随机信号平稳性实验
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
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f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
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a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
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例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
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联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
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§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
-随机信号分析实验报告
-随机信号分析实验报告H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y实验报告课程名称：随机信号分析院系：电⼦与信息⼯程学院班级：姓名：学号：指导教师：实验时间：实验⼀、各种分布随机数的产⽣（⼀）实验原理1.均匀分布随机数的产⽣原理产⽣伪随机数的⼀种实⽤⽅法是同余法，它利⽤同余运算递推产⽣伪随机数序列。
最简单的⽅法是加同余法)(mod 1M c y y n n +=+My x n n 11++= 为了保证产⽣的伪随机数能在[0,1]内均匀分布，需要M 为正整数，此外常数c 和初值y0亦为正整数。
加同余法虽然简单，但产⽣的伪随机数效果不好。
另⼀种同余法为乘同余法，它需要两次乘法才能产⽣⼀个[0,1]上均匀分布的随机数)(mod 1M ay y n n =+ My x n n 11++= 式中，a 为正整数。
⽤加法和乘法完成递推运算的称为混合同余法，即 )(mod 1M c ay y n n +=+ M y x n n 11++=⽤混合同余法产⽣的伪随机数具有较好的特性，⼀些程序库中都有成熟的程序供选择。
常⽤的计算语⾔如Basic 、C 和Matlab 都有产⽣均匀分布随机数的函数可以调⽤，只是⽤各种编程语⾔对应的函数产⽣的均匀分布随机数的范围不同，有的函数可能还需要提供种⼦或初始化。
Matlab 提供的函数rand()可以产⽣⼀个在[0,1]区间分布的随机数，rand(2,4)则可以产⽣⼀个在[0,1]区间分布的随机数矩阵，矩阵为2⾏4列。
Matlab 提供的另⼀个产⽣随机数的函数是random('unif',a,b,N,M)，unif 表⽰均匀分布，a 和b 是均匀分布区间的上下界，N 和M 分别是矩阵的⾏和列。
2.随机变量的仿真根据随机变量函数变换的原理，如果能将两个分布之间的函数关系⽤显式表达，那么就可以利⽤⼀种分布的随机变量通过变换得到另⼀种分布的随机变量。
随机信号分析实验报告
实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。
二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。
实验三、随机信号的功率谱估计方法
随机信号的功率谱估计方法一、 实验目的1、 利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计2、 观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次 数等谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。
3、 学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。
4、 体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。
二、 实验原理假设信号x(n)为平稳随机过程，其自相关函数定义为(3-∅（m ）≜E{x ∗(n)x(n +m)}1)其中E 表示取数学期望，*表示共轭运算。
根据定义，x (n )的功率谱密度与()P ω自相关序列存在下面关系：()m φ (3-2)()()j mm P m eωωφ∞-=-∞=∑ (3-3)1()()2j m m P e d πωπφωωπ-=⎰但是，实际中我们很难得到准确的自相关序列，只能通过随机信号的()m φ一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。
目前，常用的线性谱估计方法有两种，即相关函数法和周期图方法，本实验对这两种方法分别予以讨论。
1． 自相关函数法假设我们已知随机信号x(n)的M 长的自相关序列{}，利用自相关函数法()m φ可以得到x(n)的功率谱估计：(3-4)*11()()()L mi m x i x i m L mφ-Λ==+-∑11ˆˆ()()M j m m M Pm e ωωφ--=-+=∑利用窗函数，上式又可表达为(3-5)ˆˆ()()()Rj m Mm PWm m e ωωφ∞-=-∞=∑其中，为矩形窗函数，定义为()RMW m (3-6)1()0R Mm MW m m M<⎧=⎨≥⎩因此，实际上是真正功率谱与窗函数傅立叶变换的卷积。
ˆ()P ω()P ω()R M W m 矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣。
为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为(3-7)0.540.46cos ()0HM m Mm W m Mm Mπ⎧<+⎪=⎨≥⎪⎩这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是，此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)
随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_班级：_学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：，序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
随机信号分析实验
