2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学
2014年自主招生模拟数学试卷(附答案)
2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。
2014年“北约”“华约”自主招生数学模拟试题带答案
2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学（满分150分）第一部分：填空题（共5小题 每题10分）1. 若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= 1 .2. 在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .3. 设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.4. 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 9y ²-12x-4=0 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围-1≤a ＜0或0＜a ≤32. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tand ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、 选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、 解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014年自主招生考试模拟试题 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题—— “华约”模式一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？二、在ABC 中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值.六、 已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014年乐清中学自主招生考试——数学(含参考答案)word版
2014年乐清中学自主招生考试——数学（考试时间：90分钟，总分：150分）一、选择题：（每小题6分，共48分）1、计算： 322)31()21(2----+-的值是（ ）A ．222+B ．224-C ．232+-D ．230--2、如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，设2，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数为M ，这四个数据的中位数为N ，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M =NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小不确定 3、如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A 、B 、C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为（ ） A ．310 B ．335 C ．3310 D ．255、如图， Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线xky =（x ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ．106、用min {a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}11min{22x x y -+=，，则y 的图象为（ ）AABCD第11题7、如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2014拍时，你听到的是（ ）A ．同样的音“1”B ．同样的音“3”C ．同样的音“5”D ．不同的两个音第7题8、如图，AB 是半圆的直径，线段CA ⊥AB 于点A ，线段DB ⊥AB 于点B ，AB =2，AC =1，BD =3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是（ ） A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+二、填空题：（每小题6分，共42分）9、若k x x +-232有一个因式是x +1，则k =_____________． 10、若不等式043)2(＜b a x b a -+-的解集是94＞x ， 则不等式032)4(＞b a x b a -+-的解集是_____________．11、如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与DE 相交于点BF 与CE 相交于点Q ，若210cm S APD =△，220cm S BQ C =△，则图中阴影部分的面积为_____________2cm ．12、设0≤a ≤5 且a 为实数，整数b 满足3b =a (3a －8)，则符合条件的整数b 有_____________个． 13、某建筑公司有甲乙两个工程队，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍；如果从乙队调若干人去甲队（至少调一人），则甲队人数为乙队人数的3倍．那么甲队原来至少有_____________人．14、如图，OA 与OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，点C 在OA 上，OC =1，CA =2，连接BC 并延长交⊙O 于点D ，则△DOC 的面积是_____________． 15、已知二次函数）＞（02a c bx ax y ++=经过点M （－1，2）和 点N （1，－2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ， 以下说法正确的有_____________（填序号）． ①b =－2；②该二次函数图像与y 轴交于负半轴；③ 存在这样一个a ，使得M ，A ，C 三点在同一条直线上； ④若a =1，则2OC OB OA =⋅．135右中左DCABA三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、（1）化简：1814121111842+-+-+-+--a a a a a ．（2）解关于x ，y ，z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=-030102yz x z x y x ．