidu型
☆湍动能耗散率（Turbulent Dissipation Rate） 湍动能耗散率（ ）
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
运动方程（ 运动方程（雷诺方程 ）
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j ∂ ρ µ i' µ 'j + − ∂x j
运动方程
(
)
对于其它变量 φ 的输运方程
∂ ρ φ ∂ ρ φu j ∂ + = ∂t ∂x j ∂x j
( ) (
)
∂φ ∂ ρ φ ' µ 'j Γφ + − ∂x ∂x j j
(
) + S
φ
湍流的基本方程
◆不可压缩流体湍流时均控制方程（去掉-） 不可压缩流体湍流时均控制方程（去掉 ）
瞬时项
对流项
扩散项
产生项
耗散项
由Kolmogorov-Prandtl表达式 表达式
µ t = ρC µ κl
C D = 0.08 ~ 0.38
σk =1
C µ = 0.09
湍动粘度类模型
▼一方程模型
一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运， 一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程 模型更为合理。但是， 模型更为合理。但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容 易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。 易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
µ ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ µ + t + = ∂t ∂x i ∂x j σk
∂u ∂u j ∂κ + µt i + ∂x ∂x j j ∂x i ∂u i κ 3/ 2 − ρC D ∂x l j
2 ut = lm
∂u ∂y
∂u ∂u ∂y ∂y
湍流切应力
2 − ρ u ' v ' = ρl m
混合长度理论的优点是简单直观，对于如射流、混合层、 混合长度理论的优点是简单直观，对于如射流、混合层、扰动 和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效， 和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流 动中才比较容易给定 l m 值，对于复杂流动则很难确定l m值，而 且不能用于模拟带有分离回流的流动。因此， 且不能用于模拟带有分离回流的流动。因此，零方程模型在复 杂的实际工程中很少使用。 很少使用 杂的实际工程中很少使用。
∂u i′ ∂u i′ ∂xk ∂xk
☆湍动粘度
κ2 µt = ρC µ ε
κ −ε
相对应的输运方程
∂κ ∂x j + G k + G b − ρε − YM + S k
µ ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ µ + t + = σk ∂t ∂x i ∂x j
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方 雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方 程模型。 程模型。 ▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程 的形式，则称为代数应力方程模型 代数应力方程模型。 的形式，则称为代数应力方程模型。
湍流模型
◆湍动粘度类模型
这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入湍动 这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入湍动 粘度（ 粘度（Turbulent Viscosity）或涡粘系数（Eddy ） 涡粘系数（ Viscosity），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数，整 ），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数 ），然后把湍流应力表示成为湍动粘度的函数， 个计算关键词在于确定这种湍动粘度。 个计算关键词在于确定这种湍动粘度。 ▼湍动粘度的提出来源于Boussinesq提出的涡粘假定，该 提出的涡粘假定， 湍动粘度的提出来源于 提出的涡粘假定 假定建立了雷诺应力与平均速度梯度的关系
湍流两方程模型
▼RNG
κ −ε
模型
○通过在大尺度运动项和修正后的粘度项中体现小尺度的影 而使这些小尺度运动系统地从控制方程中除去。 响，而使这些小尺度运动系统地从控制方程中除去。
湍动粘度类模型
▼一方程模型
零方程模型实质上是一种局部平衡的概念， 零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响 。 局部平衡的概念 为了弥补混合长度假定的局限性， 为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程的基 础上， 从而使方程组封闭。 础上，再建立一个湍动能的输运方程 ，从而使方程组封闭。 湍动能输运方程
○散度和梯度符号来表示
∂ (ρφ ) + div ( ρu jφ ) = div (Γφ gradφ ) + Sφ ∂t
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
模型的控制方程
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
模型的适应性
①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而 模型中的相关系数， 确定的。 确定的。 ②给出的κ − ε 模型是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立 即是针对高Re湍流模型 而当Re较低时 例如， 湍流模型， 较低时（ 的。即是针对高 湍流模型，而当 较低时（例如，近壁区 流动），湍流发展不充分， ），湍流发展不充分 流动），湍流发展不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性 影响大，在近壁面可能再现层流。常用解决壁面流动方法有： 影响大，在近壁面可能再现层流。常用解决壁面流动方法有： 一种是壁面函数法； 一种是采用低Re的 模型。 一种是壁面函数法；另一种是采用低 的 κ − ε 模型。 模型在解决大部分工程问题时， ③标准 κ − ε 模型在解决大部分工程问题时，得到了广泛的 检验和成功应用，但用于强旋流、 检验和成功应用，但用于强旋流、绕弯曲壁面流动或弯曲流线 运动时，会产生一定的失真。 运动时，会产生一定的失真。
湍流现象
◆湍流物理特征 湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成， 湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺 度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定； 度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定； 流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点 流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并， 轨迹不断变化； 轨迹不断变化； 在某些情况下，流场做完全随机的运动， 在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情 况下，流场随机运动和拟序运动并存。 况下，流场随机运动和拟序运动并存。 “随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。 随机” 脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
µt ∂ (ρε ) ∂ (ρεu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂xi ∂x j σε
∂ε ε ε2 ∂x + C1ε κ (G k + C 3ε Gb ) − C 2ε ρ κ + S ε j
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程模型
○标准 κ − ε 两方程模型常数取值
