知识讲解二项式定理(理)(基础)

x5
1 2
6
105 32
x5
，
T9
C180
x0
1 2
8
45 256
。
∴二项式
x2
1 2x
10
的展开式中的常数项是第
9
项： 45 256
；有理项是第
1
项：x20，第
3
项：45 4
x15
，
第 5 项： 105 x10 ，第 7 项： 105 x5 ，第 9 项： 45 ．
的系数，可以考虑在 (a b)(a b)
(a
b)
这
n
个括号中取
r
个
b，则这种取法种数为
C
r n
，即为
anrbr
的
n
系数．
2.
(a
b)n
的展开式中各项的二项式系数
Cn0
、
C
1 n
、
C
2 n
…
Cnn
具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C
r n
C
n n
r
① (a b)n Cn0an Cn1an1b (1)r Cnranrbr (1)n Cnnbn ( n N * )
② (1 x)n 1 Cn1x Cn2 x2 Cnr xr xn
要点二、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：
Tr1 Cnr an-r br （ r 0,1,2,, n ）
)r
(2)r C5r x155r
依题意 15－5r＝5，解得 r＝2
故(－2)2
C
r 5
＝40
为所求
x5
的系数
例 3.（1）(2x2－ 1 )6 的展开式中的常数项； x
（2）求 (3 x 1 )15 的展开式中的有理项. x
【思路点拨】常数项就是项的幂指数为 0 的项，有理项，就是通项中 x 的指数为正整数的项，可以
要点四：二项式定理的应用 1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）. 2.利用赋值法进行求有关系数和。 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的 a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对 a、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利
于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
1
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
．
【总结升华】记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂
的二项式，有时先化简再展开会更简捷．
举一反三：
【变式】求二项式
2x
3 2x2
5
的展开式．
【答案】
（1）解法一：
2
x
3 2x2
5
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可编辑
C50 (2x)5
【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．
【解析】
解一：
(1
1)4 x
1
C41
(
1 x
)
C41
(
1 x
)2
C43
(
1 x
)3
(1)4 x
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
．
解二：
(1
1)4 x
( 1 )4 ( x x
1)4
(1)4 x
x4
C41 x3
C41 x 2
C43 x
根据二项式定理的通项公式求。
【解析】（1）Tr＋1＝
C
r 6
(2x2)6-r
(
1 x
)r
＝(－1)r·26-
r·
C6r
x123r
依题意 12－3r＝0，解得 r＝4
故
(1)
4
·22
C
2 6
＝60
为所求的常数项．
（2）通项 Tr1 (1) r
C1r5 (3
x )15r (
1
)r
(1)r
305r
设 f (x) (ax b)n a0 a1x a2 x2 an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2)令 x=1，则 a0 a1 a2 an f (1) (a b)n
(3)令 x=－1，则 a0 a1 a2 a3 (1)n an f (1) (a b)n
小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①
(1 x)n 1 nx ；② (1 x)n 1 nx n(n 1) x2 ；（ x 0） 2
如：求证： 2 (1 1 )n n
【典型例题】
类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数
例 1. 求 (1 1 )4 的二项式的展开式． x
公式特点：
①它表示二项展开式的第
r+1
项，该项的二项式系数是
C
r n
；
②字母 b 的次数和组合数的上标相同；
③a 与 b 的次数之和为 n。
要点诠释：
（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr anrbr 和(b+a)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnrbnr ar 是
有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能随便交换位置的． （ 2 ） 通 项 是 针 对 在 (a+b)n 这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 ， 如 (a － b)n 的 二 项 展 开 式 的 通 项 是
；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，
n
当
n
为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
C
2 n
最大；当
n
为奇数时，二项展开式中间两项的二项
n 1
n 1
式系数 Cn 2 ， Cn 2 相等，且最大.