实验一 随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法；2、实现随机序列的数字特征估计..二、实验原理1. 随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列样本值序列..进行随机信号仿真分析时;需要模拟产生各种分布的随机数..在计算机仿真时;通常利用数学方法产生随机数;这种随机数称为伪随机数..伪随机数是按照一定的计算公式产生的;这个公式称为随机数发生器..伪随机数本质上不是随机的;而且存在周期性;但是如果计算公式选择适当;所产生的数据看似随机的;与真正的随机数具有相近的统计特性;可以作为随机数使用..0;1均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数..0;1均匀分布指的是在0;1区间上的均匀分布;即U0;1..实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生0;1均匀分布随机数;通常采用的方法为线性同余法;公式如下：Ny x N ky Mod y y n n n n /))((110===-， 1.1序列{}n x 为产生的0;1均匀分布随机数.. 下面给出了上式的3组常用参数：1 7101057k 10⨯≈==，周期，N ；2 IBM 随机数发生器8163110532k 2⨯≈+==，周期，N ；3 ran095311027k 12⨯≈=-=，周期，N ；由均匀分布随机数;可以利用反函数构造出任意分布的随机数.. 定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数F X x;而R 为0;1均匀分布随机变量;则有)(1R F X x -= 1.2由这一定理可知;分布函数为F X x 的随机数可以由0;1均匀分布随机数按上式进行变换得到..2. MATLAB 中产生随机序列的函数1 0;1均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = randm;n功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵.. 2 正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randnm;n功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵..如果要产生服从2N(,)μσ分布的随机序列;则可以由标准正态随机序列产生..3 其他分布的随机序列MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数;下表列出了部分函数..MATLAB 中产生随机数的一些函数表1.1 MATLAB中产生随机数的一些函数3、随机序列的数字特征估计对于遍历过程;可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性..这里我们假定随机序列X n为遍历过程;样本函数为xn;其中n=0;1;2;…;N-1..那么;X n的均值、方差和自相关函数的估计为利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征..1 均值函数函数：mean用法：m = meanx功能：返回按上面第一式估计X n的均值;其中x为样本序列xn..2 方差函数函数：var用法：sigma2 = varx功能：返回按上面第二式估计X n的方差;其中x为样本序列xn;这一估计为无偏估计..3 互相关函数函数：xcorr用法：c = xcorrx;yc = xcorrxc = xcorrx;y;'opition'c = xcorrx;'opition'功能：xcorrx;y计算X n与Yn的互相关;xcorrx计算X n的自相关..option 选项可以设定为：'biased' 有偏估计;即1.6'unbiased' 无偏估计;即按1.5式估计..'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1..'none' 不做归一化处理..三、实验内容1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个;计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小..改变样本个数重新计算..实验代码：num=input'Num=';N=2^31;k=2^16+3;Y=zeros1;num;X=zeros1;num;Y1=1;for i=2:numYi=modk*Yi-1;N;endX=Y/N;a=0;b=1;m0=a+b/2;sigma0=b-a^2/12;m=meanX;sigma=varX;delta_m=absm-m0;delta_sigma=abssigma-sigma0;plotX;'k';xlabel'n';ylabel'Xn';实验结果：1 Num=1000时：delta_m=0.0110;delta_sigma=0.00112 Num=5000时：delta_m =2.6620e-04;delta_sigma =0.0020实验结果分析：样本越大;误差越小;实际值越接近理论值..2. 参数为的指数分布的分布函数为x x e F λ--=1利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个;测试其方差和相关函数..实验代码： R=rand1;1000; lambda=0.5; X=-log1-R/lambda; DX=varX; Rm;m=xcorrX; subplot211;plotX;'k';xlabel'n';ylabel'Xn'; subplot212;plotm;Rm;'k';xlabel'm';ylabel'Rm';实验结果：实验结果分析：方差的实际值为4.1201;理论值为1/0.5^2=4;基本一致..3.产生一组N1;4分布的高斯随机数1 000个样本;估计该序列的均值、方差和相关函数..实验代码：X=normrnd1;2;1;1000;Mx=meanX;Dx=varX;Rm;m=xcorrX;subplot211;plotX;'k';xlabel'n';ylabel'Xn';subplot212;plotm;Rm;'k';xlabel'm';ylabel'Rm';实验结果：实验结果分析：实验中的均值为0.9937;方差为3.8938..理论上均值为1;基本一致..四、实验心得体会通过这次实验;我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计;并用MATLAB产生相应的图形;更直观的了解了相关的知识..本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列;多次试验后终于攻克了难关..实验二随机过程的模拟与数字特征一、实验目的1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法；2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现..二、实验原理1. 正态分布白噪声序列的产生MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数;其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn..函数：randn用法：x = randnm;n功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵..如果要产生服从),(2συN 分布的随机序列;则可以由标准正态随机序列产生..如果X~N0;1;则2X ~N(,)μ+σμσ..2. 相关函数估计MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计.. 