17、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC =BC ，D 为弧AB 上一点，延长DA 至E ，使CE =CD ． （1）求证：∠ACE =∠BCD ． （2）若CD BD AD 3=+，求∠ACD 的大小．18、如图，长方形ABCD 中，点P 沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图所示．（1）求长方形的长和宽．（2）求m ，a ，b 的值．（3）当P 点在AD 边上时，求S 与t 的函数解析式．ED 第17题B A19、如图，已知一次函数41042+-+=m m x y 与二次函数4842+-+-=m mx x y 相交于点A ，B （A 在B 的右侧），点C 为抛物线上的点，且BC 平行于x 轴． （1）证明：当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数． （2） 求△ABC 的面积．（3）若抛物线4842+-+-=m mx x y 与直线y =7交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．第19题2014年乐清中学自主招生考试——数学参考答案一、选择题：（每小题6分，共48分）二、填空题：（每小题6分，共42分） 三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、解：（1）11616-=a 原式．（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=221z y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===21323z y x ．17、解：（1）AC =BC ，CE =CD ⇒∠CAB =∠CBA =∠CDE =∠CED ⇒∠ACB =∠ECD ⇒∠ACE =∠BCD ． （2）AC =BC ，CE =CD ，∠ACE =∠BCD ⇒△ACE ≌△BCD ⇒AE =BD ⇒AD +BD =AD +AE =DE =3CD⇒∠ECD =120°⇒∠ACB =120°．18、解：（1）6~8秒点P 以2单位/秒的速度从点C 到点D ，∴CD =4，AD =8．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=2)13(2)(2204b m a b m a m a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===1141b a m ．（3）⎩⎨⎧≤+-≤≤+-=）＜（）（1311262118484t t t t S19、解：（1）证明：⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=484410422m m x x y m m x y ，解得m x A 2=，12-=m x B ∴当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数．（2）A （2m ，4842+-m m ），B （2m －1，3842+-m m ），二次函数484)2(22+-+--=m m m x y∴A 为抛物线顶点，∴C （2m +1，3842+-m m ），∴S △ABC =1．（3）令74842=+-+-m mx x ，解得38422)38(416422--±=+-±=m m m m m m x要使x 为整数，3842--m m 应为完全平方数，设22384n m m =--（n 为正整数）⇒227)22(n m =--⇒7)22(22=--n m ⇒7)22)(22(=--+-n m n m ∴⎩⎨⎧=--=+-122722n m n m 或⎩⎨⎧-=---=+-722122n m n m ，解得⎩⎨⎧==33n m 或⎩⎨⎧=-=31n m∴m =3或－1．。
浙江省余姚中学2014年自主招生数学模拟试卷及答案
浙江省余姚中学2014年自主招生数学模拟试卷一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1．二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式）A ．a+bB ．-a-bC ．a-b+2cD ．-a+b-2c2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。
每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。
A ．20根 B ．21根 C ．24根 D ．25根 5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．328 B ． 528 C ． 356 D ． 5566．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,1223,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 487二、填空题（共7题，每题5分，共35分）8. 已知()21()()4b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。
9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ， 则BM CNAM AN+= 。
10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，ca的取值范围是 。
2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析
2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）若a为实数，则化简的结果是（）A．﹣a B．a C．±a D．|a|2．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣33．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC 的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=24．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣5．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）A．负数 B．正数 C．非负数D．非正数6．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元7．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE （∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．9．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是．12．