微波技术第1章 传输线理论1-电报方程
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微波技术第1章4
P(dB ) =10lg P(mW) m
如果功率用W作为单位 如果功率用 作为单位
P(dB) =10lg P(W)
第1章 均匀传输线理论
2. 回波损耗和插入（反射）损耗 回波损耗和插入（反射）
传输线的损耗可分为回波损耗和插入（反射）损耗。 传输线的损耗可分为回波损耗和插入（反射）损耗。 回波损耗 回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比, 即 (1- 4-10)
ηmax=e-2αl
(1- 4- 9)
传输效率取决于传输线的长度、损耗和终端匹配情况。 传输效率取决于传输线的长度、损耗和终端匹配情况。
第1章 均匀传输线理论 分贝： 分贝： 表示两种功率之比的一种单位,它等于功率比的常用对 表示两种功率之比的一种单位 它等于功率比的常用对 数的10倍 缩写为dB 数的 倍——缩写为 缩写为 如果功率用mW作为单位 作为单位 如果功率用
第1章 均匀传输线理论 因此有
Pin = Pr + 3Pout + Pi
输入功分器的功率分可分为反射功率，输出功率和损耗功率三部分。 输入功分器的功率分可分为反射功率，输出功率和损耗功率三部分。 反射功率 三部分
(1- 4-1)
Z0
第1章 均匀传输线理论 假设Z0为实数, Γl=|Γ1|e 一点z处的传输功率为
jφl，由电路理论可知，传输线上任
A 2az 1 2 −4az 1 ∗ P(Z) = R U(z)I (z)] = e[ e [1− Γ e ] t 1 2 2Z0 (1- 4- 2) = P (z) −P (z) in τ
P L (z) =10lg in dB r P r
1
由式（ 由式（1-4-2） ）
Lr ( z ) = 10 lg
微波(第一章第一节)(12-13-2)
微波技术与天线
u( z , t ) Re[U ( z ) e jt ]
A1 e z cos(t z 1 ) A2 ez cos(t z 2 )
ui ( z, t ) ur ( z, t )
表明传输线上任意位置的电压都是入射波和反射波的 叠加。
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微波技术与天线
U1 I1 Z0 z U1 I1 Z0 z I (z) e e 2 Z0 2 Z0 U1 shz I1 ch z Z0
（2）已知终端条件的解 U（l）=U2，I（l）=I2，得 U 2 I 2 Z 0 l U 2 I 2 Z 0 l A2 e A1 e , 2 2 U 2 I 2 Z0 ( l z ) U 2 I 2 Z0 ( l z ) U (z) e e 2 2 U 2 I 2 Z0 ( l z ) U 2 I 2 Z0 ( l z ) I (z) e e 2 Z0 2 Z0
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微波技术与天线
1.1 长线理论
1.1.1 分布参数电路的模型
1、TEM波传输线的结构特点 结构上的最大特点是：都是双导体结构。 几种常见的TEM波传输线单位长度的等效电感和 等效电容： 表示单位长度 2D , C1 。 （1）双导线： L1 ln d ln(2 D d ) D和d分别是两导线间的距离和导线的直径。 2 D 。 ln , C1 （2）同轴线：L1 ln(D d ) 2 d D和d分别是外导体和内导体的直径。
Ui ( z) Ur ( z)
U ( z) U2 ch z I2 Z0 shz
U2 I ( z ) shz I 2 ch z Z0
微波技术基础 传输线理论1
i u Ri L z t i Gu C u z t
(2-2)
当典型Δz→0时，有
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
2010.9.1
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt i( z , t ) Re I ( z )e jt
2010.9.1
(1-4)
一、低频传输线和微波传输线
r
r0 r0
图1-2 直线电流均匀分布
图1-3 微波集肤效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将r0 R ，使损耗与直 流保持相同，易算出 1 R 3.03 m 2R0 也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波传输线，而 应称之为微波传输“柱”比较合适，其粗度超过人民大会堂的主 柱。2米高的实心微波传输铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，
同时考虑Ohm定律
V 1 Edl l R0 I Er02 r02 58 10 7 (2 10 3 )2 (1-1) . 137 10 3 / m .
代入铜材料
58 107 .
2010.9.1
一、低频传输线和微波传输线
2. 微波传输线 当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应 (Skin Effect)。导体的电流、电荷和场都集中在导体表面. ［例2］研究 f=10GHz=1010Hz、l=3cm、r0=2mm导线的线耗R. 这种情况下， J 0 e a ( r0 r ) J 其中, J 0 是r r0 的表面电流密度， 是衰线常数。对于良导 体，由电磁场理论可知
(2-4)
(2-2)
当典型Δz→0时，有
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
2010.9.1
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt i( z , t ) Re I ( z )e jt
2010.9.1
(1-4)
一、低频传输线和微波传输线
r
r0 r0
图1-2 直线电流均匀分布
图1-3 微波集肤效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将r0 R ，使损耗与直 流保持相同，易算出 1 R 3.03 m 2R0 也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波传输线，而 应称之为微波传输“柱”比较合适，其粗度超过人民大会堂的主 柱。2米高的实心微波传输铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，
同时考虑Ohm定律
V 1 Edl l R0 I Er02 r02 58 10 7 (2 10 3 )2 (1-1) . 137 10 3 / m .
代入铜材料
58 107 .