函数：xcorr 用法：c = xcorrx;y c = xcorrxc = xcorrx;y;'opition' c = xcorrx;'opition'功能：xcorrx;y 计算X n 与Yn 的互相关;xcorrx 计算X n 的自相关.. option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计.. 'unbiased' 无偏估计..'coeff' m=0时的相关函数值归一化为1.. 'none' 不做归一化处理..3. 功率谱估计对于平稳随机序列Xn;如果它的相关函数满足∞<∑+∞-∞=m xm R )( 2.1那么它的功率谱定义为自相关函数R x m 的傅里叶变换：∑+∞-∞=-=m jm xX em R S ωω)()( 2.2功率谱表示随机信号频域的统计特性;有着重要的物理意义..我们实际所能得到的随机信号总是有限的;用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计;称为谱估计或谱分析..1 自相关法先求自相关函数的估计;然后对自相关函数做傅里叶变换∑---=-=1)1(^^)()(N N m jm xX em R S ωω 2.3其中N 表示用于估计样本序列的样本个数.. 2 周期图法先对样本序列xn 做傅里叶变换∑-=-=10)()(N n jm e n x X ωω 2.4其中10-≤≤N n ;则功率谱估计为2^)(1)(ωωX NS =2.5 MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计.. 函数：periodogram用法：Pxx;w = periodogramxPxx;w = periodogramx;window Pxx;w = periodogramx;window;nfftPxx;f = periodogramx;window;nfft;fsperiodogram...功能：实现周期图法的功率谱估计..其中：Pxx为输出的功率谱估计值；f为频率向量；w为归一化的频率向量；window代表窗函数;这种用法对数据进行了加窗;对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差;表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数..nfft设定FFT算法的长度；fs表示采样频率；如果不指定输出参量最后一种用法;则直接会出功率谱估计的波形..三、实验内容1.按如下模型产生一组随机序列=-+ωx(n)0.8x(n1)(n)其中(n)是均值为1;方差为4的正态分布白噪声序列..估计过程的自相关函数和功率谱..实验代码：y0=randn1;500; %产生一长度为500的随机序列y=1+2*y0;x1=y1;n=500;for i=2:1:nxi=0.8*xi-1+yi; %按题目要求产生随机序列xn endsubplot311;plotx;title'xn';subplot312;c=xcorrx; %用xcorr函数求xn的自相关函数plotc;title'Rn';p=periodogramx; %用periodogram函数求功率谱密度subplot313; plotp; title'Sw';实验结果：其中xn 为样本序列;长度为500；Rn 为xn 的自相关函数;Sw 为xn 的功率谱..2. 设信号为其中12.0,05.021==f f ;)(n w 为正态分布白噪声序列;试在N =256和N=1024点时;分别产生随机序列xn;画出xn 的波形并估计xn 的相关函数和功率谱..1 N=256时：实验代码：N=256;w=randn1;N; %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin2*pi*f1*n+2*cos2*pi*f2*n+wn; %产生题目所给信号R=xcorrx; %求xn的自相关函数p=periodogramx; %求x的功率谱subplot311;plotx;title'xn';subplot312;plotR;title'Rn';subplot313;plotp;title'Sw';实验结果：其中xn为样本序列;长度为256；Rn为xn的自相关函数;Sw为xn的功率谱..2 N=1024时：实验代码：N=1024; %将N值改为1024w=randn1;N; %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin2*pi*f1*n+2*cos2*pi*f2*n+wn; %产生题目所给信号R=xcorrx; %求xn的自相关函数p=periodogramx; %求x的功率谱subplot311;plotx;title'xn';subplot312;plotR;title'Rn';subplot313;plotp;title'Sw';实验结果：其中xn为样本序列;长度为1024；Rn为xn的自相关函数;Sw为xn的功率谱..四、实验心得体会这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度的方法..用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱;极大的方便了学习过程..通过本次实验;我学会了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现..实验三随机过程通过线性系统的分析一、实验目的1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性..2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性;验证随机过程的正态化问题..二、实验原理1. 白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为Hw 或Hs;输入白噪声的功率谱密度为S X w=N 0/2;那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω 3.1 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτd H NR Y 2)(4)( 3.2输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R τωγ=3.3 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y 3.4输出平均功率为⎰∞=202)(2)]([ωωπd H N t Y E 3.5上述式子表明;若输入端是具有均匀谱的白噪声;则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|Hw|决定;不再是常数..2. 等效噪声带宽在实际中; 常常用一个理想系统等效代替实际系统的Hw;因此引入了等效噪声带宽的概念;他被定义为理想系统的带宽..等效的原则是;理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下;两个系统的输出平均功率相等;理想系统的增益等于实际系统的最大增益..实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e 3.6或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω 3.73. 