2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学

2014年自主招生考试数学模拟试题

一、一个赛跑机器人有如下特性：

（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；

（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．

解：约定用x 轾犏

表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50

a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次

数为50

1a 轾犏-犏犏

，于是，所需时间

50

()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏

．

计算得：

(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a

骣÷

ç匙-=-?÷ç÷ç桫.

于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．

二、在ABC

中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

解：因为

)sin sin sin A B C ++

s i n 2s i n

c o s 22

sin 2

2sin cos .22

B C

B C

A A

A A A +-=+

?骣ç=+ç桫

令sin

2

A

x =，则01x <<，于是

()2sin cos 2

2A A f x 骣ç=+ç桫

(

2x =+ （ 01x <<）

求导，得 (

)(

'0f x x =+

，得22

x -=

.

在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >

；在22

x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.

所以(

max 2()(32

f x f -==+

当22arcsin 2A -=

时，三角式)sin sin sin A B C ++

取得最大值(

3+

三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b

+=>>

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点

构成的三角形的面积为

3

.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为1

2-

，求斜率k 的值； （2）若点7

(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.

解：（1）因为22

221(0)x y a b a b

+=>>满足：

222a b c =+，

c a =

122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得22

55,3

a b ==，（代入消元法解方程组）

所以，椭圆方程为22

155

3x y +=.

将(1)y k x =+代入22

155

3

x y +=中，得

2222(13)6350k x k x k +++-=，

4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.

设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）

则 2122631k x x k +=-+

（韦达定理）

因为AB 中点的横坐标为12

-

， 所以 2231

312k k -=-+,

解得 3

k =±. (解方程)

（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，2122

35

31

k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777

(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）

2121277

()()(1)(1)33x x k x x =+++++

（代入消元）

2221212749

(1)()()39

k x x k x x k =++++++

222

2

222357649(1)()()313319

k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）

422

2

316549

319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()2

2223154931

9k k k k ++=-

+

++

4

.9

=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？

（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，

商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：

P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，

即不超过20人排队结算的概率是0.75.

（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=

2

1，

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为7

7)2

1(C ；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为61

7)21)(21(C ；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5

227)2

1()21(C ；

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：