2010.9.1
一、低频传输线和微波传输线
2. 微波传输线 当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应 (Skin Effect)。导体的电流、电荷和场都集中在导体表面. ［例2］研究 f=10GHz=1010Hz、l=3cm、r0=2mm导线的线耗R. 这种情况下， J 0 e a ( r0 r ) J 其中, J 0 是r r0 的表面电流密度， 是衰线常数。对于良导 体，由电磁场理论可知
(2-4)
微波技术第1章
微波技术与天线（microwave technique and antennas)
第1章 传输线理论(Transmission Line Theory)
图1-4
dz段传输线的等效电路
微波技术与天线（microwave technique and antennas)
第1章 传输线理论(Transmission Line Theory)
微波技术与天线（microwave technique and antennas)
第1章 传输线理论(Transmission Line Theory)
TEM波传输线
TE和TM波传输线 介质传输线
图 1- 1 各种微波传输线
微波技术与天线（microwave technique and antennas)
微波技术与天线（microwave technique and antennas)
第1章 传输线理论(Transmission Line Theory)
§1.1 引言
1、传输线的种类
微波传输线(Transmission (TX) Line) 是用以传输微波信息和 能量的各种形式的传输系统的总称 , 它的作用是引导电磁波沿一 定方向传输,因此又称为导波系统 ,其所导引的电磁波被称为导行 波。一般将截面尺寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变 的导波系统称为规则导波系统 , 又称为均匀传输线。把导行波传 播的方向称为纵向 , 垂直于导波传播的方向称为横向。无纵向电 磁场分量的电磁波称为横电磁波，即 TEM 波。另外 , 传输线本身 的不连续性可以构成各种形式的微波无源元器件 , 这些元器件和 均匀传输线、有源元器件及天线一起构成微波系统。
（3 ）
根据克希霍夫定理，并忽略高阶小量后，有
微波技术第1章 传输线理论1-电报方程
电报方程
电报方程可变为独立二阶齐次线性常微分方程形式
d
2V ( Z dz 2
)
2V
(
z
)
0
d
2I( Z dz 2
)
2I(
z
)
0
式中 j ( R jL )(G jC ) ZY
Байду номын сангаас
称：复数传播系数，是频率的函数。
电报方程的行波解
V ( z ) V0 e z V0 e z
I( z
)
I
0
(z) e j Le j 2z L e jL 2z
r i L 2z
可见： 均匀无损传输线上移动参考平面时，其反射系数 的大小不变，幅角与移动的距离成正比。
负载反射系数
➢反映传输线的负载匹配程度 ➢不匹配负载是反射波的源
负载处（z=0处）的电压反射系数称负载反射系数：
0
V0 V0
相速
vP
f
电报方程解的讨论
1、一般情况：（有耗）
U ( z) U (0)e z U _ (0)ez
I ( z) U (0) e z U (0) ez
Zc
Zc
YZ j R0 jL0 G0 jC0
1 2
R02 2L20 (G02 2C02 ) 2L0C0 R0G0
lnb / 2
a
lnb / a 2
由结果可见，特性阻抗与传输线的几何形状和填充 的介质有关，不同传输线结构，Z0的数值不同。
同轴线上（+Z方向）的功率流
由坡印亭矢量有
1 2
ds 1
s
2
2 0
b a
V0
2r 2
0
微波技术第1章-传输线理论1
S
电磁波传播问题概述
• 时域一般波动方程
r r r 2 r ∂E ∂ E 1 ∂J 2 ∇ E − µε − µε 2 = ∇ρ + µ ∂t ∂t ε ∂t r r 2 r r ∂H ∂ H 2 ∇ H − µε − µε 2 = −∇ × J ∂t ∂t
(9)
一阶时间偏导数代表损耗，二阶代表波动。 一阶时间偏导数代表损耗，二阶代表波动。
(5)
r r r r D = εE , B = µH
短路面（理想导体边界）
r r n×E = 0 S r r r n×H =α S r r n•D =σ S r r n•B =0
S
→
Et
S
= 0,
Hn S = 0 Ht
S
En S ≠ 0,
≠0
(6)
切向电场为零， 切向电场为零，切向磁场不为零的界 电壁）均可视为等效短路面 等效短路面。 面（电壁）均可视为等效短路面。
第1章 微波传输线
§1.1 引言
*传输系统：把微波能量从一处传到另一处的装置。 传输系统：把微波能量从一处传到另一处的装置。
传输系统也叫导波结构或导波系统。 传输系统也叫导波结构或导波系统。 微波中常用传输系统： 微波中常用传输系统： 传输线：由两根或两根以上平行导体构成。 *传输线：由两根或两根以上平行导体构成。 通常工作在其主模（ 通常工作在其主模（TEM波或准TEM波） 。 故又称为TEM波传输线。（含平行双线、同轴线和微带线等） 波传输线。 含平行双线、同轴线和微带线等） 波导管：由单根封闭柱形导体空腔构成。 *波导管：由单根封闭柱形导体空腔构成。 电磁波在管内传播，简称波导。 电磁波在管内传播，简称波导。 表面波波导：由单根介质或敷介质层导体构成。 *表面波波导：由单根介质或敷介质层导体构成。 电磁波沿其表面传播。 电磁波沿其表面传播。
电磁波传播问题概述
• 时域一般波动方程
r r r 2 r ∂E ∂ E 1 ∂J 2 ∇ E − µε − µε 2 = ∇ρ + µ ∂t ∂t ε ∂t r r 2 r r ∂H ∂ H 2 ∇ H − µε − µε 2 = −∇ × J ∂t ∂t