线性系统输出端随机过程的概率分布1 正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程;则该系统输出仍为正态过程.. 2 随机过程的正态化随机过程的正态化指的是;非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程..任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统;输出近似服从正态分布..三、实验内容1. 仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统;白噪声为高斯分布;带通系统的两个截止频率分别为3kHz 和4kHz;估计输出的自相关函数和功率谱密度函数..假设采样频率为10kHz;同时在系统仿真时为了得到统计的结果;可以进行多次实验;并取多次实验的平均结果作为统计结果实验代码：Fs=10000; %抽样频率为10kHzx=randn1000;1; %产生随机序列;模拟高斯白噪声figure1;subplot3;1;1;plotx;grid on;xlabel't';subplot3;1;2;x_corr=xcorrx;'unbiased'; %计算高斯白噪声的自相关函数plotx_corr;grid on;subplot3;1;3;Pxx;w=periodogramx; %计算功率谱密度x_Px=Pxx;plotx_Px;grid on;figure2;subplot2;1;1;x_pdf;x1=ksdensityx; %高斯白噪声一维概率密度函数plotx1;x_pdf;grid on;subplot2;1;2;f=0:999/1000*Fs;X=fftx;mag=absX; %随机序列的频谱plotf1:1000/2;mag1:1000/2;grid on;xlabel'f / Hz';figure3;subplot3;1;1;b;a=ellip10;0.5;50;3000;4000*2/Fs;H;w=freqzb;a; %带通滤波器plotw*Fs/2*pi;absH;grid on;xlabel'f / Hz';ylabel 'Hw';subplot3;1;2;y=filterb;a;x;y_pdf;y1=ksdensityy; %滤波后的概率密度函数ploty1;y_pdf;grid on;y_corr=xcorry;'unbiased'; %滤波后自相关函数subplot3;1;3;ploty_corr;grid on;figure4;Y=ffty;magY=absY; %随机序列滤波后频谱subplot2;1;1;plotf1:1000/2;magY1:1000/2;grid on;xlabel'f / Hz';subplot2;1;2;nfft=1024;index=0:roundnfft/2-1;ky=index.*Fs./nfft;window=boxcarlengthy_corr;Pyy;fy=periodogramy_corr;window;nfft;Fs; %滤波后高斯白噪声功率谱y_Py=Pyyindex+1;plotky;y_Py;grid on;实验结果：下图分别为高斯白噪声序列、高斯白噪声自相关函数、高斯白噪声功率谱密度..下图分别为高斯白噪声一维概率密度函数、模拟高斯白噪声序列频谱..下图分别为带通滤波器、带通滤波后一维概率密度函数、限带高斯白噪声自相关函数..2.设白噪声通过下图所示的RC电路;分析输出的统计特性..1 试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽..2 采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路;观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度..3 模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路;观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度..4 改变RC 电路的参数电路的RC 值;重做2和3;与之前的结果进行比较..1 输出功率谱密度：22222)(RC N S ωω+=；相关函数：RCe RCN R τ-=4； 相关时间：RC =τ； 等效噪声带宽：RCB 2π=..2 实验代码： R=100; C=0.01;n=1:1:500;h=b*exp-n*b; %RC电路的冲击响应x=randn1;1000; %产生正态分布的白噪声y=convx;h;fy y1=ksdensityy %求输出噪声的概率密度subplot3;1;1;plotx;title'xn';subplot3;1;2;ploty;title'yn';subplot3;1;3;plotfy;title'fy';3实验代码：R=100;C=0.01;b=1/R*C;n=1:1:500;h=b*exp-n*b;x=rand1;1000; %均匀分布的白噪声y=convx;h;fy y1=ksdensityy;subplot3;1;1;plotx;title'xn';subplot3;1;2; ploty;title'yn'; subplot3;1;3; plotfy;title'fy';实验结果：4 R=300;C=0.01;正态分布时：R=300;C=0.01;均匀分布时：R=30;C=0.01;正态分布时：R=30;C=0.01;均匀分布时：实验结果分析：从以上图像中可以看出;系统相关时间与带宽成反比；正态随机过程通过一个线性系统后;输出仍为正态分布；而均匀分布的白噪声通过一个线性系统后;输出也服从正态分布..四、实验心得体会本次实验是关于随机信号通过线性系统的;我发现了白噪声通过线性系统后;输出也服从正态分布;从实践上验证了课本的理论..通过本次实验;我理解了白噪声通过线性系统后输出的特性;学习和掌握了随机过程通过线性系统后的特性;关于随机信号的知识有了更深入的理解..实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程..2、掌握窄带随机过程的特性;包括均值数学期望、方差、相关函数及功率谱密度等..二、实验原理1. 窄带随机过程的莱斯表达式任何一个实平稳窄带随机过程Xt 都可以表示为t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-= 4.1上式称为莱斯表达式;根据上式可以模拟产生窄带随机过程;具体过程如下图所示..图4.1 窄带随机过程的产生2.窄带随机过程包络与相位的概率密度见教材5.3节..3.窄带随机过程包络平方的概率密度见教材5.4节..三、实验内容1.按图4.1所示结构框图;基于随机过程的莱斯表达式;用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程..实验代码：n=1:1:1000;h=exp-n;c1=randn1;1000;a=convc1;h;c2=randn1;1000; %产生两个正态分布的高斯白噪声b=convc2;h; %通过低通滤波器fc=10000;x=zeros1;1000;for i=1:1000 %卷积结果相加;得到窄带随机过程xi=ai*cos2*pi*fc*i-bi*sin2*pi*fc*i;endplotx;实验结果：2.画出该随机过程的若干次实现;观察其形状..实验结果：第一次实现：第二次实现：第三次实现：3.