③各二项式系数之和为 2n ，即 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cnn 2n ；
∴ T9
C180
1 2
8
45 256
。
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令 20 5 r Z ，即 r=0，2，4，6，8 时， 20 5 r Z 。
2
2
∴ T1
C100
x20
1 2
0
x20
，
T3
C120
x15
1
2
2
百度文库
45 4
x15 ，
T5
C140
x10
1 4 2
105 8
x10 ，
T7
C160
Tr1 (1)r Cnr anrbr （只需把－b 看成 b 代入二项式定理）。
要点三：二项式系数及其性质 1.杨辉三角和二项展开式的推导。
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在我国南宋，数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。
(a b)n 展开式中的二项式系数,当 n 依次取 1,2,3,…时,如下表所示:
3 2x2
0
C51(2x)4
3 2x2
C52
(2x)3
3 2x2
2
C53 (2 x)2
3 2x2
3
C54
(2x)
3 2x2
4
C55
3 2x2
5
32x5 120x2 180 135 405 243 x x4 8x7 32x10
解法二：
2x
3 2x2
5
(4x3 3)5 32x10
243 32x10
。
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第四项的系数；
（2）求
(x
1
)9
的展开式中
x3
的系数及二项式系数 新疆 王新敞
奎屯
x
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x 的项．因为题中条件和求解部
分都涉及指定项问题，故选用通项公式．
【解析】（1） (1 2x)7 的展开式的第四项是T31 C73 (2x)3 280x3 ，
解答这类问题。 求有理项是对 x 的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求．
举一反三：
【变式】
求二项式
x2
1 2x
10
的展开式中的常数项及有理项．
设二项式的通项为 Tr 1
C1r0 (x2 )10r
1 2x
r
C1r0
20 5 r
x 2
1 2
r
，
令 20 5 r 0 ，得 r=8． 2
(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1；
(2)二项式系数：第
r+1
项的二项式系数为
C
r n
，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n．字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，
次数从 0 到 n，每一项中，a，b 次数和均为 n；
3.两个常用的二项展开式：
C1r5 x 6
x
∵
Tr
1
为有理项，∴
30
6
5r
Z
,
即 r 是 6 的倍数,又因为 0 r 15 ,所以 r =0,6,12
故展开式中的有理项为 T1 (1)0 C105 x5 x5 , T7 5005 , T13 420 x5 .
【总结升华】 使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元”，一般采用令变元的指数为零的方法
……
……
……
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性 质。表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中 anrbr 的系数 Cnr 的意义：为了得到(a+b)n 展开式中 anrbr
(a b c)n
[(a b) c]n
C
r n
(a
b)
nr
c
r
C nr
C
q nr
a
nr q b q c r
如： (a
b
c)10 展开式中含 a 3b 2c5 的系数为 C130C72C55
10! 3!2!5!
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
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∴ (1 2x)7 的展开式的第四项的系数是 280 ．
（2）∵ (x
1 x
)9
的展开式的通项是
Tr
1
C9r
x9r
(
1 x
)r
(1)r C9r x92r
，
∴ 9 2r 3 ， r 3，
∴ x3 的系数 (1)3C93 84 ， x3 的二项式系数 C93 84 ．
【总结升华】 1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的 r 是多少； 2. 注意系数与二项式系数的区别； 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
1 32x10
[C50
(4 x3 )5
C51(4x3)4 (3)
C52
(4 x3 )3 (3)2
C53(4x3)2 (3)3
C54 (4x3)(3)4
C55 (3)5 ]
1 32x10
(1024x15
3840x12
5760x9
4320x6
1620x3
243)
32x5
120x2
180 x
135 x4
405 8x7
举一反三：
【变式 1】求 (2a b)5 的展开式的第 3 项的二项式系数和系数； 【答案】10，80；
C52 10
T3 C52 (2a)3 b2 80a3b2
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【变式 2】求(x3－ 2 )5 的展开式中 x5 的系数； x2
【答案】（1）Tr＋1＝ C5r
(x3
)5r
(
2 x2
(4) a0 a2 a4
f (1) f (-1) 2
(5) a1 a3 a5
f (1) - f (-1) 2
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证： 32n2 8n 9 能被 64 整除（ n N * ）
4.证明有关的不等式问题： 有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩
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二项式定理
【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】 要点一：二项式定理
1.定义 一般地,对于任意正整数 n ,都有：
(a b)n
Cn0 a n
C
1 n
a
n1b
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(
如(a－b)n 的二项展开式的通项是Tr1 (1)r Cnr anrbr ，在这里对应项的二项式系数都是 Cnr ，但项的
系数是 (1)r Cnr ，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
3. (a b c)n 展开式中 a pbqcr 的系数求法（ p, q, r 0 的整数且 p q r n ）
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即
C
0 n
C
2 n
C
4 n
Cn1
C
3 n
C
5 n
2n1 。
要点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别：
二项展开式中，第
r+1
项
C
r n
a
nr
b
r
的二项式系数是组合数
C
r n
，展开式的系数是单项式
C
r n
a
nr
b
r
的系
数，二者不一定相等。
(a b)1 ………………………………………1 1 (a b) 2 ……………………………………1 2 1
(a b)3 …………………………………1 3 3 1 (a b) 4 ………………………………1 4 6 4 1
(a b)5 ……………………………1 5 10 10 5 1 (a b)6 …………………………1 6 15 20 15 6 1
n
N
*
)，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式。
式中的 Cnr anrbr 做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项：Tr1 Cnr anrbr ，
其中的系数 Cnr （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：