(9)
一阶时间偏导数代表损耗，二阶代表波动。 一阶时间偏导数代表损耗，二阶代表波动。
(5)
r r r r D = εE , B = µH
短路面（理想导体边界）
r r n×E = 0 S r r r n×H =α S r r n•D =σ S r r n•B =0
S
→
Et
S
= 0,
Hn S = 0 Ht
S
En S ≠ 0,
≠0
(6)
切向电场为零， 切向电场为零，切向磁场不为零的界 电壁）均可视为等效短路面 等效短路面。 面（电壁）均可视为等效短路面。
第1章 微波传输线
§1.1 引言
*传输系统：把微波能量从一处传到另一处的装置。 传输系统：把微波能量从一处传到另一处的装置。
传输系统也叫导波结构或导波系统。 传输系统也叫导波结构或导波系统。 微波中常用传输系统： 微波中常用传输系统： 传输线：由两根或两根以上平行导体构成。 *传输线：由两根或两根以上平行导体构成。 通常工作在其主模（ 通常工作在其主模（TEM波或准TEM波） 。 故又称为TEM波传输线。（含平行双线、同轴线和微带线等） 波传输线。 含平行双线、同轴线和微带线等） 波导管：由单根封闭柱形导体空腔构成。 *波导管：由单根封闭柱形导体空腔构成。 电磁波在管内传播，简称波导。 电磁波在管内传播，简称波导。 表面波波导：由单根介质或敷介质层导体构成。 *表面波波导：由单根介质或敷介质层导体构成。 电磁波沿其表面传播。 电磁波沿其表面传播。
微波第一章
[ 1 [A e = Z
]
cos (ω t + β z ) − A2 e −α z cos (ω t − β z )
]
1 shx = (ex − e−x ) 已知终端电压 Ul 和终端电流 I1 2 边界条件： z=0 ，U(0)=Ul、I(0)=Il，代入通解表达式得 chx = 1 (ex + e−x ) 2 1
dU(z) = ZI (z) dz dI (z) = YU(z) dz
表明：传输线上电压的变化是由串联阻抗 的降压作用造成的，而电流的变化是由并 联导纳的分流作用造成的。
式中Z、Y分别表示传输线单位长串联阻抗和单位长并联导纳，但Z≠Y。
四、 均匀传输线方程的解
将第(1)式两边对 z 微分并将第(2)式代入, dU(z) … dz = ZI (z)… (1) 得 d 2U ( z ) − ZYU ( z ) = 0 dI (z) 2 dz = YU(z)… (2) … dz d 2 I ( z) 同理可得 − ZYI ( z ) = 0 2 dz 令 γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC) , 则得二阶齐次微分方程(波动方程）
−γ U(z) = 0 2 dz 2 d I (z) 2 −γ I (z) = 0 dz2 d 2U(z)
2
通解为
U ( z ) = U + ( z ) + U − (z ) = A1e +γz + A2e −γz I (z ) = I + (z ) + I − (z ) = 1 A1e +γz − A2e −γz Z0
λ0 = = λ= f β εr
01微波技术第1章传输线理论
传 输 线 理 论
二、分布参数的概念及传输线的 等效电路
• 电路理论的前提是集中参数，其条件为： •
ι＜＜λ ι：电器尺寸，λ：工作波长 传输线中工作波长和传输长度可比拟，沿 线的电压、电流不仅是时间的函数，还是 空间位置的函数，从而形成分布参数的概 念。
传 输 线 理 论
传输线上处处存在分布电阻、分布电 感，线间处处存在分布电容和漏电导。分 布参数为：R（Ω/m）、L（H/m） C（F/m）、 G（S/m） 如果分布参数沿线均匀，则为均匀传 输线，否则，为非均匀传输线。 传输线的等效电路如图1.1.1所示
EXP：双根传输线
传 输 线 理 论
Zc取决于传输线的几何尺寸和周围媒介， 与传输线的位置和工作频率无关。
传 输 线 理 论
⑶ 相速和波长 相速：某一等相面推进的速度 令α=0（无耗），由ωt-βz=常数,得
传 输 线 理 论
§1-3 反射系数、输入阻抗与 驻波系数
传输线上的电压、电流既然具有波
传 输 线 理 论
第一章 传输线理论
§1-1 传输线的种类及分布 参数的概念
传 输 线 理 论
• 定义：广义上讲，凡是能够导引电磁波
•
沿一定方向传输的导体、介质或由他们 共同组成的导波系统，都可以称为传输 线。 传输线是微波技术中最重要的基本元件 之一，原因有两点： ⑴ 完成把电磁波的能量从一处传到另一 处。 ⑵ 可构成各种用途的微波元件。 Exp：耦合器、匹配器、电容、电感等
传 输 线 理 论
1.3.2式的意义在于： ⑴ 无耗传输线上各点反射系数的大小相等， 均等于终端反射系数的大小。 ⑵ 只要求出|Γ|，若已知λ或β则可求出任意 点的反射系数Γz 随着ZL的性质不同，传输线上将会有 如下不同的工作状：
《微波技术》习题解(一、传输线理论)
机械工业出版社
《微 波 技 术》（第2版）董金明林萍实邓晖编著
习 题 解
一、传输线理论
1-1一无耗同轴电缆长10m，内外导体间的电容为600pF。若电缆的一端短路,另一端接有一脉冲发生器及示波器，测得一个脉冲信号来回一次需0.1s，求该电缆的特性阻抗Z0。
[解]脉冲信号的传播速度为
该电缆的特性阻抗为
电压波腹处输入阻抗为 ，是纯阻。
(2)当2z2=(2n+1)(n=0,1,2,…)，即在 处为电压波节点、电流波腹点，即
电压波节处输入阻抗为 也是纯阻。
1-8如题图1-8所示系统。证明当Zg=Z0时，不管负载如何、传输线有多长,恒有 的关系存在 为入射波电压复振幅)。
证明：
设 分别为始端的入射波电压、电流，则
[解] z轴的原点选在波源端,指向负载。
L0=27961063.67106= 1.84104/m，R0= 10.4/Km <<L0
