四川省成都市成都高新实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

2020~2021学年四川成都高新区成都高新实验中学高二上学期期中文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．直线1y =+的倾斜角是（）A ．3πB ．4πC ．34πD ．23π2．已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形3．在ABC ∆中，“4A π=是“cos 2A =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下面的程序框图，则输出的S =（）A ．14B ．20C ．30D ．555．命题“x ∀∈R ，220x x ++>”的否定是（）A ．0x ∃∈R ，20020x x ++≤B ．0x ∃∈R ，20020x x ++<C ．0x ∃∈R ，20020x x ++>D ．0x ∀∈R ，20020x x ++≤6．过点()2,3P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A ．320x y -=或10x y -+=B ．320x y -=或50x y +-=C ．230x y -=或10x y -+=D ．230x y -=或50x y +-=7．已知圆221:4420C x y x y +---=圆222:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离8．二进制数()21111化为十进制的数是（）A ．13B ．14C ．15D ．169．如图程序运行后，输出S 的值应为（）A ．100B ．110C ．120D ．13010．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）A ．20x y -+=或20x y -=B ．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．250x y ++=或250x y +-=11．在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．12．过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）A ．3-B ．3±C ．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．用辗转相除法或更相减损术求出85与51的最大公约数是_______．14．已知实数x ，y 满足2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______．15．已知多项式函数5432()5101051f x x x x x x =-+-+-，用秦九韶算法计算当2x =时，函数()f x 的值是______．16．对于下列说法：①方程2222220x y ax by a b +++++=表示的图形是圆；②对任意实数k ，直线10kx y k -+-=平分圆22:(1)(1)2C x y -+-=；③若直线(32)(14)80a x a y ++-+=与直线(52)(4)70a x a y -++-=垂直，则实数a 的值为0或1．④已知圆C 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为3-．其中所有正确说法的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ．（1）求BC 边上的高所在直线的方程．（2）求BC 边的垂直平分线的方程．18．已知三条直线1:20l x y -=，2:10l y +=，3:210l x y +-=两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．19．已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB ∆的面积．20．已知命题:p 实数x 满足2320x x -+≤；命题:q 实数x 满足|2|1x ->，若“p q ∨是真命题，“p q ∧”是假命题，求实数x 的取值范围．21．解答下列各题：（1）若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线y x =对称，求圆C 的标准方程．（2）求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为的圆的方程．22．已知点E 与两个定点()1,0A ，()4,0B 的距离的比为12．（1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程．（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程．（3）若与直线1:l y x =-l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．2020~2021学年四川成都高新区成都高新实验中学高二上学期期中文科数学试卷（详解）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．【答案】A【解析】直线1y =+，则tan θ=，3πθ=故选A ．2．【答案】B 【解析】方法一：1|1|1:512AB k --==--213:212BC k -==-121k k ⋅=-AB BC⊥ABC ∆为直角三角形，故选B ．方法二：(4,2)AB =- (1,2)BC = 440AB BC ⋅=-+= AB BC ∴⊥ABC ∴∆为直角三角形，故选B ．3．【答案】C【解析】在ABC ∆中，0A π<<由“4A π=”“⇔”“2cos 2A =”故选：C ．4．【答案】C【解析】当1i =时，1S =；当2i =时5S =；当3i =时，14S =；当4i =时30S =5．【答案】A【解析】全称命题的否定是特称命题．命题:p x ∀∈R ，220x x ++>，∴命题p 的否定是“0x ∃∈R ，20020x x ++≤”故选A ．6．【答案】B【解析】截距相等，截距式方程，考虑坐标原点，1°过原点：y kx =过()2,3P 3322k k =⇒=320x y ∴-=；2°不过原点：1xya a +=，过(2,3)5P a ⇒=50x y +-=7．【答案】C【解析】圆221:4420C x y x y +---=22(2)(2)10x y -+-=1(2,2)C ，1r =圆222:2880C x y x y +++-=22(1)(4)25x y +++=2(1,4)C --，25r =，125r r +=+，215r r -=-12C C ==，55<<+∴两圆相交8．【答案】C【解析】3210(2)111112121212=⨯+⨯+⨯+⨯8421=+++15=．故选C ．9．【答案】C【解析】1i =时，1S =2i =，2S =3i =时，6S =4i =时，6424S =⨯=5i =时，245120S =⨯=6i =时，不满足5i <=，执行PRINT S ”，所以120S =．10．【答案】D【解析】切线与直线210x y ++=平行，不妨设切线为20x y a ++=由题意有d ==解得5a =±，所以切线的方程为250x y +±=，故选D ．11．【答案】B【解析】把圆的方程化为标准方程得：22(1)(3)10x y -+-=，则圆心坐标为()1,3根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，则AC =，MB =ME ==所以2BD BE ===，又AC BD⊥所以四边形ABCD 的面积112102510222S AC BD =⋅=⨯⨯=故选B ．12．【答案】A【解析】由21y x =-得221x y +=()0y ≥，∴曲线21y x =-表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<∴直线l 的方程为：0(2)y k x -=-即20kx y k --=则圆心O 到直线l 的距离222211k kd k k ==++直线l 被半圆所截得的弦长为22222221||221211k k AB r d k k ⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭222121||2121AOB k k S d AB k k ∆-==++()()2222211k k k -=+()22246211k k =-+-++令211tk =+则2462AOB S t t ∆=-+-，当34t =即21314k =+时，AOB S ∆有最大值为12此时，21314k =+33k ∴=±又10k -<< ，33k ∴=-综上所述，直线l 的斜率是33-故答案为：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】17【解析】方法一：辗转相除法：8551134=⨯+；5134117=⨯+；341720=⨯+所以85与51的最大公约数为17．