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．13．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．15．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．16．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB 为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．18．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．三、解答题（共4小题，共50分）19．（12分）（2015•永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．20．（12分）（1999•福州）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．21．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n﹣1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？22．（14分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB 边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．D．2．D．3．A．4．A．5．D．6．B．7．C．8．C．9．D．10．B．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是a≤1．12．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．13．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2=c2+d2．15．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8．16．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是p＜﹣1．18．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．三、解答题（共4小题，共50分）19．（1）；（2）最大值为10．20．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．【点评】此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强．21．【解答】解：（1）∵n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n 时，就可得下列n个等式：13﹣03=3×12﹣3×1+1，23﹣13=3×22﹣3×2+1，33﹣23=3×32﹣3×3+1…n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3（12+22+32+…n2）﹣3（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+…n2==．（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A1（，0）A2（，0）A3（，0）A4（，0）…A n﹣1（，0），点B1（，﹣（）2+2（）+3），B2（，﹣（）2+2（）+3）…B n﹣1（，﹣[]2+2+3），∴S1=，S2=，S3=…S n=∴S1+S2+S3+…+S n==．∴①当n=2013时，S1+S2+S3+S4+…S2013=；②∵S1+S2+S3+…S n==+﹣，∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A点坐标，利用点在函数图象上得出B点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键．22．【解答】解：（1）当t=时，S最大=．（2）在直角三角形BQP中，BP=BQ，解得t=0．因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似（3）作PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，则PQ===．PO===．OQ===≠t（t无解）．∴QP不与OQ垂直设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ∴，∴PQ2=t2，PQ2=OQ2﹣OP2=t2﹣t2+t﹣9=t﹣9t2=t﹣9，解得t=3，t=15（不合题意舍去）∴当t=3是△OPQ是直角三角形．（4）①PO=，OQ=t，PQ=令PO=OQ=PQ，解t无解∴△OPQ不能成为正三角形．②设Q的速度为x，则OQ=xt．OP2=t2﹣t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2﹣t+12令OP2=OQ2=PQ2解得x=，t=舍去负值，则t=因此Q点的速度为，t=．【点评】该题综合运用了三角形相似有关性质和勾股定理，同时运用了分类讨论和假设的数学思想，是道代数几何压轴题．。
2014年自主招生数学模拟试题(华约联盟)
2014“华约联盟”自主招生数学模拟试题（时间： 90分钟，分值：满分100分）1.（10分）设M 是集合{}1,2,3,,2014S = 的子集，且M 中每一个自然数（元素）恰恰有一个0，则集合M 所含元素最多有多少个？2.（15分）已知△ABC 的三个角,,A B C ，满足2A C B +=，11cos cos cos A A B +=-, 求cos2A C -的值3.（15分）已知抛物线22y px =及定点(),A a b ，(),0B a -,2(0,2)ab b pa ≠≠。
M 是抛物线上的点, 设直线,AM BM 与抛物线的另一交点分别为12,M M ．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要12,M M 存在且12M M ≠)直线12M M 恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.4.（15分）某电子玩具按下钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是21。
从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为32,31，若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为52,53，记第n )1,(≥∈n N n 次按下按钮后出现红球的概率为n p 。
（Ⅰ）求2p 的值；（Ⅱ）当2,≥∈n N n 时，求用1-n p 的表达式；（Ⅲ）求n p 关于n 的表达式。