C0=27961068.351012= 0.042 S/m，G0= 0. 8S /km <<C0
故而j,=
ZL=Z0匹配，沿线只有入射波；2=0，(z)=0，Zin(z) =Z0。
[解法1] (假如Zg=RgZ0,用此法较好)
设波源与负载的距离为l，建立坐标系如题1-9解法1图所示。始端的输入阻抗Zin(l)为
则 ,
由始端条件解(2-4c)得
[解法2](当Zg=Rg=Z0,用此法较好)设线长为l，建立坐标系如图所示。
因为Zg=Z0,故有
,
得传输线上电压、电流
1-10试证明无损线的负载阻抗
(25+j10)Z1=j20。求:(1).两段传输线中的
1、2及始端处的Zin。
《微 波 技 术》（第2版）董金明林萍实邓晖编著
习 题 解
一、传输线理论
1-1一无耗同轴电缆长10m，内外导体间的电容为600pF。若电缆的一端短路,另一端接有一脉冲发生器及示波器，测得一个脉冲信号来回一次需0.1s，求该电缆的特性阻抗Z0。
[解]脉冲信号的传播速度为
该电缆的特性阻抗为
电压波腹处输入阻抗为 ，是纯阻。
(2)当2z2=(2n+1)(n=0,1,2,…)，即在 处为电压波节点、电流波腹点，即
电压波节处输入阻抗为 也是纯阻。
1-8如题图1-8所示系统。证明当Zg=Z0时，不管负载如何、传输线有多长,恒有 的关系存在 为入射波电压复振幅)。
证明：
设 分别为始端的入射波电压、电流，则
[解] z轴的原点选在波源端,指向负载。
L0=27961063.67106= 1.84104/m，R0= 10.4/Km <<L0
C0=27961068.351012= 0.042 S/m，G0= 0. 8S /km <<C0
故而j,=
ZL=Z0匹配，沿线只有入射波；2=0，(z)=0，Zin(z) =Z0。
[解法1] (假如Zg=RgZ0,用此法较好)
设波源与负载的距离为l，建立坐标系如题1-9解法1图所示。始端的输入阻抗Zin(l)为
则 ,
由始端条件解(2-4c)得
[解法2](当Zg=Rg=Z0,用此法较好)设线长为l，建立坐标系如图所示。
因为Zg=Z0,故有
,
得传输线上电压、电流
1-10试证明无损线的负载阻抗
(25+j10)Z1=j20。求:(1).两段传输线中的
1、2及始端处的Zin。
北邮微波技术基础-传输线理论(1)
分布参数效应 传输线本身的：串联电阻/电感，并联 导纳/电容 需要考虑 所有这些参数是“分布”的，不是集 中于某一点
（1）电导率有限 & “趋肤效应”——“串联的分布电阻” （2）导线中电流产生高频磁场—— “串联的分布电感” （3）导体间电压产生高频电场—— “并联的分布电容” （4）导体间非理想介质“漏电流” ——“并联的分布电导”
北京邮电大学——《微波技术基础》
23
2
d 2U ( z ) dI ( z ) = −( R + jω L) = 0 2 dz dz
传输线上的波传播 电压与电流的行波解
U ( z) U e = I ( z) I e =
U ( z, t ) = Re[U ( z )e jωt ]
+ −γ z 0
+U e
∂ u ( z , t ) dU ( z ) jωt e = ∂z dz ∂ i ( z , t ) = dI ( z ) e jωt dz ∂z
∂ u ( z, t ) jωt ( ) j ω t U z e = ⋅ ∂t t) ∂ i ( z ,= jωt ⋅ I ( z )e jωt ∂t
d U ( z) 2 − γ U ( z) 2 dz 代入 2 dI ( z ) d I ( z) 2 = −(G + jωC )U ( z ) − γ = I ( z ) 0 2 dz dz
γ= α + j β = ( R + jω L)(G + jωC ) ——复传播常数 = = G 0 R 0, R C G L α = 0 α= + = α c + α d 无耗 2 L 2 C β = ω LC β = ω LC
（1）电导率有限 & “趋肤效应”——“串联的分布电阻” （2）导线中电流产生高频磁场—— “串联的分布电感” （3）导体间电压产生高频电场—— “并联的分布电容” （4）导体间非理想介质“漏电流” ——“并联的分布电导”
北京邮电大学——《微波技术基础》
23
2
d 2U ( z ) dI ( z ) = −( R + jω L) = 0 2 dz dz
传输线上的波传播 电压与电流的行波解
U ( z) U e = I ( z) I e =
U ( z, t ) = Re[U ( z )e jωt ]
+ −γ z 0
+U e
∂ u ( z , t ) dU ( z ) jωt e = ∂z dz ∂ i ( z , t ) = dI ( z ) e jωt dz ∂z
∂ u ( z, t ) jωt ( ) j ω t U z e = ⋅ ∂t t) ∂ i ( z ,= jωt ⋅ I ( z )e jωt ∂t
d U ( z) 2 − γ U ( z) 2 dz 代入 2 dI ( z ) d I ( z) 2 = −(G + jωC )U ( z ) − γ = I ( z ) 0 2 dz dz
γ= α + j β = ( R + jω L)(G + jωC ) ——复传播常数 = = G 0 R 0, R C G L α = 0 α= + = α c + α d 无耗 2 L 2 C β = ω LC β = ω LC
微波技术基础 第一章 传输线的基本理论
