2017年山东科技大学考研真题712数学分析硕士研究生专业课考试试题

1、
e3x ex
1dx 1
，
2、 ln x 2dx ； x
n1
3、
1
ln[x]dxБайду номын сангаас，这里[x] 表
示不超过 x 最大整数。
四、证明不等式（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
1、证明不等式：当 0 x 1， e2x 1 x ； 1 x
C
其中 C
是抛物线 y2

2x
上由
O(0,0)
到
A(
,1)
的一段弧。
2
十一、计算曲面积分（12 分）计算第二型曲面积分
I [ f (x, y, z) x]dydz [2 f (x, y, z) y]dzdx [ f (x, y, z) 2z]dxdy
其中， 为平面 x y z 1 在第四卦限部分，方向取上侧。
2、证明：若 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，则
ln 1
b f (x)dx 1
b
ln f (x)dx 。
ba a
ba a
五、定积分应用（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
求由曲线 y x(1 x) 与 x 轴围成的区域 （1）绕 x 轴旋转一周所得旋
二、计算下列各题（共 15 分，每题 5 分）
1、已知 y arctan x 2 ，求 dy ； 2、已知 y x4 ，求 y(n) (n 4) ；
a
1 x
2、已知
x y
et et
cos t sin t
，求
d2y dx 2
。
三、计算下列积分（共 15 分，每题 5 分）
山东科技大学2017年招生硕士学位研究生入学考试试卷
一、求极限（共 15 分，每题 5 分）
1、求
lim
x0
x

1 x

；
x
(arctan
t
)
2
dt
2、求 lim 0
；
x
1 x2
3、求 lnim
11 n2 n3
1 n2

2 n3

1 n2

n n3
。
七、 讨论题 (本题 12 分)

讨论函数
f
(x,
y)


x3 y3 , x2 y2 0 x2 y2
在 (0,0) 点
0,
x2 y2 0
（1）连续性；（2）偏导数存在性；（3）可微性。
八、极值问题（12 分） 求函数 ln x ln y 3ln z 在条件
x2 y2 z2 5r 2 (x 0, y 0, z 0) 上的极大值，以此结果 证明不等式： abc3 27 a b c 5 , 其中 a, b, c 为任意正常数。
转体的体积； （2）绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
六、级数和函数列问题（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
1、

求无穷级数 (1)n
n1
n2 2n
的和。
2、设 f (x) 在[0,1] 上连续， f (1) 0 ，证明：
(1) {xn} 在[0,1] 上不一致收敛；(2) { f (x)xn}在[0,1] 上一致收敛。
5
九、重积分问题（12 分）设 F (t)
f ( x2 y2 z2 )dxdydz
x2 y2 z2 t 2
其中 f (u) 为连续可导函数且 f (0) 0, f '(0) 1 ，求 lim F (t) 。

t t0 4
十、计算曲线积分（12 分）
计算曲线积分 (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 )dy ,