5．（15分）已知数列{}n a 中，11,2a =且11123(),22n n n n a a n N ++++=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
6.（15分） z 为复数，则2T z z z =+-++的最小值为多少？7.（15分）（Ⅰ）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ， 求证：.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++。
2014淮北一中数学自招仿真模拟及答案
2014年自主招生数学仿真模拟试题2014.2.26一、填空题（每小题7分，共49分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共71分）8.（11分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．9.（12分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．10.（12分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yx OPAB11.（12分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．12.（12分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ; （2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．13.（12分）在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==． （1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．2014淮北一中数学自招仿真模拟答案1．【答案】{3,0,2,6}-.【解析】提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．4．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 【解析】提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<- 等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ)． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．【答案】15000.【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；[来源:学。
2014年自主招生数学选拔试卷(已修改)
√自主招生数学C. 20/21模考试卷(总分120分，考试时间90分钟。
） 1. (8分)过点C(1,-2)的两条相互垂直的直线，与抛物线 =4 分别交与A 、B 两点，则直线AB 的方程可能为( )A. − −2=0B. 2 − −1=0C. −2 −1=0D. −2 −2=02. (8分)方程 +4 −8 + +2=0的实数根的个数（重根依重数计算）是( )A.5B.3C.6D.43. (8分)有个立方体，六面颜色都不相同。
设立一个空间直角坐标系，使得每一面恰垂直于一个坐标轴。
现转动该立方体，但每次只允许绕坐标轴顺时针或逆时针旋转90度，且6种旋转的概率等可能。
则旋转4次之后，立方体恢复原来状态的概率是( )A. 16/216B. 18/216 D. 21/2164. (8分)已知函数 :ℝ →ℝ ∪{0}，对任意的 , , ∈ℝ，都成立1) (0, )=2) ( , ( , ))=03) , ( , ) ≥ ( , ), ( , )则对任意的 , , ∈ℝ，下列等式中不恒成立的是( )A. ( , ), ( , ) =0B. , , ( , ) =0C. , ( ( , ), ) =0D. , ), ( , ) =0 5. (8分)cos 18°−sin 36°=( )A. 5− B.(√5−1)/2 6. (8分)复数z 满足| |=1A. 1/2B. 2/3C. 1D. 3/2( )C.√5/4D. 5/8，则使| −3 +1|取得最小值的z 的实部为( )3/2 枣庄八中数学组陈文编辑7. (18分) 已知m 和n 为互质的正证明： + 为有理数。
8. (18分)已知 =1， =2，且求 质的正整数，实数 满足 + 和 + 均为有，且对任意的整数n ，都有− =1 lim →均为有理数9. (18分)设 , , , , >010( +10. (18分)如图所示，在平行四边与BD的交点，E、F、G、H分别为OA AH交DC于P，PG交CB于Q，QF交设平行四边形ABCD的面积为1890，求四+ + + + =1，证明：+ + + )≥ + + + + +1 5行四边形ABCD中，O为ACOA、OB、OC、OD的中点，BA与R，RE交AD于S。
2014年高一自主招生(数学)答案
芜湖一中2014年高一自主招生考试数学参考答案一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）8. 14 9. 2 10. 1 11. 8 12. 0<a <1 13. 144 14. 164a -≤<15.解：原方程组可变形为94()()1094()()=24x y x y x y x y ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+⋅+⎪⎩………………………………..3分于是94x y x y++和可看作方程210240t t -+=的两个根.求出此两根为124,6t t == 即：9444(1)(2)4966x y x y y x y x ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩或…………………………………………………..6分 由方程组(1)得：22490640x x y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩（无解）由方程组(1)得：22690440x x y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解出32x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意…………………………………………………………………….10分16.解：由COE ADE S S ∆∆=知12CBD AOB ABC S S S ∆∆∆==，从而D 为AB 中点……………3分 又CD 为中线，AO 为中线，所以E 为三角形ABC 重心，则113OE AO ==，得点(1)E -0，…………………………………………………………6分 又根据4cos ,5ABC ∠=得出OB=OC=4，从而结合图知(4,0),(4,0)B C -……………8分根据题意可设抛物线解析式为2(4)y a x =-，将(1)E -0，代入得：116a =- 化简得抛物线的解析式为2111y x x =-+-……………………………………….10分 （2）当辅设公路总长l 取最小值时，点Q 与H 重合， D 、P 、N 、Q 四点共线，此时∠APD=120°， ∵∠DAG=60°，∴∠ADM=30°，故∠DAP=180°-120°-30°=30°． 