[8] 微波在线： [9] 美国MIT教学资源网：/OcwWeb/Electrical-Engineering-andComputer-Science/6-013Electromagnetics-andApplicationsFall2002/CourseHome/index.htm [10] Microwave Journal: [11] European Microwave Week: [12] Computer Simulation Technology: [13] European Microwave Association： /en/ [14] IEEE Microwave Theory and Techniques Society： /index.html
课程有关说明
“微波技术基础”课程是一门内容广泛，跨度较 大，理论抽象，难于理解和掌握。 理论讲授44学时,实验10学时. 成绩考核采取多种形式，既包括期末考试成绩 ，又包括平时作业、实验，期末考试采取闭卷 形式，对学生做到统一试卷、统一评分标准， 公正合理。平时作业占总成绩的15%,实验占总 成绩的15%，期末考试占总成绩的70%。
r 1 303 . m 2R0
使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只是起到引导的作用，而 实际上传输的是周围空间(Space)(但是，没有Guide Line又不行)。
J
D
H S E
传 输 空 间
d
J
高频电阻
close all; % close all opened graphs figure; % open new graph sigma_Cu=64.516e6; % define material conductivity mu=4*pi*1e-7; % permeability of free space % define constants for this example R=500; % resistance in Ohms C=5e-12; % capacitance in Farads l=0.025; % length of leads in meters a=2.032e-4; % radius of the leads in meters (AWG 26) % define frequency range f_min=1e6; % lower frequency limit f_max=1000e9; % upper frequency limit N=300; % number of points in the graph f=f_min*((f_max/f_min).^((0:N)/N)); % compute frequency points on log scale L=2*l/(4*pi*a)*sqrt(mu./(pi*sigma_Cu*f)); % determine inductance Z=1./(j*2*pi*f*C+1/R)+j*2*pi*f.*L; % determine impedance loglog(f,abs(Z)); title('Impedance of a 500 {\Omega} thin-film resistor as a function of frequency'); xlabel('Frequency {\itf}, Hz'); ylabel('Impedance |Z|, {\Omega}');
微波技术 1章传输线方程及其解
V ( z)＝VL ch z Z c I L sh z VL I ( z )＝I L ch z sh z Zc
（1.45）
传输线方程及其解
传输线方程解举例
(2)、已知传输线始端电压V0,始端电流I0。
设始端距负载l,将z=l时V(l)＝V0,I（l）＝I0代入(1.39)式，得 1 I0 ( A1e l A2e l ) V ( z) A ez A e z V0 Ae l A2e l 1 1 2 Zc 1 I ( z) ( A1e z A2 e z ) 对上两式联立求解得 Zc 1 1 l l A1 (V0 I 0 Z c )e A2 (V0 I 0 Z c )e 2 2 将A1，A2代回（1.39）式中，有
where LC
()
velocity_ of _ propagatio phase_ velocity: n vp
1 1 LC
(m / s )
传输线方程及其解
长线及分布参数概念
两个非常重要的概念，即“长线”和“分布参数电路”。 一、长线 引入“电长度”概念,电长度定义传输线的长度与其上所传输的电 l l l 波波长之比 。若 ≥1，称之为“长线”。若 1，称之为“短线”
i(z) u(z) z L z i(z+ z) u(z+ z) z+ z R z
C
z
G
z
传输线方程及其解
一般传输线方程的解
对于传输线Z处的小线元△Z设其两端的电压电流分别为v(z,t) i(z,t) v(z＋△z,t) i(z＋△z,t)，根据克希霍夫定律利用 Kirchhoff 定律，有
i( z, t ) v( z z, t ) v( z, t ) v( z, t ) R1z i ( z, t ) L1z t v( z, t ) i( z z, t ) i( z, t ) i( z, t ) G1z v( z , t ) C1z t
微波技术与天线——第1章
（1-7a） 根据双曲函数的表达式，上式整理后可得 （1-7c）
第一章、传输线理论 （2）已知传输线始条件 这时将坐标原点z=0选在始端较为适宜。将始端条件 U(0)=U1，I(O)=I1 ，代入式(1—4)，同样可得沿线的 电压电流表达式为
（1-6b）
第一章、传输线理论 4、传输线的特性参量 传输线的特性参量主要包括：传播常数、特性阻抗、 相速和相波长 （1）、传播常数
反映波经过单位长度传输线后幅度和相位的变化 的物理量。
传播常数γ 一般为复数，可表示为 其中实部α称为衰减常数，表示行波每经过单位长度 后振幅的衰减，单位为分贝/米(dB/m)或奈培/米
