05第十三章 机械振动作业答案

一. 选择题:

【 D

】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15所示。则振动系统的频率为 ： (A)

m k 32π1． (B) m

k

2π1

．

(C) m k 32π1． (D) m

k 62π1．

【提示】将一根弹簧一分为三,每节的弹性系数变成3k ，其中2根并联，总的弹性系数为6k ；这时在弹簧下挂质量为m 的物体，其振动频率为答案D

【 C 】2、（基础训练3）一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图13-16所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量2

3

1ml J =

，此摆作微小振动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π. (D) g

l 3π.

【提示】重力矩为sin 22

l l

M mg mg θθ=-≈-，根据转动定律22

d M J dt θ=，可得 2220mgl

d dt J θθ+

=，所以22322123

l l mg mg

g J l ml ω===，22T ππω==

【 C 】3.（基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．

【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3

t π

ω=，所以对应的时间为

()332/6

T

t T ππωπ=

== .

图13-16

图13-15

【 B 】4.（基础训练7）当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为 (A) 4 ν． (B) 2 ν ． (C) ν． (D)

ν2

1

． 【提示】设0cos()x A t ωϕ=+，则0sin()v A t ωωϕ=-+，

动能为2

12

k E mv =

=22

0[1cos 2()]122t m A ωϕω-+= 所以动能的变化角频率为2ω，频率为2ν.

【 B 】5.（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为

(A) π2

3． (B) π．

(C) π2

1． (D) 0．

【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为2

A

,初相位为π.

【 B 】6.（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振

动周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ． (C) 2.20 s ． (D) 2.00 s ．

【提示】使用旋转矢量图示法。初始状态（t=0）：02

A x =

，00v >，旋转矢量位于第四象限，初始相位为

3

π

-；到t =1s 时，第一次回到平衡位置。由图上可见，旋转矢量转过的角度

为

53

2

6π

ππ

＋＝，所以516

t π

ωω=⨯=，周期为2T π

ω

=

=2.4s

二 填空题

1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤T 4

1范围内，系统在t = T/8 时刻动能和势能相等．

【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，t=0时，x 0=A ，在正的最大位移处。然后向着x 轴负向运动。依题意，动能和势能相等，那么它们都等于总能量的一半，即

22111222kx kA ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，解得：此时2x A =，即cos 2t ω=，4t πω=，得：48T t πω==.

·

O

1

A 2

A

A 合

A/ -

2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的 3/4 （设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为g

l

∆π

2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2

A x =±

， 2

221111222424

P A E

E kx k kA ⎛⎫⎛⎫==±== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34k P E E E E =-=，所以3 4k E E =；

当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =∆ ，mg

k l

=

∆

，222T πππω∴===

3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

)2

15cos(10621π+⨯=-t x (SI) ， )5c o s (10222t x -π⨯=- (SI)

它们的合振动的振辐为210() m -，初相为101 108.43 23

tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。由图可见：

2

1

10

010()

21108.43

2623

A m tg tg π

πϕ---===+=+=

或用公式计算：

1020122, , A 0.06m, A 0.02m; ϕπϕπ====

210

1

1022000110220

10()

sin sin (3)108.43

cos cos A m A A tg tg A A ϕϕϕϕπϕϕ--∴==+=∴=+-=+

4、（自测提高8）在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机以加速度1

2

a g =

竖直下降时，摆的振动周期0 ． 【提示】当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为1

2

g a g -=；所以，单

摆的周期变为02T == 5．（自测提高13）一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、