2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷

2014级硕士研究生试卷

科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：

不予计分；可带计算器。

一、 填空题（每空2分，共30分）

1．设14.30=x 是准确值21.30=*

x 的近似值，则近似值x 有 位有效数字，近

似值x 的相对误差为 。

2．函数)(x f 过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为)(),(),(210x l x l x l ，过这三个节点的二次拉格朗日插值多项式为 ，余项为 。 3. 已知0)1(,3)1(,0)2(=-==f f f ，二阶均差]1,1,2[-f = 。 4．方程012

3

=--x x 在5.10

=x 附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式

为 ,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是 。

5．设⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=2021012a a A ，为了使A 可分解成T

LL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，

则a 的取值范围 。

6． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=232221413A ，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=111x ，则∞||||Ax ，1||||A = ，

2||||A = 。 7．设U L D A --=,b Ax =的Gauss-Seidel 迭代的矩阵形式b Ux Lx Dx

k k k ++=++)()1()

1(，

其迭代矩阵为 ，该迭代格式收敛的充要条件__________________。

8．求解一阶常微分方程初值问题⎪⎩

⎪⎨⎧=<<-=1)0(1

0,2'

y x y

x y y ，取步长1.0=h 的Euler 法公式为 ，其截断误差的首项为 。

二、计算题（第4题12分，其余各题10分，共62分）

1. 求次数小于等于3的多项式P (x ), 使其满足条件: 0)0(=P ，1)0('=P ，1)1(=P ，

2)1('=P 。

2. 解线性方程组b Ax =, 其中⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201814,513252321b A ,⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x 。

(a) 作Doolittle 分解LU A =。

(b) 通过求解y Ux b Ly ==,解线性方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=321y y y y 。

3. 写出雅可比迭代法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-1

211

2321

3

21321x x x x x x x x x 的分量迭代格式和矩阵迭代格式，并判断

该迭代格式是否收敛？

4. 设区间为[-1,1], 权函数1)(≡x ρ。 (a) 求由{}2

,,1x x 作施密特正交化得到的多项式)(),(),(2

1

x P x P x P 。

(b) 设

x e x f =)(，函数)()()()(221100x P x P x P x αααϕ++=是)(x f 在区间[-1,1]上的二次最

佳平方逼近，求210,,a αα。 (c) 确定求积公式 )()()(11011

0x f A x f A dx x f +≈⎰

-。

5. 分别用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分⎰+1

024dx x x

，8=n 。

6. 某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：

用最小二乘法求t

b ae y =。

三、证明题（共8分）

1． 设)(x f 在区间],[b a 上二阶导数连续，证明：

|)(|max )(8

1

|)]()()()([)(|max ''2x f a b a x a b a f b f a f x f -≤---+

-，其中b x a ≤≤。