波利亚计数定理及其简单应用
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波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联 想。 联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的 建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？ 你是否见过 相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的 问题？ 你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知 数！ 试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉 的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解 决的问题。你能不能利用它？ 你能利用它的结果吗？ 你 能利用它的方法吗？为了能利用它， 你是否应该引入某
的本质呢？
如
上
所
述，
Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引
理的形式是
１ ｜Ｇ｜
＝（
Ｘ１＋Ｘ２＋…
Ｘｎ） ， 其中｜Ｇ｜为转动群的阶数。而每个Ｘｉ， 则对应某在一 种置换中， 置换前和置换后完全重合的不同方案的个
数。注意两点： 一是“置换前和置换后必须重合”， 二是
“能 够 表 现 出 这 样 特 征 的 不 同 方 案 的 数 目 ”。 用 循 环 转
究和讲授”的书取名为《数学的发现》， 我想大概就是这
个原因。他在这本书的第二卷中， 还专门详细介绍了数
学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（ 顶点数－ 棱数＋
面数＝２） 的全过程， 生动地再现了欧拉如何一步一步地
进行归纳和猜想， 最终得到上述公式的， 也就是把处于
发现过程中的数学， 照原样提供给我们。展示教学家创
关键词： 波利亚计数定理； 简单应用
一、波利亚与《怎样解题》简介 乔治·波利亚（ Ｇｅｏｒｇｅ Ｐｏｌｙａ，１８８７￣１９８５） ， 美籍匈牙 利数学家， １８８７年１２月１３日生于匈牙利布达佩斯； １９８５ 年 ９ 月 ７ 日 卒 于 美 国 加 利 福 尼 亚 州 帕 洛 阿 尔 托 （Ｐａｌｏ Ａｌｔｏ）。青 年 时 期 曾 在 布 达 佩 斯 、维 也 纳 、哥 廷 根 、巴 黎 等 地攻读数学、物理和哲学， 获博士学位。１９１４年在苏黎 世著名的瑞士联邦理工学院任教。１９４０年移居 美国， １９４２年 起 任 美 国 斯 坦 福 大 学 教 授 。他 一 生 发 表 达２００多 篇论文和许多专著， 他在数学的广阔领域内有精深的 造诣， 对实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数论、 几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡 献， 留下了以他的名字命名的术语和定理。由于科学上 所取得的众多成就， 他先后成为法国科学院、美国艺术 与 科 学 研 究 院 、匈 牙 利 科 学 院 、美 国 科 学 院 的 院 士 以 及 布鲁塞尔的国际哲学与科学协会的会员， 他还是伦敦 数 学 协 会 、瑞 士 数 学 学 会 、纽 约 科 学 院 等 的 名 誉 成 员 。 学习过数学的同学差不多都有过这样的经历： 一 道题， 自己总也想不出解法， 而老师却给出了一个绝妙 的解法， 这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个 解法的？ ”如果这个解法不是很难时， “我自己完全可以 想出， 但为什么我没有想到呢？ ” 波利亚对回答上述问题非常感兴趣， 他先后写出 了 《怎 样 解 题 》、《数 学 的 发 现 》和 《数 学 与 猜 想 》。这 些 书 被译成很多国家的文字出版， 成了世界范围内的数学 教育名著， 对数学教育产生了深刻的影响。正因为如
设Ｇ是Ｎ＝｛１， ２， …ｎ｝上的置换群， Ｇ＝｛ａ１， ａ２， …ａｎ｝， 其 中ａ１＝ｅ， 若把ａｋ分解成不相交的循环的乘积， ｋ＝１， ２， …， ｇ。记ｃ１（ ａｋ） 为置换中ａｋ中１阶循环的个数， 即在ａｋ作用下 保持不变的元素的个数， Ｇ在Ｎ上可引出不同的 等 价