∂u ∂u j − ρ µ i' µ 'j = µ t i + ∂x j ∂xi 2 − ρκ + µ ∂u i 3 ∂xi δ ij
是空间坐标的函数，取决于流动状态， ▼湍动粘度 µt 是空间坐标的函数，取决于流动状态，不是物性 参数 ▼湍动能
雷诺应力模型 雷 诺 应 力 方 程 模 型 代 数 应 力 方 程 模 型 湍动粘度类模型
零 方 程 模 型
一 方 程 模 型
两 方 程 模 型
湍流模型
◆雷诺应力类模型 这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充 方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。 方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
能量方程
φ =T
∂ (ρφ ) ∂ (ρφu j ) ∂ ∂φ Γφ + = − ρ φ ' µ 'j + S φ ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
湍流模型
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭 需求解的未知函数较方程数多）， ），在于方程中出现了湍流脉 （需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉 动值的雷诺应力项。要使方程组封闭， 动值的雷诺应力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某 些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程）， ），通 些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通 过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。 过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。 基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。 基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。 湍流模型 湍流模型
φ = φ +φ
'
1 t + ∆t φ = ∫ φ (t )dt ∆t t
平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值
u i = u i + u i'
湍流的基本方程
◆不可压缩流体湍流时均控制方程
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j ∂ ρ µ i' µ 'j + − ∂x j
(
)
雷诺应力
τ ij = − ρ µ i' µ 'j
湍流的基本方程
◆可压缩流体湍流时均控制方程（去掉-） 可压缩流体湍流时均控制方程（去掉 ）
连续性方程
∂ρ ∂ ( ρu i ) = 0 + ∂t ∂xi
运动方程
∂ (ρu i ) + ∂ (ρu i u j ) = ρf i − ∂p + ∂ ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ − ρ µ i' µ 'j ∂x j
湍流的基本方程
◆牛顿流体不可压缩流体的基本控制方程组
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j
运动方程
把湍流的运动看成是时均运动与随机运动的叠加
κ=
µ i' µ i'
2
=
1 '2 u + v '2 + w '2 2
(
)
湍动粘度类模型
▼零方程模型
零方程模型是指不使用微分方程，而使用代数关系式， 零方程模型是指不使用微分方程，而使用代数关系式，把湍动 粘度与时均值联系起来的模型。 粘度与时均值联系起来的模型。
▽Prandtl混合长度模型 混合长度模型
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程模型
○不可压缩流体流动，且不考虑用户定义的源项时 不可压缩流体流动，
µt ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂x i ∂x j σk
µt ∂ (ρε ) ∂ (ρεu i ) ∂ + = µ + ∂t ∂x i ∂x j σε
流体仿真与应用
第五讲
湍流的数学模型
湍流现象
湍流现象
◆湍流认识
19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动， 世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动， 世纪 Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous 最初将这种流动现象称之为摇摆流（ 最初将这种流动现象称之为摇摆流 motion），其后 ），其后 将其改名为湍流（ ），这 ），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这 将其改名为湍流 ）， 个名字一直沿用至今。 个名字一直沿用至今。
∂κ ∂x + G k − ρε j
∂ε ε ε2 ∂x + C1ε κ G k − C 2ε ρ κ j
○通用形式
∂ (ρφ ) ∂ (ρu j φ ) ∂ ∂φ Γφ + Sφ + = ∂x ∂t ∂x j ∂x j j
▼二方程模型
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭 两方程模型是指补充 个微分方程使湍流时均控制方程组封闭 的一类处理方法。 的一类处理方法。 两方程模型中标准 κ − ε 模型及各种改进模型在工程中获得了 最广泛的应用 。
湍流两方程模型
▼标准
κ −ε
两方程Biblioteka Baidu型
☆湍动能耗散率（Turbulent Dissipation Rate） 湍动能耗散率（ ）
连续性方程
∂ (u i ) =0 ∂xi
运动方程（ 运动方程（雷诺方程 ）
∂ (ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂p ∂ + = ρf i − + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ∂u i µ ∂x j ∂ ρ µ i' µ 'j + − ∂x j
运动方程
(
)
对于其它变量 φ 的输运方程
∂ ρ φ ∂ ρ φu j ∂ + = ∂t ∂x j ∂x j
( ) (
)
∂φ ∂ ρ φ ' µ 'j Γφ + − ∂x ∂x j j
(
) + S
φ
湍流的基本方程
◆不可压缩流体湍流时均控制方程（去掉-） 不可压缩流体湍流时均控制方程（去掉 ）
瞬时项
对流项
扩散项
产生项
耗散项
由Kolmogorov-Prandtl表达式 表达式
µ t = ρC µ κl
C D = 0.08 ~ 0.38
σk =1
C µ = 0.09
湍动粘度类模型
▼一方程模型
一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运， 一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程 模型更为合理。但是， 模型更为合理。但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容 易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。 易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
µ ∂ (ρκ ) ∂ (ρκu i ) ∂ µ + t + = ∂t ∂x i ∂x j σk
∂u ∂u j ∂κ + µt i + ∂x ∂x j j ∂x i ∂u i κ 3/ 2 − ρC D ∂x l j
2 ut = lm
∂u ∂y
∂u ∂u ∂y ∂y
湍流切应力
2 − ρ u ' v ' = ρl m
混合长度理论的优点是简单直观，对于如射流、混合层、 混合长度理论的优点是简单直观，对于如射流、混合层、扰动 和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效， 和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流 动中才比较容易给定 l m 值，对于复杂流动则很难确定l m值，而 且不能用于模拟带有分离回流的流动。因此， 且不能用于模拟带有分离回流的流动。因此，零方程模型在复 杂的实际工程中很少使用。 很少使用 杂的实际工程中很少使用。