编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度;画出相应的图形并给出解释..实验代码：n=1:1:1000;h=exp-n;c1=randn1;1000;a=convc1;h;c2=randn1;1000;b=convc2;h;fc=10000;x=zeros1;1000;for i=1:1000 %得到窄带随机过程xi=ai*cos2*pi*fc*i-bi*sin2*pi*fc*i;endm=meanxfigure1plotm;title'均值' %均值函数R=xcorrx;figure2plotR;title'自相关函数' %自相关函数S;w=periodogramx;figure3plotS;title'功率谱密度' %功率谱密度函数B=zeros1;1000;for i=1:1000Bi=sqrtai^2+bi^2;endfB2 j=ksdensityB;figure4plotfB2;title'包络概率密度' %包络概率密度B=zeros1;1000;for i=1:1000Bi=ai^2+bi^2;endfB2 j=ksdensityB;figure5plotfB2;title'包络平方概率密度' %包络平方概率密度for i=1:1000faii=atanbi/ai;endfp j=ksdensityfai;figure6;plotfp;title'相位一维概率密度函数' %相位一维概率密度函数实验结果：均值m=-0.0075：自相关函数：功率谱密度：包络概率密度：包络平方概率密度：相位一维概率密度函数：实验结果分析：生成的两个高斯白噪声;分别通过低通滤波器得到at和bt..用莱斯表达式的原理产生一个窄带随机过程..其中窄带随机过程的均值为零;包络服从瑞利分布;相位按均匀分布;包络的平方呈指数型分布..四、实验心得体会这次实验描述了窄带随机过程;对于其均值、包络、包络平方、相位的分布也有了直观的表达;也有了更深刻的理解..通过本次实验;我认识了通过莱斯表达式产生窄带随机过程的方法;并且掌握窄带随机过程的特性..。
平稳随机过程的采样和插值
随机信号实验平稳随机过程的采样和插值一 ．实验目的了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系，掌握信号的采样及分析方法。
二 . 实验原理确定信号的采样符合香农定理，那么随机信号的采样是否符合香农定理呢？答案是定的。
香农定理可以推广到随机信号的采样。
若X(t)为平稳随机过程，且具有零均值，它的功率谱密度)(ωx S 限于（-c ω，+c ω）之间。
当满足条件cf 21T ≤时，便可将X(t)按它的振幅样本展开为：∑-=∞→--=NNn c c N n t n t nT X t X πωπω)sin()()(lim上式就是平稳随机过程的采样定理。
式中T 为采样周期。
三．实验任务与要求⑴ 程序用matlab 或c/c++语言编写和仿真。
系统框图如图29、图30所示：图29 抽样系统框图图30 插值系统框图⑵ 输入信号x(t)：x(t)=正弦波信号+n(t)，频率为100Hz 的正弦波信号，幅值为1v ，n(t)为白噪声。
计算输入信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑶ 低通滤波器设计低通滤波器技术要求： 通带截止频率1KHz 阻带截止频率2KHz 。
过渡带:1KHz 阻带衰减：>35DB通带衰减：<1DB采样频率：≤44.1KHz计算经低通滤波器后信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑷对输入信号进行抽样：采样频率8000Hz。
每间隔4个点和每间隔8个点各抽样一次。
计算抽样信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑸对采样信号进行插值：每一个间隔插入4个值和每一个间隔插入8个值。
采样频率8000Hz。
计算插值信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑹对采样前后、插值前插值后信号进行比较。
观察在采样频率不变的情况下，信号频谱的变化和频谱的周期延拓性。
⑺讨论X(n)的自相关函数、功率谱密度与X(t)的自相关函数、功率谱密度之间的关系。
基于Matlab的信号平稳性检验系统 System of Stationarity Test Based on Matlab
替代数据的概念最初是由Ｔｈｅｉｌｅｒ和其合作作者
提出的‘引，这种技术是用来产生一种所谓的·。替代数
据”，这种替代数据是平稳的，同时保持了原数据的一些 相关的统计特性。
Ｔｈｅｉｌｅｒ在文献Ｅ４］中提出了一种具体的产生替代
数据的方法。由这种方法产生的替代数据是平稳的，同
时保持了原数据的二阶统计特性。具体地说，替代数据 保持了原数据功率谱的幅度值不变。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ ｔｅｓｔ ｒｅｍａｉｎｓ ａ ｃｈａｌｌｅｎｇｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｄｕｅ ｔＯ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｔｉｏｎａ＿ ｒｉｔｙ ｔｅｓｔ，ｔＯ ｆｉｎｄ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔＯ ｔｈａｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｇｒｅａｔｌｙ ｄｅｓｉｒｅｄ．Ａ ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ ｔｅｓｔ ｓｙｓｔｅｍ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ａｎｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｔｌａｂ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅａｌｉｚｅｓ ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ ｔｅｓｔ ｖｉａ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄａｔａ ａｎｄ ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｉｎ ｔｉｍｅ— ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅｉｒ ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｓｕｒｒｏ— ｇａｔｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｆｉｒｓｔ ｅｘｐｌｏｒｅｄ ｉｎ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ．Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｍａｋｅ ｓｕｒｒｏｇａｔｅｓ ｆｒｏｍ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄａｔａ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｙ ｔｈｅｉｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ．Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ａｌｓｏ ｃｏｍｐａｒｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄａｔａ ｗｉｔｈ‘ｉｔｓ ｓｕｒｒｏｇａｔｅｓ ｉｎ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｏｒ ｎｏｎ—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ．Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｇｉｖｅｓ ａ ｆｒｉｅｎｄｌｙ ｉｎ— ｔｅｒｒａｃｅ ａｎｄ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｕｓｅ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｏｕｒ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｔｅｓｔ ｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｗｅｌｌ．
实验报告-卡尔曼滤波
数字信号处理实验报告姓名： 专业: 通信与信息系统 学号: 日期：2015.11实验内容任务一：一连续平稳的随机信号()t x ，自相关函数()tx er -=τ，信号()t x 为加性噪声所干扰，噪声是白噪声，测量值的离散值()k z 为已知，s T s 02.0=，-3.2，-0.8，-14，-16，-17，-18，-3.3，-2.4，-18，-0.3，-0.4，-0.8，-19，-2.0，-1.2，-11，-14，-0.9，-0.8，10，0.2，0.5，-0.5，2.4，-0.5，0.5，-13，0.5，10，-12，0.5，-0.6，-15，-0.7，15，0.5，-0.7，-2.0，-19，-17，-11，-14，自编卡尔曼滤波递推程序，估计信号()t x 的波形。
任务二：设计一维纳滤波器。
（1）产生三组观测数据：首先根据()()()n w n as n s +-=1产生信号()n s ，将其加噪（信噪比分别为20dB ，10dB ，6dB ），得到观测数据() n x 1，() n x 2，() n x 3。
（2）估计() n x i ， 1=i ，2，3的AR 模型参数。
假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。
实验任务一 1. 卡尔曼滤波原理1.1 卡尔曼滤波简介早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。
它用状态空间法描述系统，由状态方程和量测方程所组成，即知道前一个状态的估计值和最近一个观测数据，采用递推的算法估计当前的状态值。
由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果。
卡尔曼滤波一经出现，就受到人们的很大重视，并 在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统。
平稳随机信号处理
xnP(x)dx
零阶原点矩：m0=1； 一阶原点矩：m1= E[x]，即x的均值； 二阶原点矩：m1= E[x2]，即x的均方值。 随机变量x相对于均值（一阶原点矩）m1的n 阶矩，称为n阶中心矩：
un E (x m1)n
(
x
m1
)
n
P(
x)dx
显然二阶中心矩u2= E[(x- m1)2] 即是方差。
E[x y] E[x] E[ y]
②随机变量乘以常数后的均值等于随机变 量的均值乘以该常数，即
E[ax] aE[x]
③对于互相是线性独立的两随机变量x和y 有
E[xy] E[x]E[ y]
在数学上，把随机变量x的n次幂即xn的统计 平均，称为n阶原点矩：
mn E X n
即随机过程X（t）在两个时刻取值相乘积的 统计平均值，同理，X（t），Y（t）之间的依 赖关系用互相关函数，可以表示为
Rxy(t1 ,t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] xyP(x ,t1; y,t2 )dxdy
自协方差函数定义为
Covx (2) xx(2) E(X (t1) ma)(X (t1 2) ma)
例：若随机变量x的概率密度函数为
P(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
b
1
a
,
0
a xb 其他
则称x在（a，b）区间呈均匀分布， 区间（a，b）可以处在x轴上任意位 置，求该均匀分布随机变量的均值和 方差
解：
bx
1
mx
xp(x)dx
dx (a b) a ba 2
随机信号试验
(1) 添加图形标题命令title 格式：title(‘string’) 功能：在当前坐标系的顶部加一个文本串string，作为该图形的标题。
(2) 添加坐标轴标志函数xlabe、 ylabel、zlabel 格式：xlabel(‘text’) 或 ylabel(‘text’) 或zlabel(‘text’) 功能：给当前X轴或Y轴或Z轴标注文本标注。
• 绘制正弦曲线和余弦曲线，截图。 x=[0:0.5:360]*pi/180; plot(x,sin(x),x,cos(x));
• 运行程序，记录结果
• 求方程 3x4+7x3 +9x2-23=0的全部根。
p=[3,7,9,0,-23]; %建立多项式系数向量
x=roots(p)
%求根
• 运行程序，记录运行结果 • 求积分
连续时间信号的表示 连续时间信号：时间变化连续。如y=x(t) 离散时间信号(序列)：时间离散，如x(nT)=x(t)|t=nT.
工具箱中的信号产生函数
函数名 sawtooth
square sinc chirp
gauspuls
vco
功能
函数名
功能
产生锯齿波或三角波 pulstran 产生冲激串 信号
[例] 绘制离散时间信号的棒状图。其中x(-1)=-1, x(0)=1, x(1)=2, x(2)=1, x(3)=0, x(4)=-1。MATLAB源程序为： n=-3:5; %定位时间变量 x=[0,0,-1,1,2,1,-1,0,0]; stem(n,x); grid; % 绘制棒状图 line([-3,5],[0,0]); %画x轴线 xlabel('n'); ylabel('x[n]') 运行结果如图所示。
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零， 方差σ2相同。
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩 （均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
随机信号平稳性实验
二 利用matlab中的simulink模块对声音随机 信号分析： 1. 建立simulink分析模块 (1)启动matlab,在命令行窗口输入命令： simulink,启动simulink.