类ຫໍສະໝຸດ Baidu 其不同的等价类的个数为：
动群来表示， 即对于每一个置换都可以得到类似于
（ Ｎ） （ ＮＮ） （ ＮＮＮＮ） （ ＮＮ） 的置换群， Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引理的Ｘｉ要 的是其中有多少个括号， 其内部只包含一个Ｎ， 这里的
Ｎ表示一种着色方案， 而不是方案数， 请仔细区分方案
和方案数。例如对于一个田字格进行黑白二着色， 对于
全黑和全白的着色方案， 不管是不动、转９０度、１８０度还
些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用
不同的方式重新叙述它？ ……”。
波利亚说他在写这些东西时， 脑子里重现了他过
去在研究数学时解决问题的过程， 实际上是他解决研
究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数
学教育， 特别是研究解题教学时的优势所在， 绝非“纸
上谈兵”。仔细想一想， 我们在解题时， 为了找到解法，
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
波利亚计数定理及其简单应用
崔军 （ 新疆广播电视大学， 新疆 乌鲁木齐 ８３０００１）
摘 要： 本文对波利亚计数定理进行了简要介绍， 同时给出了简单应用以及解题的基本思路， 对深入理解波 利亚计数定理原理并掌握其应用是有帮助的。
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
也只有在１８０度的旋转中会被计数。 但 是Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引 理 的 通 用 做 法 是 遍 历 所 有 的 方 案 ，
寻找那些置换前后重合的方案， 并对其计数， 这样效率 不高， 对一个正１２面体进行３着色， 不考虑重复的话， 方 案数达到了３的１２次方， 这是不可能一一遍历的。实际 上我们只关心有多少个这样的方案， 既不想遍历， 也不 想知道符合条件的方案是什么样的， 我们只想计数， 这 就是Ｐｏｌｙａ定理出现的原因。它是针对 “对称多面体” （ 包括正多面体和足球之类的凸多面体） 的着色问题来 计 算 Ｂｕｒｎｓｉｄｅ 引 理 中 的 每 个 Ｘｉ 是 多 少 的 。 其 形 式 是 ＣＭＹ， 其中Ｃ是当前旋转有多少个， 如果要转正负９０ 度， 并且这样的轴有４个的话， 那么Ｃ就是８； Ｍ是着色 数。Ｙ是循环群的段数。如果对一个正方体二着色， 面 心－ 面心旋转１８０度的循环群是（ １） ２（ ２） ２的话， 那么ＭＹ 就是２４。
是２７０度都和不转之前重合， 于是在每一个旋转里都会
被计数。而对于那种左上和右下是黑， 右上和左下是白
的着色方案， 只有在１８０度的时候才与不转之前重合，
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 崔 军： 波利亚计数定理及其简单应用
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
Ｇ＝｛ｅ， （ １２） ， （ ３４） ， （ １２） （ ３４） ｝ ａ１＝ｅ＝（ １） （ ２） （ ３） （ ４） ， ｃ１（ ａ１） ＝４， 即１、２、３、４都不变； ａ２＝（ １２） ＝（ １２） （ ３） （ ４） ， ｃ１（ ａ２） ＝２， 即３和４不变； ａ３＝（ ３４） ＝（ １） （ ２） （ ３４） ， ｃ１（ ａ３） ＝２， 即１和２不变； ａ４＝（ １２） （ ３４） ， ｃ１（ ａ４） ＝０， 即都变， 没有不变的。 ２． 波利亚（ Ｐｏｌｙａ） 计数定理
设Ｇ&是ｎ个对象上的置换群， 用ｍ种颜色涂染这ｎ个
对象， 则不同染色方案数为：
! " ｌ＝ １ ｜Ｇ｜
ｍ ＋ｍ ＋ ＋ｍ ｃ（ ａ’１）
… ｃ（ ａ’２）
ｃ（ ａ’ｇ）
。
其中Ｇ&＝｛ａ’ １， ａ’ ２， …， ａ’ ｇ｝， ｃ（ ａ’ ｋ） 为置换ａ’ ｋ的循环节数。
ｎ个 对 象 可 以 用１， ２， … ， ｎ编 序 号 ， 所 以Ｇ&可 以 当 作 （ １，
收稿日期： ２００７—０４—１６ 作者简介： 崔军（ １９６８—） ， 男， 汉族， 新疆库尔勒市人， 新疆广播电视大学教务处副处长， 讲师。
·４５·
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