第一章、传输线理论 (NP/m)；虚部β称为相移常数，表示行波每经过单位长 度后相位滞后的弧度数,单位为弧度/米(rad/m)。 对于低耗传输线，一般满足 R0 L0 , G0 C0 ， 所以有
第一章、传输线理论 由此可得
衰减常数是由传输线的导体电阻损耗αc和填充介质的漏 电损耗αd两部分组成。对于无耗传输线RO=0，G0=0
实际应用中，在微波频段内，总能满 足 R0 L0 , G0 C0 因此可把微波传输线当作无耗传输线来看待。
第一章、传输线理论 （2）特性阻抗 特性阻抗定义：传输线上入射波电压Ui(z)与入射波电流 Ii(z)之比。或反射波电压Ur(z)与反射波电流Ir(z)之比 的负值，即
图1-2
图1-3
第一章、传输线理论
电阻器
第一章、传输线理论 电容器
第一章、传输线理论 电感器
图1-9
图1-10
图1-11
第一章、传输线理论 在微波频率下传输线的分布参数效应
体现为分布参数电感，电容，电导和电阻
微波传输线的特点
微波技术与天线第一章传输线理论
辐射功率：单位时间内从体积中经过它的表面流出而不 返回的电磁能。
P
S
E H n ds S n ds
s
附录：均匀平面电磁波
等相位面：在固定时刻，由相位相等的点所构成的面称为 等相位面或波前面或波阵面。
均匀平面电磁波的特性
定义：在平面波的波阵面上，电场和磁场都均匀分布
2 Il cos 1 k jkr j 3 j 2 e 4 r r 1 1 1 H r E H sin r rH j jr
2 1 Il sin k k jkr 3 j 2 e j 4 r r r
1.为横电磁波
EH 0
2.电场和磁场的比值只与媒质特性有关，因此可定义波阻 抗为：
J 2 在公式 k 中, j 2 赫芝矢量的非齐次波动 方程 J 2 k 2 j jkr 1 Je 求得， v r dV r为观察点到波源的距离 j 4 在J 0的区域，有 2 k E E H j
第一部分 天 线
第一章 天线的基础 ax ay az x y z
称为矢量微分算子，也叫汉密顿算符。
汉密顿算符的运算: F (a x ay a z ) (a x Fx a y Fy a z Fz ) x y z
2. 电流元的辐射场
将表达式中正比于1/r3 和1/r2的项略去， 即可得到电流元的辐射场：
Ilk 2 E j sin e jkr 4r E E 0 r
传输线基本公式
传输线基本公式1、电报方程对于一段均匀传输线，在有关书上可查到，等效电路如下图所示。
Z i V1V2Z2等效电路根据线的微分参数可列出经典的电报方程，解出的结果为：V1=21(V2+I2Z0)eγχ+21(V2－I2Z0)e-γχI1=Z21(V2+I2Z0)eγχ-Z21(V2－I2Z0) e-γχ式中，x是传输线上距离的坐标，它由负载端起算，即负载端的x为0。
γ为传输线的传输系统，γ=α+jβ，α为衰减常数，β为相移常数。
无耗时γ=jβ。
一般情况下常用无耗线来进行分析，这样公式简单一些，也明确一些，或者说理想化一些。
而这样做实际上是可行的，真要计算衰减时，再把衰减常数加上。
Z0为传输线的特性阻抗。
Z i为源的输出阻抗（或源内阻），通常假定亦为Z0；若不是Z0，其数值仅影响线上电压的幅度大小，并不影响其分布曲线形状。
上述两式中，前一项x 越大值越大，相位也越领先，即为入射波。
后一项x 越大值越小，相位也越落后，即为反射波。
由于一般只对线上的电压、电流的空间分布感兴趣，因此上式中没有写时间因子e j ωt (下同)。
2、无耗线上的电压电流分布上面式（1.1）和式（1.2）中，下标2为负载端，下标1为源端，而x 可为任意值，那么V 1、I 1可以泛指线上任意一点的电压与电流，因此下面将V 1、I 1的下标1字省掉。
V=21(V 2+I 2Z 0)e j βχ +21(V 2－I 2Z 0) e -j βχ =21(V 2+I 2Z 0)e j βχ｛1+Γe -j (2βχ－ψ)｝ I=21｛ (V 2+I 2Z 0)/ Z 0｝e j βχ｛1－Γe -j (2βχ－ψ)｝ 式中，发射系数Γ＝Γ∠ψ＝022022Z I V Z I V +-＝0202Z Z Z Z +- Γ≤1，要想反射为零，只要Z 2 =Z 0即成。
上式中，首项不是x 的函数，而e jβχ为相位因子，不影响幅度。
只是末项影响幅度分布。
微波技术基础——传输线理论
例如， 0.5m 长的同轴电缆传输频率为 3GHz 的电磁波信号， 其长度为其工作频率波长的 5 倍， 也就是其电长度为 5，可以称之为“长线” ；相反，600km 输送市电 50Hz 的电力传输线，其电长度 为 0.1，因此只能称之为“短线” 。
1.2 传输线波动方程及其解
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆(海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电 报信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波 长时，我们必须计及其5 × 103 。从直流到 1010 Hz ，损耗要增加 1500 倍。损耗是传 R0 2Δ
输线的重要指标，如果要将 r0 → r ，使损耗与直流 R0 保持相同，易算出
r=
1 = 3.03m 2πσΔR0
也即直径是 d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波传输线，而应称之为微波传输"柱"比较合适，其 直径超过人民大会堂的主柱。2 米高的实心微波传输铜柱约 514 吨重(铜比重是 8.9T/m3)，按我国 古典名著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙王水晶宫的定海神针，重 10 万 8 千斤， 即 54 吨。而这里的微波柱是 514 吨，相当于 9 根金箍棒!