(2) 建立仿真分析模块：在simulink工作窗口的 file菜单，按File New Model 顺序建立分析模块，
(5)示波器的建立。 在simulink文件夹中选择sink目录，在右边的可 选模块窗口中选择Scope模块并拖入分析模块编 辑器中。 2.仿真 选菜单Simulation start 来运行此分析输入的 语音信号，双击Scope图标，即可看到语音信 号的自相关函数的图形。
【实验数据分析】 实验数据分析】 多次仿真实验，记录音频随机信号的自相关 函数，观察并分析其在短时内自相关函数的 变化幅度。 实验结论】 【实验结论】 根据分析，音频随机信号在短时内具有近似 平稳特性即所谓的“短时平稳性” 实验结论】 【实验结论】 短时平稳性对音频信号的处理有什么意义？
n 1 2 n 1 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) = F(x1 , x2 ,..., xn ; t1 +τ , t 2 +τ ,...,t n +τ )
成立。则称X(t) 具有严格平稳性（或强平稳 性），也称X(t)是严格平稳随机信号（或强平 稳随机信号）。
【实验方法】 实验方法】 一、随机信号的获取。实验中采用了两种声音 信号：语音信号和音乐信号。语音信号可以通 过麦克风，由windows自带的录音机软件录下自 己的声音。音乐信号可采用现成的wav音乐文件 。 二 、 随 机 信 号 平 稳 性 的 分 析 。 通 过 matlab 的 simulink功能模块计算声音信号的相关性，进而 验证随机信号的短时平稳性。
(完整版)平稳随机信号
号、声信号及震动信号等等；
1.3 随机信号处理
• 应用：生物医学工程、声学、声纳、雷达、 地震学、语音通信、数据通信、核子科学 等领域。
1.3 随机信号处理
• 历史：
第一阶段：经典随机信号理论和技术生长、发展 和成熟时期。
随 机
概率密度
p(x) dP(x) dx
一阶矩
变 均值
量
均方值
数 字
X 方差
特 征
E[X ] xp(x)dx
D 2 E[ X 2 ] x 2 p(x)dx
2 E[ X 2 ] x 2 p(x)dx
二阶原 点矩
二阶中 心矩2.1 随源自信号• 随机变量数学描述
随 联合概率密度： p(x, y)
机 变 量
X 和
Y
cov[ X ,Y ] E[( X X )(Y Y )*]
协方差函数： E[ XY *] E[ X ]E[Y ]*
2.1 随机信号
• 随机信号
概念：
一个随机信号（或序列）是一个随机过程，它 在每个时间点上的取值都是随机的，可用一个 随机变量表示。 或者说，一个随机过程是一个随机试验所产生 的随机变量依时序组合得到的序列。
1.2 确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定 性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确 定性信号(随机信号)。
1.2 确定性信号与非确定性信号
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT )
b) 非周期信号：在不会重复出现的信号。
X
现代信号处理实验一平稳信号产生及时频分析实验结果-
若平稳信号 X 为实信号，则其自相关函数：
xx (m) xx (m)
即 xx (m) 为偶函数； 若平稳信号 X 为复信号，则：
* xx (m) xx (m)
（1-19）
（1-20）
即， xx (m) 是 Hermitian 对称的。 性质 3 若平稳信号 X、Y 为实信号，则其互相关函数：
虽然反映系统动态特性的这些参数的求取可以根据定义式通过输入幅度为单位值的不同频率的正弦信号或单位冲激测量相应的输出响应来求得但这两种方式既费时又不准确而且还存在不能实现在线识别即系统在工作状态下进行动态特性测量的共同缺点
实验一
随机信号的产生及时频域表征
一、 实验目的
1、 掌握平稳随机信号的产生，平稳随机信号在时域的描述和频域上的描述及表征，并用 Matlab 实现。 2、 掌握平稳随机信号在平稳随机信号的统计特性分析，包括：自相关函数、互相关函数及相 关系数的分析。
(1-26)
m
令z e
j
，得到：
Pxx (e j ) xx (m)e j m
Pxy (e ) xy (m)e
j
(1-27)
j m
功率谱反映了信号的功率在频域上随频率 的分布，所以也称 Pxx (e ) 和 Pxy (e ) 为功率谱密
式中的 n2 n1 ，则称 x(n) 是宽平稳的随机信号。
(1-4)
宽平稳信号是一类重要的随机信号。在实际中，往往把所要研究的随机信号视为宽平稳的，这 样将使问题的研究大为简化。而且事实上，自然界中的绝大部分随机信号都是宽平稳的。 对于一平稳随机信号 x(n) ，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶特性和单一 样本函数在长时间内的统计特性一致，则称 x(n) 为各态遍历信号。对于各态遍历信号，可像确定性 的功率信号那样来定义一阶和二阶数字特征。
随机过程的平稳性分析
随机过程的平稳性分析随机过程是描述随机变量随着时间或空间的变化而产生的一系列随机变量的数学模型。
平稳性是对随机过程中的统计特性进行分析的重要概念之一。
在随机过程中，平稳性是指随机过程的统计特性在时间或空间上的不变性，即该过程在不同时间或空间下具有相似的统计性质。
1. 随机过程的基本概念随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程是在离散时间或空间上进行观测和分析的随机过程，而连续随机过程则是在连续时间或空间上进行观测和分析的随机过程。