新发现的思维活动过程， 自然而生动地显示归纳和猜
想在数学发现中的重要作用， 这在教科书和一般的数
学著作中是极少见到的， 而这对于学习数学却是非常
重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明， 而且要学习
猜想， 也就是不仅要培养和提高解题能力， 而且要学习
和培养创新能力。
二、波利亚计数定理
１． 伯恩塞德（ Ｂｕｒｎｓｉｄｅ） 引理
对正多面体着色一大特点是着色没有方向性， 因 此旋转前一个面是红色， 而旋转之后这个面还是红色， 就说这个面在置换前后重合。但如果面上是肖像就不 一样了， 就算旋转前后一个面都是肖像， 还得考虑这个 肖像在旋转前后方向是不是一致， 只有一致才能说是 重合。
４． 一般的解题思路 因此， 对于这一类型的题， 有如下的步骤： 第一步： 搞清楚要算的多面体有哪些可以旋转的 方案。 第二步： 对于某一种旋转的方案， 是否可能存在旋 转前后重合的现象。如果没有就不用继续了， 这一旋转 对应的Ｘｉ值是０。还原到置换群的表示法， 就意味着没 有一 个 表 示 循 环 的 括 号 里 仅 仅 有 一 个 元 素 ， 如 （ ＮＮ） （ ＮＮＮ） （ ＮＮＮＮ） 。例如对于有方向的火柴， 如果进行棱 心－ 棱心１８０度旋转， 就绝对不可能有重合的情况。一个 火柴头转到尾部无论如何也不会重合。同理对于非对 称的肖像进行面心－ 面心的旋转， 也是不可能重合的， 这时方案数一律为０。 第三步： 如果可能存在重合的方案， 就去设想那种 方案并用排列组合把那个数算出来。例如： 针对足球六 边形面心－ 面心旋转１２０度或者２４０度。如果有３０根红火 柴， ３０根绿火柴， ３０根兰火柴的话， 必然首先要把火柴 合理的分配才有可能旋转后重合。对于这种旋转， 棱是 ３个３个一组进行交替的。因此９０个棱可以分３０组， 而这
２， …， ｎ） 的一个置换群。证明略。
３． 简单应用
例 ： 有３０根 红 火 柴 ， ３０根 绿 火 柴 ， ３０根 兰 火 柴 （ 火
柴是有方向性的， 一头是易燃物质， 一头不是） 搭一
个足球， 询问有多少种搭法。直接把这种题套用
Ｐｏｌｙａ定 理 是 比 较 别 扭 的 。那 么 怎 么 才 能 理 解 这 类 题
实际上也思考过表中的某些问题， 只不过不自觉， 没有
意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解
法， 这样， 在解题的过程中， 也使自己的思维受到良好
的训练。久而久之， 不仅提高了解题能力， 而且养成了
有益的思维习惯， 而这是比任何具体的数学知识重要
得多的东西。
波利亚的《怎样解题》被译成１６种文字， 仅平装本
就销售１００万册以上。著名数学家瓦尔登１９５２年２月２日
在瑞士苏黎世大学的会议致词中说： “每个大 学生， 每
个学者， 特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的
书”。我想， 波利亚关于怎样解题的思想对于学生同样
也是非常需要的和有益的。
波利亚强调发现， 不仅仅是指发现解法， 而且也包
括 数 学 的 创 新 发 现 。 他 把 阐 述 自 己 “对 解 题 的 理 解 、研
此， 当波利亚９３岁高龄时， 还被国际数学教育大会聘为 名誉主席。
波利亚致力于解题的研究， 为了回答“一个好的解 法是如何想出来的”这个令人困惑的问题， 他专门研究 了解题的思维过程， 并把研究 所得写成《怎样解题》一 书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一 张 《怎 样 解 题 》表 。 在 这 张 包 括 “弄 清 问 题 ”、“拟 定 计 划 ”、“实 现 计 划 ”和 “回 顾 ”四 大 步 骤 的 解 题 全 过 程 的 解 题表中， 对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入 胜 的 。他 指 出 寻 找 解 法 实 际 上 就 是 “找 出 已 知 数 与 未 知 数之间的联系， 如果找不出直接联系， 你可能不得不 考 虑 辅 助 问 题 。最 终 得 出 一 个 求 解 计 划 。”他 把 寻 找 并 发 现 解 法 的 思 维 过 程 分 解 为 五 条 建 议 和 ２３个 具 有 启 发性的问题， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过 程的 “慢动作镜头”， 使我们对 解题的思维过程看得 见， 摸得着。