U (0) = A1 + A2 = Eg − I 0 Z g ⎧U l = A1e − j β l + A2 e j β l ⎪ Z 0 I (0) = A1 − A2 = I 0 Z 0 ⎨ I = 1 ( Ae− j β l − A e jβ l ) 先考虑源条件，因 ，则有 2 ⎪l Z 1 A − A2 0 ⎩ A1 + A2 = Eg − 1 Zg Z0
对于终端边界条件场合，通常习惯采用终端出发的坐标系，计及 Euler 公式
微波技术1章传输线方程及其解
从麦克斯韦方程组出发，考虑电 磁波在传输线中的传播特性，通 过求解波动方程得到传输线方程 。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
微波技术与天线考试重点复习归纳
微波技术与天线考试重点复习归纳第⼀章1.均匀传输线（规则导波系统）：截⾯尺⼨、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统。
2.均匀传输线⽅程，也称电报⽅程。
3.⽆⾊散波：对均匀⽆耗传输线, 由于β与ω成线性关系, 所以导⾏波的相速v p 与频率⽆关, 称为⽆⾊散波。
⾊散特性：当传输线有损耗时, β不再与ω成线性关系, 使相速v p 与频率ω有关,这就称为⾊散特性。
11010010110cos()sin()tan()()tan()cos()sin()in U z jI Z z Z jZ z Z z Z U Z jZ z I z jz Z ββββββ++==++02p rv fλπλβε===任意相距λ/2处的阻抗相同, 称为λ/2重复性z1 终端负载221021101()j z j zj zj zZ Z A ez eeZ Z A eββββ----Γ===Γ+ 1101110j Z Z eZ Z φ-Γ==Γ+ 终端反射系数均匀⽆耗传输线上, 任意点反射系数Γ(z)⼤⼩均相等,沿线只有相位按周期变化, 其周期为λ/2, 即反射系数也具有λ/2重复性4.00()()()in in Z z Z z Z z Z -Γ=+ 0()1()()()1()in U z Z Z Z Z I z Z +Γ==-Γ111ρρ-Γ=+ 1111/1/1Γ-Γ+=-+=+-+-U U U U ρ电压驻波⽐其倒数称为⾏波系数, ⽤K 表⽰5.⾏波状态就是⽆反射的传输状态, 此时反射系数Γl =0, 负载阻抗等于传输线的特性阻抗, 即Z l =Z 0, 称此时的负载为匹配负载。
综上所述, 对⽆耗传输线的⾏波状态有以下结论: ①沿线电压和电流振幅不变, 驻波⽐ρ=1;②电压和电流在任意点上都同相; ③传输线上各点阻抗均等于传输线特性阻抗6终端负载短路：负载阻抗Z l =0, Γl =-1, ρ→∞, 传输线上任意点z 处的反射系数为Γ(z)=-e-j2βz此时传输线上任意⼀点z 处的输⼊阻抗为0()tan in Z Z jZ zβ=①沿线各点电压和电流振幅按余弦变化, 电压和电流相位差 90°, 功率为⽆功功率, 即⽆能量传输; ②在z=n λ/2(n=0, 1, 2, …)处电压为零, 电流的振幅值最⼤且等于2|A 1|/Z 0, 称这些位置为电压波节点；在z=(2n+1)λ/4 (n=0, 1, 2, …)处电压的振幅值最⼤且等于2|A 1|, ⽽电流为零, 称这些位置为电压波腹点。
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终端接负载的无损传输线
R0=0，G0=0
0 L0C0
Zc
L0 C0
工程意义……
传输线的匹配状态
ZL= ? ZS=?
➢匹配负载：ZL=ZC，传输线上为纯行波（负载匹配） ➢匹配电源：ZS=ZC，电源完全吸收反射波（电源匹配） ➢完全失配：ZL=0、∞，传输线上为纯驻波（全反射） ➢一般情况：ZLZC、 0、 ∞，线上为行驻波（部分反射）
1 2
R02 2L20 (G02 2C02 ) 2L0C0 R0G0
Zc
R0 jL0 G0 jC0
L0 C0
1 j R0
L0
G 1 j
C0
j R0 jL0 G0 jC0
2、低频大损耗情况（工频传输线）
L0 R0 ,C0 G0 R0G0 ,
L
I0 2
H HdS
S
Wc
4
E EdS
S
分布参数－单位长线的电容
Wc
4
E EdS
S
C V0 4
2
C
V0
2
E EdS
S
分布参数-单位长线的电阻
单位长度功率损耗
Pc
Rs 2
c1c 2
H H dl R I0 2 2
R
1
I0
2
c1 c 2
H H dl
RS I0 2
c1 c 2
z
t
(1.2b)
(“具有余弦相位因子的稳定情况”，即：） 推导条件 传输线上电压、电流是时间和空间的函数，
且随时间呈简谐变化。
电 报
dV ( z ) ( R jL )I ( z ) ZI ( z )
dz
方 程
dI( z ) ( G jC )V ( z ) YV ( z )
dz
物理意义: 传输线上的电压是由于串联阻抗降压作用 造成的，而电流变化则是由于并联导纳的 分流作用造成的。
(z) e j Le j 2z L e jL 2z
r i L 2z
可见： 均匀无损传输线上移动参考平面时，其反射系数 的大小不变，幅角与移动的距离成正比。
负载反射系数
➢反映传输线的负载匹配程度 ➢不匹配负载是反射波的源
负载处（z=0处）的电压反射系数称负载反射系数：
0
V0 V0
第1章 传 输 线 理 论
1. 了解有关传输线的基本概念 2. 理解电报方程的意义及其作用 3. 了解传输线圆图的概念及其应用
本章采用路理论和场分析相结合传输线, 并对 时谐情况求解,然后研究传输线的特性参数.