随机过程的定义需要考虑概率空间、状态空间和时间参数等因素。
2. 平稳性的定义在随机过程中，平稳性通常分为严格平稳和宽平稳两种情况。
严格平稳是指随机过程的联合分布在时间或空间上的任何平移变换下保持不变；而宽平稳是指随机过程的均值函数和自相关函数在时间或空间上保持不变。
平稳性是对随机过程的统计特性做出的基本假设，它能够提供对过程的长期行为和性质的重要认识。
3. 平稳性分析的方法在实际问题中，我们可以通过一系列统计方法和技术来对随机过程的平稳性进行分析。
常用的方法包括自相关函数法、功率谱法、小波分析法等。
这些方法能够帮助我们对随机过程中的平稳性进行定量描述和分析，从而更好地理解随机过程的统计特性。
4. 应用实例随机过程的平稳性分析在实际中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们可以利用平稳性分析来对金融时间序列数据进行建模和预测；在通信领域，我们可以利用平稳性分析来优化信号处理算法和系统设计。
这些应用实例充分展示了平稳性分析在随机过程中的重要性和实用性。
5. 结论随机过程的平稳性分析是对随机过程统计特性进行深入了解和研究的重要手段。
通过对随机过程的平稳性进行分析，我们可以更好地理解随机过程的规律和性质，为实际问题的解决提供有效的方法和思路。
以上是关于随机过程的平稳性分析的相关内容，希望能对读者有所帮助。
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(5)示波器的建立。 在simulink文件夹中选择sink目录，在右边的可 选模块窗口中选择Scope模块并拖入分析模块编 辑器中。 2.仿真 选菜单Simulation start 来运行此分析输入的 语音信号，双击Scope图标，即可看到语音信 号的自相关函数的图形。
【实验数据分析】 实验数据分析】 多次仿真实验，记录音频随机信号的自相关 函数，观察并分析其在短时内自相关函数的 变化幅度。 实验结论】 【实验结论】 根据分析，音频随机信号在短时内具有近似 平稳特性即所谓的“短时平稳性” 实验结论】 【实验结论】 短时平稳性对音频信号的处理有什么意义？
二 利用matlab中的simulink模块对声音随机 信号分析： 1. 建立simulink分析模块 (1)启动matlab,在命令行窗口输入命令： simulink,启动simulink.
(2) 建立仿真分析模块：在simulink工作窗口的 file菜单，按File New Model 顺序, x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) = F(x1 , x2 ,..., xn ; t1 +τ , t 2 +τ ,...,t n +τ )
成立。则称X(t) 具有严格平稳性（或强平稳 性），也称X(t)是严格平稳随机信号（或强平 稳随机信号）。
(3)把wav.文件设置成为simulink分析模块的信 号源。 在simulink库浏览器中打开DSP Blockset,进入 Blockset DSP sources选择From Wave File 图标 ，拖入模块编辑器。
(3)自相关分析器的建立 如上，仍在DSP Blockset中，选择statistic文件夹 从右边运算模块窗口中选择Autocorrelation 模块， 拖入模块编辑器。 (4) 选菜单Simulation start 来运行此分析输入 的语音信号，双击Scope图标，即可看到语音信 号的自相关函数的图形
2) 广义平稳性：随机过程{X (t ), t ∈ T } ,如果其均 值与相关函数存在，并且满足：均值为常数； 相关函数与两时刻 (t1,t2 ) 的绝对值无关，只与 相对差τ = t1 − t 2有关， E[ X (t )] = η = 常数 R (t1 , t 2 ) = R (t + τ , t ) = R (τ ) 则称X(t) 具有广义平稳性（或弱平稳性、宽平 稳性），也称X(t)是广义平稳随机信号（或弱 平稳随机信号、宽平稳随机信号）。
【实验步骤】 实验步骤】 随机信号的获取： 一，语音信号的获取。 （1）将麦克风接入计算机声卡的输入端。 （2）打开Windows的录音机软件。打开录 音机软件的途径：开始 程序 附件 娱乐 录音机 （3）打开录音机并开始录入语音 将语音信号以wav. 文件格式存入硬盘指位 置
2. 音乐文件的获取。 由实验指导教师在硬盘的指定位置给定一段音 乐wav.文件
【实验方法】 实验方法】 一、随机信号的获取。实验中采用了两种声音 信号：语音信号和音乐信号。语音信号可以通 过麦克风，由windows自带的录音机软件录下自 己的声音。音乐信号可采用现成的wav音乐文件 。 二 、 随 机 信 号 平 稳 性 的 分 析 。 通 过 matlab 的 simulink功能模块计算声音信号的相关性，进而 验证随机信号的短时平稳性。
随机信号平稳性实验
【实验目的】 实验目的】 通过对几个实用随机信号（语音信号， 通过对几个实用随机信号（语音信号，音乐信 号）的平稳性分析，加深对随机信号平稳性的 的平稳性分析， 理解。 理解。
【实验原理】 实验原理】 随机信号的平稳性可以分为严格平稳和广义 平稳，分别定义如下： {X 1） 严格平稳性：随机过程，(t ), t ∈ T } 如果其任 意n维概率分布函数具有下述的移动不变性：任 取 t , t ,..., t ∈ T与x , x ,..., x ∈ R ，对于满足的任意 t1 + τ , t 2 + τ ,..., t n + τ ∈ T τ值，始终有