数值计算课后答案3

习 题 三 解 答

1、用高斯消元法解下列方程组。

（1）1231231

22314254

27x x x x x x x x -+=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩①②③

解：⨯4②＋(-)①2，1

2⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：

再由5

2)4

⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：

回代，得：

36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为 注意：

①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。

②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。

要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式： 矩阵形式 向量形式

③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。 ④消元顺序12x x →→

，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元

也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。

（2）1231231231132323110

221x x x x x x x x x --=⎧⎪

-++=⎨⎪++=-⎩

①②③

解：⨯23②＋(

)①11，1

11

⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：

再由25

11)5211

⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：

回代，得：

32122310641

,,193193193

x x x =-

==， 所以方程组的解为

2、将矩阵 作LU 分解。 解：设

根据矩阵乘法，先求U 的第一行，由11j j a u =，得

111213141,0,2,0u u u u ====。

再求L 的第一列，由矩阵乘法，因为1111i i a l u =，所以1

111

i i a l u =，而111u =，所以11i i l a =，所以2131410,2,0l l l ===。 再求U 的第二行，得 21122211l u u ⨯+⨯=，则

22211211001u l u =-⨯=-⨯=，

21132333101l u u u ⨯+⨯+⨯=，则 23211311021u l u =-⨯=-⨯=， 21142434441001l u u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 24211411001u l u =-⨯=-⨯=，

再求L 的第二列，得

3112322210000l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则

41124222430000l u l u l ⨯+⨯+⨯+⨯=，则

再求U 的第三行，得

311332233311l u l u u ⨯+⨯+⨯=-，则

311432243444101l u l u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 再求L 的第三列，得

411342234333101l u l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 再求U 的第四行，得

4114422443344411l u l u l u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 所以，矩阵A 的LU 分解为： 指出：

用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。 3、用LU 分解紧凑格式分解法解方程组。 解一，用一般格式求解： 将系数矩阵作LU 分解得： Ly=b 方程组为 解之得

同样地，解方程组Ux=y 得 1234201253x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭。 解二，用LU 紧凑格式分解法求解： 对增广矩阵三角分解：

原方程组化成同解的上三角方程组为： 回代得

(20,12,5,3)T x =--。 指出：

紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A 的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。

由于紧凑格式计算时不再需要A 的前面的元素，因此可以进行。 4、 用列主元的三角分解法解线性方程组。 解一，列选主元素消元法：

先选第一列主元为213a =，将第一个方程与第二个方程交换，消去1x 得： 再选第二列主元为3273

a =-，交换第二、三两个方程，消去2x 得三角形方程组：

回代求得方程组的解31

2

x =

，21x =，12x = 所以方程组的解为

1

(2,1,)2

T x =。

解二，列主元素三角分解法：

21233247122132471(,)324712212213232023202

320332473247227

14

143203333

31152212133

7A b r r r r ⎛⎫ ⎪

-----⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎪

=-↔---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛

⎫ ⎪ -- ⎪ ⎪ ↔--→-

-- ⎪ ⎪ ⎪ -----

--⎝⎭⎝⎭32472714

14333

3154

23

7⎛

⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪→---⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--

--⎝⎭

同解的三角形方程组为 回代求得方程组的解31

2x =，2

1x =，12x = 所以方程组的解为