基本概念
长线（long line）：传输线几何长度与工作波长λ可比拟， 需用分布参数电路描述。 短线（short line）：传输线几何长度与工作波长λ相比可忽 略不计，可用集总参数分析。 二者分界：l/λ > 0.05 分布参数(distributed parameter)：R、L、C和G 。
4 、无损耗情况： R0=0，G0=0
α=0，
L0C0
Zc
L0 C0
此时传输线上电压、电流呈现正向和反向的等幅行波。 特征阻抗Zc为实数，即电流与电压同向。 称无损传输线或理想传输线。
（微波技术中最常用）
无损耗线上电报方程的一般解
V ( z ) V0e -jz V0e z
I ( z ) V0 e jz V0 e jz
V0 e z
瞬时电压波形
v( z ,t ) V0 cos( t z )ez V0 cos( t z )ez
这时， 是复数电压 V0 的相位角。
特性阻抗
R jL R jL Z
Z0
G jC
Y ZC
特性阻抗与传输线上电压、电流的关系
V0
I
0
Z0
V0
I
0
波长
＝ 2
ZL Z0 ZL Z0
L
负载反射系数 L L L e jL
，
L
ZL Zc ZL Zc
0 L 1
L arg ZL Zc arg ZL Zc
L 本质上由ZL和ZC共同确定！
电源反射系数
V 0 ZL I 0
V0 V0
V0 V0
Z0
传输线上任意点的反射系数
定义：该处的电压反射波与电压入射波之比值
z
V0e jz V0e jz
这时，线上的总电压和总电流可写成
V z V0 e jz e jz
I z V0 e jz e jz Z0
传输线上任意点反射系数
2r
假如导体的表面电阻为Rs，而导体间填充介质具 有的复数介电常数为
j
导磁率为： 试确定传输线参量。
0r
解 同轴线参量为
L ( 2 )2
2
0
b a
1 r2
rdrd
2
ln b
a
C
2 b 1 rdrd 2
(ln b a )2 0 a r 2
lnb a
R
Rs
(2 )2
t
(1.1a)
i( z ,t ) Gzv( z z ,t ) Cz vz z ,t i( z z ,t ) 0 (1.1b)
t
由（1.1）式，得出下列微分方程
v( z ,t ) Ri( z ,t ) L i( z ,t )
z
t
(1.2a)
i( z ,t ) Gv( z ,t ) C v( z ,t )
➢分布在传输线上，随频率改变； ➢单位长度上：分布电阻、分布电感、分布电容和分布电导 （均匀、非均匀）。
传输线概述
传输线(transmission line)是以TEM导模的方式传 送电磁波能量或信号的导行系统。 特点：横向尺寸<< 工作波长λ。 结构:平行双导线
同轴线 带状线 微带线（准TEM模） 广义传输线：各种传输TE模TM模或其混合模的波 导都可以认为是广义传输线。
0,
Zc
R0 G0
这时传输线上不呈现波动过程，只带来一定衰减。
3、低频小损耗情况：
L0 R0 , C0 G0
YZ
R0 Z
C0 G0 L0 2
L0 C0
j
L0C0
R0 Z
C0 G0 L0 2
L0 C0
L0C0
Zc
L0 C0
1
j 2
R0
L0
G0
C0
j R0 jL0 G0 jC0
e
z
I
Hale Waihona Puke 0ez电报方程解的意义
均匀传输线上电压、电流都呈现为朝+z方向和朝-z方向传 播的两个行波，可称为入射波和反射波；在无损传输线 上，它们是等幅行波；电压行波与同方向的电流行波的 振幅之比为特性阻抗，其正负号取决于 z 坐标正方向的选 定。
线上电流
I ( z )
R jL
V0 e z
普通支路网络电缆
数字局用对称射频电缆
机房等场合用阻燃软电缆
数字局用同轴射频电缆
普通主干网络电缆
导线
（a）
绝缘子
（b）
塑料 导线
绝缘体（陶瓷）
金属膜
外导体
（ ）
（ ）
c
金属底板
d
图1.2 双导体传输线
内导体
（a）平行双线（架空明线） （b）扁带线（电视天线馈线）
（c）微带线（d）同轴线
用路理论和场分析方法处理均匀传输线
分布电感L0
单位长度传输线的分布电感， 它串联在传输线上。
B d S H H ds
L0
0
I
S2
H dl
s
H
l2
单位：H/m
分布电导G0
单位长度传输线的分布电导，它并联在传输线上。 （介质材料有耗引起）
G0
Is U
单位：S/m
分布电阻R0：
单位长度传输线的分布电阻， 它串联在传输线上。
(
2 0
1 a2
ad
2 0
1 b2
bd
)
RS
2
1 1 a b
G
(ln b a
)2
2
0
b a
1 r2
rdrd
2
lnb a
内外导体具有表面电阻R s的同轴线
y
，
a
x
b Rs
注意
表1.1 列出了同轴线、双线和平行板传输线的参量。 从下一章将看到，大部分传输线的传播常数，特性阻抗和衰 减是直接由场论解法导出的。 该例题先求等效电路参数(L，C，R，G)的方法，只适用于 相对较简单的传输线。虽然如此，它还是提供了一种有用的直 观概念，将传输线和它的等效电路联系起来。
L C
ZC
0
传输线的场分析
一段1米长的均匀TEM波传输线，其上电磁场分布如图所示， S是传输线的横截面。
导体间电压 V0 e jz
导体间电流
I 0 e jz
C2
E
H
C1,dl
dl S
图1.3 任意TEM传输线上的电磁场
单位长线上的时间平均磁储能
Wm 4
S
H H dS
单位长线上的时间平均电储能
术语
电长度概念
电长度=l/λg，无单位，（l为实际线长）。
电长度为1表示一个波长（ 360度），故：
λ/4 为90度，λ/2为180度。
传输线上的反射现象
坐标的从新规定
V z V0e jz V0e jz
I z V0 e jz V0 e jz
Z0
Z0
总电压和总电流的比值为负载阻抗，所以在z=0处有
R0
Ud I
单位：Ω/m