于是，收费站P 的几何位置在以AD 为底边、两底角为30°的等腰三角形的顶点处，H 即为BC 的中点处．………………………………………………………………………………13分18 .设正整数q p n m ,,,满足)13(),13(22-=+=q p n q p m ，求满足条件的所有q 值.解：由已知得：131322-+=q q n m ，设m,n 的最大公约数是t ，令,,00t n n t m m ==则有：131322202-+==q q n m n m （*）……………………………………………..4分由1),(00=n m 知：1),(2020=n m ，从而（*）左边是既约分数，不妨设：,13,132020kn q km q =-=+（k 为正整数）…………………………………………..8分于是有：26)(2020=-n m k ，即：kn m n m 26)()(0000=+⋅-是26的一个正约数，由于)()(0000n m n m +-与具有相同的奇偶性，故只能满足k=2,13)()(0000=+⋅-n m n m得出：6,700==n m ，则854921320=⇒⨯==+q km q .经检验，当)85,2,12,14(),,,(=q p n m 时，符合题意.故d 的值只有85…………….13分19证明：连结图中各线，根据题意得：090OCE ONE ∠=∠=，∴,,,O N C E 四点共圆………………………………3分COB CEN ∴∠=∠OBC EMC ∴∆∆∽…………………………………6分 OC EC BC MC∴= OCE BCM ∠=∠，则OCE BCM ∆∆∽………………………………..9分 从而COE CBM ∴∠=∠ 进而COE DOE ∠=∠由OCE ODE ∆∆≌得：090OCE ODE ∠=∠=因此. DE 是圆O 的切线. ………………………………..13分。
2014年自主招生模拟试题(1)
2014届高三自主招生模拟试题（1）1．设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（A ）（A ）（B ）（C ）（D ）2．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解]当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．3.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是( B )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2解：由0sin cos 2sin cos =+-+B B A A 得，0)4sin(22)4sin(2=+-+ππB A即1)4sin()4sin(=++ππB A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，1)4sin(=+πA 且1)4sin(=+πB ，从而4π==B A ，∴2π=C∴2sin sin =+=+B A cba 4.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]A.2005B.2006C.2007D.2008 解：3+n a =2+n a -1+n a =(1+n a -n a )-1+n a =-n a , 因此，对n ≥1，n a +1+n a +2+n a +3+n a +4+n a +5+n a =0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为1a ，即1a =2006， 于是前2006项的和等于1a +2a =2007.所以选(C).5. 如图，S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O 为底面内的一点，若OSA a ?， OSB b ?,OSC g ?，则tan tan tan a b g 的取值范围是 ( )A. )+B.C. 轾犏臌D. (1, 解析：A 提示：构造长方体对角线与三条棱所成的角；6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13， 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ ）A. 24181B. 26681C. 27481D. 670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．7.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-= ，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=。
2014年温州中学自主招生数学试题参考答案
2014年温州中学自主招生数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案B D D B B A 二、填空题7. [-2,3]; 8.6481 ; 9. 4 ; 10.1001 ; 11.52 ; 12. 900 ; 13.41 ; 14. 18 ; 三、解答题15.解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-61111xy y x 解：（21,31），（31,21--） 16.已知函数y=x 2-2kx+4k+1与y=2x 的图像有两个不同的交点，且交点可以被一个半径为5的圆片同时覆盖，求实数k 的取值范围解：由已知x 2-2kx+4k+1=2x ，即x 2-（2k+2）x+4k+1=0有两个不同的实根，∴△=4（k 2-2k ）>0,得k>2或k<0，又交点总可以被一个半径为5的圆片所同时覆盖， 设交点为A （x1,y1）,B(x2,y2),则|x1-x2|≦2，即k 2-2k-1≦0;解得1-2≦k ≦1+2综上，1-2≦k <0 或2<k ≦1+217. 如图，△ABC 的内切圆分别与三边BC 、CA 、AB 切于点D 、E 、F ，连接AD 交内切圆于G 点，GE ∥BC求证：GD 平分∠FGC证明：连结FD易知△AFG ∽△ADF 及AF=AE从而有AEAG AF AG FD FG == 又因为GE ∥BC 且CE=CD 所以EC GD AE AG CD GD == 又因为∠GDC=∠GFD, 从而△GFD ∽△GDC所以∠FGD=∠DGC , 即GD 平分∠FGC18.解：令x n n n =-=-++++6)12(6)34(951Λ，即62x =n(2n-1)所以n(2n-1)≡0(mod6)，进而n ≡0(mod6) 或n ≡2(mod6)（1）若n ≡0(mod6) ,设n=6m ，得)112(2-=m m x因为(m,12m-1)=1 ，所以m 与12m-1均为平方数，但12m-13≡(mod4)，矛盾。