方法二：更相减损术：855134-=；513417-=；341717-=所以85与51的最大公约数为17．14．【答案】4【解析】2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩画出可行域，直线20x y +-=令0x =，2y =，()0,2B 令0y =，2x =，()2,0A 解法：2z z y =+ ，22xzy ∴=-+在图中作出2xy =-将其向上平移可知当经过B 点时截距最大，此时4z =解法二：将可行域三个顶点()0,0，()2,0，()0,2代入2z x y =+可得z 最大值为415．【答案】1【解析】5432()5101051f x x x x x x =-+-+-()4325101051x x x x x =-+-+-()()325101051x x x x x =-+-+-()()()25101051x x x x x =-+-+-((((5)10)10)5)1x x x x x =-+-+-当2x =时，01V =，11253V =⨯-=-，232104V =-⨯+=，342102V =⨯-=-42251V =-⨯+=51211V =⨯-=∴当2x =时，()1f x =．16．【答案】②③④【解析】①2222220x y ax by a b +++++=22()()0x a y b +++=，则x a =-，y b =-，即图形表示(),a b --的点，①不正确；②对任意k ，10kx y k -+-=(1)10k x y --+=，恒过()1,1点而()1,1是22(1)(1)2x y -+-=的圆心，故②正确；③两直线垂直，(32)(52)(14)(4)0a a a a +-+-+=，22154441540a a a a +--=+=211110a a -=()10a a -=0a =或1，③正确；④解1：（坐标法）设圆的方程为221x y +=设()11,A x y ，()11,B x y -，()0,0P x ()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()22222211001101221PA PB x x x x y x x x ⋅=-+-=-+--2210233x x =+-≥．解2：设APB θ∠=，0θπ<<，21||||cos cos tan 2PA PB PA PB θθπ⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2sin 2x θ=，01x <≤故④正确三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【答案】（1）32120x y +-=．（2）32190x y +-=．【解析】（1）BC 边所在的直线的斜率732603k -==-因为BC 边上的高与BC 垂直，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32-又BC 边上的高经过点()4,0A 所以BC 边上的高所在的直线方程为30(4)2y x -=--即32120x y +-=．（2）由（1）得，BC 边所在直线斜率23k =所以BC 边垂直平分线斜率为32-BC 的中点坐标标()3,5所以BC 边垂直平分线方程35(3)2y x -=--即32190x y +-=18．【答案】画图见解析；2219(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【解析】2l 平行于x 轴，1l 与3l 互相垂直，三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆，解方程组2010x y y -=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩所以点A 的坐标是()2,1--，解方程组21010x y y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =⎧⎨=-⎩所以点B 的坐标是()1,1-线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又||33AB ===所求圆的标准方程是2219(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭19．【答案】（1）A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）15【解析】（1）直线:250L x y --=与圆2250Cx y +=的交点，即下列方程组的解2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，解方程组得：55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250L x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOB AOE EOBS S S ∆∆∆=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=20．【答案】(,2](3,)-∞+∞【解析】2:320p x x -+≤ (1)(2)0x x ∴--≤12x ∴≤≤，:|2|1q x -> 21x ∴-<-或21x ->1x ∴<或3x >所以:1p x ⌝<或2x >，:13q x ⌝≤≤因为“p q ∨”是真命题；“p q ∧”是假命题，所以p 真q 假，或p 假q 真，（1）当p 为真且q 为假时，所以121213x x x ≤≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩（2）当p 为假且q 为真时，所以12131 3x x x x x x <>⎧⇒<>⎨<>⎩或或或综上所述，实数x 的取值范围是(,2](3,)-∞+∞ 21．【答案】（1）22(1)1x y +-=．（2）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．【解析】（1）圆心与点()1,0关于直线y x =对称，可得圆心为()0,1，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为22(1)1x y +-=．故答案为：22(1)1x y +-=．（2）圆与x 轴相切，圆心C 在直线30x y -=上，则设圆心(),3O a a ，3r a=圆心到直线的距离d =利用垂径定理：222(3||)a +=解得：1a =±，3r =，故圆的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=22．【答案】（1）224x y +=．（2）2340x y +-=．（3）(2,0)(0,2)- 【解析】（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1||2EA EB =得2222(1)1(4)4x y x y -+=-+整理得：2233120x y +-=曲线C 的方程是224x y +=．（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，故切点连线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=将()2,3G 代入得到2340x y +-=．（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立224x y +=得：222240x bx b -+-=，设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y 由()22(2)840b b ∆=--->，得28b <，12x x b +=．21242b x x -⋅=因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅< ，即12120x x y y +<，且OP 与OQ不是反向共线，又11y x b =-+，22y x b =-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++<12x x b +=，21242b x x -=222121240x x y y b b b +=--+<得24b <，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意，故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠．。