ｌ＝
１ ｜Ｇ｜
! ｃ１（ ａ１） ＋ｃ１（ ａ２） ＋…＋ｃ１（ ａｇ）
" 。
·４６·
# $ １２３４
证明略。约定： 置换（ １２３４） 表示
， 也就是１→
２３４１
# $ １２３４
２， ２→３， ３→４， ４→１； 置换 （ ２３） 表 示
， 也就是１→
１３２４
１， ２→３， ３→２， ４→４， （ ２３） ＝（ １） （ ２３） （ ４） ＝（ ２３） （ １） （ ４） ， 其 中１和４不出现， 表示１和４保持不变。举例如下：
的本质呢？
如
上
所
述，
Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引
理的形式是
１ ｜Ｇ｜
＝（
Ｘ１＋Ｘ２＋…
Ｘｎ） ， 其中｜Ｇ｜为转动群的阶数。而每个Ｘｉ， 则对应某在一 种置换中， 置换前和置换后完全重合的不同方案的个
数。注意两点： 一是“置换前和置换后必须重合”， 二是
“能 够 表 现 出 这 样 特 征 的 不 同 方 案 的 数 目 ”。 用 循 环 转
究和讲授”的书取名为《数学的发现》， 我想大概就是这
个原因。他在这本书的第二卷中， 还专门详细介绍了数
学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（ 顶点数－ 棱数＋
面数＝２） 的全过程， 生动地再现了欧拉如何一步一步地
进行归纳和猜想， 最终得到上述公式的， 也就是把处于
发现过程中的数学， 照原样提供给我们。展示教学家创
关键词： 波利亚计数定理； 简单应用
一、波利亚与《怎样解题》简介 乔治·波利亚（ Ｇｅｏｒｇｅ Ｐｏｌｙａ，１８８７￣１９８５） ， 美籍匈牙 利数学家， １８８７年１２月１３日生于匈牙利布达佩斯； １９８５ 年 ９ 月 ７ 日 卒 于 美 国 加 利 福 尼 亚 州 帕 洛 阿 尔 托 （Ｐａｌｏ Ａｌｔｏ）。青 年 时 期 曾 在 布 达 佩 斯 、维 也 纳 、哥 廷 根 、巴 黎 等 地攻读数学、物理和哲学， 获博士学位。１９１４年在苏黎 世著名的瑞士联邦理工学院任教。１９４０年移居 美国， １９４２年 起 任 美 国 斯 坦 福 大 学 教 授 。他 一 生 发 表 达２００多 篇论文和许多专著， 他在数学的广阔领域内有精深的 造诣， 对实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数论、 几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡 献， 留下了以他的名字命名的术语和定理。由于科学上 所取得的众多成就， 他先后成为法国科学院、美国艺术 与 科 学 研 究 院 、匈 牙 利 科 学 院 、美 国 科 学 院 的 院 士 以 及 布鲁塞尔的国际哲学与科学协会的会员， 他还是伦敦 数 学 协 会 、瑞 士 数 学 学 会 、纽 约 科 学 院 等 的 名 誉 成 员 。 学习过数学的同学差不多都有过这样的经历： 一 道题， 自己总也想不出解法， 而老师却给出了一个绝妙 的解法， 这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个 解法的？ ”如果这个解法不是很难时， “我自己完全可以 想出， 但为什么我没有想到呢？ ” 波利亚对回答上述问题非常感兴趣， 他先后写出 了 《怎 样 解 题 》、《数 学 的 发 现 》和 《数 学 与 猜 想 》。这 些 书 被译成很多国家的文字出版， 成了世界范围内的数学 教育名著， 对数学教育产生了深刻的影响。正因为如
设Ｇ是Ｎ＝｛１， ２， …ｎ｝上的置换群， Ｇ＝｛ａ１， ａ２， …ａｎ｝， 其 中ａ１＝ｅ， 若把ａｋ分解成不相交的循环的乘积， ｋ＝１， ２， …， ｇ。记ｃ１（ ａｋ） 为置换中ａｋ中１阶循环的个数， 即在ａｋ作用下 保持不变的元素的个数， Ｇ在Ｎ上可引出不同的 等 价
类ຫໍສະໝຸດ Baidu 其不同的等价类的个数为：
动群来表示， 即对于每一个置换都可以得到类似于
（ Ｎ） （ ＮＮ） （ ＮＮＮＮ） （ ＮＮ） 的置换群， Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引理的Ｘｉ要 的是其中有多少个括号， 其内部只包含一个Ｎ， 这里的
Ｎ表示一种着色方案， 而不是方案数， 请仔细区分方案
和方案数。例如对于一个田字格进行黑白二着色， 对于
全黑和全白的着色方案， 不管是不动、转９０度、１８０度还
些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用
不同的方式重新叙述它？ ……”。
波利亚说他在写这些东西时， 脑子里重现了他过
去在研究数学时解决问题的过程， 实际上是他解决研
究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数
学教育， 特别是研究解题教学时的优势所在， 绝非“纸
上谈兵”。仔细想一想， 我们在解题时， 为了找到解法，
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
波利亚计数定理及其简单应用
崔军 （ 新疆广播电视大学， 新疆 乌鲁木齐 ８３０００１）
摘 要： 本文对波利亚计数定理进行了简要介绍， 同时给出了简单应用以及解题的基本思路， 对深入理解波 利亚计数定理原理并掌握其应用是有帮助的。
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
也只有在１８０度的旋转中会被计数。 但 是Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引 理 的 通 用 做 法 是 遍 历 所 有 的 方 案 ，
寻找那些置换前后重合的方案， 并对其计数， 这样效率 不高， 对一个正１２面体进行３着色， 不考虑重复的话， 方 案数达到了３的１２次方， 这是不可能一一遍历的。实际 上我们只关心有多少个这样的方案， 既不想遍历， 也不 想知道符合条件的方案是什么样的， 我们只想计数， 这 就是Ｐｏｌｙａ定理出现的原因。它是针对 “对称多面体” （ 包括正多面体和足球之类的凸多面体） 的着色问题来 计 算 Ｂｕｒｎｓｉｄｅ 引 理 中 的 每 个 Ｘｉ 是 多 少 的 。 其 形 式 是 ＣＭＹ， 其中Ｃ是当前旋转有多少个， 如果要转正负９０ 度， 并且这样的轴有４个的话， 那么Ｃ就是８； Ｍ是着色 数。Ｙ是循环群的段数。如果对一个正方体二着色， 面 心－ 面心旋转１８０度的循环群是（ １） ２（ ２） ２的话， 那么ＭＹ 就是２４。
是２７０度都和不转之前重合， 于是在每一个旋转里都会
被计数。而对于那种左上和右下是黑， 右上和左下是白
的着色方案， 只有在１８０度的时候才与不转之前重合，
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 崔 军： 波利亚计数定理及其简单应用
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
Ｇ＝｛ｅ， （ １２） ， （ ３４） ， （ １２） （ ３４） ｝ ａ１＝ｅ＝（ １） （ ２） （ ３） （ ４） ， ｃ１（ ａ１） ＝４， 即１、２、３、４都不变； ａ２＝（ １２） ＝（ １２） （ ３） （ ４） ， ｃ１（ ａ２） ＝２， 即３和４不变； ａ３＝（ ３４） ＝（ １） （ ２） （ ３４） ， ｃ１（ ａ３） ＝２， 即１和２不变； ａ４＝（ １２） （ ３４） ， ｃ１（ ａ４） ＝０， 即都变， 没有不变的。 ２． 波利亚（ Ｐｏｌｙａ） 计数定理
设Ｇ&是ｎ个对象上的置换群， 用ｍ种颜色涂染这ｎ个
对象， 则不同染色方案数为：
! " ｌ＝ １ ｜Ｇ｜
ｍ ＋ｍ ＋ ＋ｍ ｃ（ ａ’１）
… ｃ（ ａ’２）
ｃ（ ａ’ｇ）
。
其中Ｇ&＝｛ａ’ １， ａ’ ２， …， ａ’ ｇ｝， ｃ（ ａ’ ｋ） 为置换ａ’ ｋ的循环节数。
ｎ个 对 象 可 以 用１， ２， … ， ｎ编 序 号 ， 所 以Ｇ&可 以 当 作 （ １，
收稿日期： ２００７—０４—１６ 作者简介： 崔军（ １９６８—） ， 男， 汉族， 新疆库尔勒市人， 新疆广播电视大学教务处副处长， 讲师。
·４５·
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
新发现的思维活动过程， 自然而生动地显示归纳和猜
想在数学发现中的重要作用， 这在教科书和一般的数
学著作中是极少见到的， 而这对于学习数学却是非常
重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明， 而且要学习
猜想， 也就是不仅要培养和提高解题能力， 而且要学习
和培养创新能力。
二、波利亚计数定理
１． 伯恩塞德（ Ｂｕｒｎｓｉｄｅ） 引理
对正多面体着色一大特点是着色没有方向性， 因 此旋转前一个面是红色， 而旋转之后这个面还是红色， 就说这个面在置换前后重合。但如果面上是肖像就不 一样了， 就算旋转前后一个面都是肖像， 还得考虑这个 肖像在旋转前后方向是不是一致， 只有一致才能说是 重合。
４． 一般的解题思路 因此， 对于这一类型的题， 有如下的步骤： 第一步： 搞清楚要算的多面体有哪些可以旋转的 方案。 第二步： 对于某一种旋转的方案， 是否可能存在旋 转前后重合的现象。如果没有就不用继续了， 这一旋转 对应的Ｘｉ值是０。还原到置换群的表示法， 就意味着没 有一 个 表 示 循 环 的 括 号 里 仅 仅 有 一 个 元 素 ， 如 （ ＮＮ） （ ＮＮＮ） （ ＮＮＮＮ） 。例如对于有方向的火柴， 如果进行棱 心－ 棱心１８０度旋转， 就绝对不可能有重合的情况。一个 火柴头转到尾部无论如何也不会重合。同理对于非对 称的肖像进行面心－ 面心的旋转， 也是不可能重合的， 这时方案数一律为０。 第三步： 如果可能存在重合的方案， 就去设想那种 方案并用排列组合把那个数算出来。例如： 针对足球六 边形面心－ 面心旋转１２０度或者２４０度。如果有３０根红火 柴， ３０根绿火柴， ３０根兰火柴的话， 必然首先要把火柴 合理的分配才有可能旋转后重合。对于这种旋转， 棱是 ３个３个一组进行交替的。因此９０个棱可以分３０组， 而这
２， …， ｎ） 的一个置换群。证明略。
３． 简单应用
例 ： 有３０根 红 火 柴 ， ３０根 绿 火 柴 ， ３０根 兰 火 柴 （ 火
柴是有方向性的， 一头是易燃物质， 一头不是） 搭一
个足球， 询问有多少种搭法。直接把这种题套用
Ｐｏｌｙａ定 理 是 比 较 别 扭 的 。那 么 怎 么 才 能 理 解 这 类 题
实际上也思考过表中的某些问题， 只不过不自觉， 没有
意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解
法， 这样， 在解题的过程中， 也使自己的思维受到良好
的训练。久而久之， 不仅提高了解题能力， 而且养成了
有益的思维习惯， 而这是比任何具体的数学知识重要
得多的东西。
波利亚的《怎样解题》被译成１６种文字， 仅平装本
就销售１００万册以上。著名数学家瓦尔登１９５２年２月２日
在瑞士苏黎世大学的会议致词中说： “每个大 学生， 每
个学者， 特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的
书”。我想， 波利亚关于怎样解题的思想对于学生同样
也是非常需要的和有益的。
波利亚强调发现， 不仅仅是指发现解法， 而且也包
括 数 学 的 创 新 发 现 。 他 把 阐 述 自 己 “对 解 题 的 理 解 、研
此， 当波利亚９３岁高龄时， 还被国际数学教育大会聘为 名誉主席。
波利亚致力于解题的研究， 为了回答“一个好的解 法是如何想出来的”这个令人困惑的问题， 他专门研究 了解题的思维过程， 并把研究 所得写成《怎样解题》一 书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一 张 《怎 样 解 题 》表 。 在 这 张 包 括 “弄 清 问 题 ”、“拟 定 计 划 ”、“实 现 计 划 ”和 “回 顾 ”四 大 步 骤 的 解 题 全 过 程 的 解 题表中， 对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入 胜 的 。他 指 出 寻 找 解 法 实 际 上 就 是 “找 出 已 知 数 与 未 知 数之间的联系， 如果找不出直接联系， 你可能不得不 考 虑 辅 助 问 题 。最 终 得 出 一 个 求 解 计 划 。”他 把 寻 找 并 发 现 解 法 的 思 维 过 程 分 解 为 五 条 建 议 和 ２３个 具 有 启 发性的问题， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过 程的 “慢动作镜头”， 使我们对 解题的思维过程看得 见， 摸得着。
ｌ＝
１ ｜Ｇ｜
! ｃ１（ ａ１） ＋ｃ１（ ａ２） ＋…＋ｃ１（ ａｇ）
" 。
·４６·
# $ １２３４
证明略。约定： 置换（ １２３４） 表示
， 也就是１→
２３４１
# $ １２３４
２， ２→３， ３→４， ４→１； 置换 （ ２３） 表 示
， 也就是１→
１３２４
１， ２→３， ３→２， ４→４， （ ２３） ＝（ １） （ ２３） （ ４） ＝（ ２３） （ １） （ ４） ， 其 中１和４不出现， 表示１和４保持不变。举例如下：