2014自主招生数学模拟试题及答案
数学模拟试题(第一套)一、选择题1.在ABC ∆中，c b a 3=+，则C B A cos cos cos 的最大值为（ ）.A.817 B. 81 C. 91 D. 818 2. 在正四棱锥ABCD P -中，M ，N 分别为PB ，PD 的中点，且侧面棱长等于底面边长.则异面直线AM 与BN 所成角的余弦为（ ）.A. 61B. 31C. 32D. 433.掷两枚骰子(每枚有6面，分别是6~1点)，掷到两枚点数之和为7点以下的概率为（ ）.A. 61B. 125C. 32D. 214.直线1)1(+-=x k y 与曲线21x y -=有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）. A. ]21,0( B. ),0(+∞ C. )21,0( D. ),21(+∞ 5.从10个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到( )种面值.A. 70B. 68C. 66D. 646.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有一半到A 景点，一半到B 景点，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）A. 1:1:1B. 3:2:1C. 2:2:1D. 3:2:2 7. 在ABC ∆中，在AB 上取点1C 使得AB AC 411=，在BC 上取点1A 使得BC BA 411=，在CA 上取点1B 使得CA CB 411=，1BB 与1CC 交于点2A ，1CC 与1AA 交于点2B ，1AA 与1BB 交于点2C .则=∆∆ABCC B A S S 222（ ）A.134 B. 74 C. 135 D. 95 8. 从9~1九个数字中取出6个，得到一个顺子(即至少有5个数为连续整数)的棋率为（ ）.A. 6966A A 4B. 5955A A 5C. 69665955A A 4A A 5-D. 69665955A A 5A A 4- 9. 光线从原点发出，经直线013=+-y x 反射后经过点)0,1(，则光线在直线上的入射点为（ ）.A. )0,1(-B. )33,0(C. )332,1(D. )33,2(-- 10.63)1(xx x ++的展开式中2x 的系数为（ ）. A. 20 B. 30 C. 40 D. 50二、解答题11. 在边长为2的正方体为1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点.求点1A 到面ACD 的距离.12. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70.求这4个数.13. 在ABC ∆中，已知2sin cos sin cos =+ABB A .求证： 90=∠C .13. 把600粒花生分给100只猴子.请证明不管怎样分，至少有8只猴子分的花生一样多.14. 已知a ，b ，c 为正数.求证：2222cb a b ac c a b c b a ++≥+++++.数学模拟试题（第一套）答 案一、选择题1.利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系，)sin(3sin 3sin sin B A C B A +==+，2cos 2sin 32cos 2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos 32cos B A B A +=-.而12cos ≤-BA 所以312cos≤+B A ，所以97)cos(-≤+B A ，即97cos ≥C . CC C B A B A C B A cos )cos 1(21cos )]cos()[cos(21cos cos cos -≤++-=81781)2197(2181)21(cos 2122=+-⨯-≤+--=C . 答案： A10. 不妨设棱长为1，取PN 的中点E ，连接ME ，AE .在PAD ∆中，由余弦定理求出413=AE ，在AME ∆中，23=AM ，4321==BN EM ，由余弦定理求出61cos =∠AME . 答案: A11. 解法一:当第一枚1点，第二枚可以1，2，3，4，5点；当第一枚2点，第二枚可以1，2，3，4；当第一枚3点，第二枚可以1，2，3；当第一枚4点，第二枚可以1，2；当第一枚5点，第二枚可以1点，共15种情况，概率为1256152=. 答案： B 解法二:先算和为7点的概率为61，而剩余情况65中，大于7点的概率等于小于7点的概率，各为125. 答案： B12. 由数形结合，过点)1,1(的直线与单位圆的上半圆相交，斜率k 的范围为]21,0(. 答案: A13. 可得到的面值有2，4，5，6，…，64，65，66，68，70，从4到66是连续的，所以共66种. 答案: C14. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则2z x =，2zx y +=，y z =，所以2:2:1::=z y x . 答案： C7. 作11//CC D A ，则4111==BC BA BC BD ，而AB BC 431=，故AB BD 163=，AB AB AB D C 169163431=-=，所以4911221==AC D C AB B A ，13412=AA AB .类似的方法可求出131121=AA C A ，于是1AA 上的三条线段之比1:8:4.同样，可得1BB ，1CC 上的三条线段之比也都是1:8:4.27163298222212221222=⋅=⋅=∆∆C B B A B A C B S S C B A C B A ，139121121==∆∆AA B A S S C AA C B A ，4311==∆∆BC C A S S ABCC AA ，所以134431392716222=⋅⋅=∆∆ABC C B A S S . 答案： A15. 取到12345，⋅⋅⋅，56789之一的概率为5955A A 5，取到123456，…，456789之一的概率为6966A A 4所以得到一个顺子的概率为69665955A A 4A A 5-. 答案： C 16. 入射角等于出射角，进而算出斜率. 答案:B 17. 2x 可以是2个3x 和4个x 1的乘积，也可以是4个x 和2个x1的乘积，所以概率为3056C C C C 22464426=⋅=+. 答案： B二、解答题11. 取AC 的中点F ，容易求出DEF ∆的高DH （就是D 点到面ACD 的距离)为36.因为DE AA //1,DE AA 21=,所以1A到面ACD 的距离为D 点到面ACD 的距离的2倍,即362. 12. 设4个数为a ，b ，c ，d ，且d c b a <<<，则6个和为b a +，c a +，d a +，c b +，d b +，d c +.于是有d c d b c b d a c a b a +<+<+<+<+<+或d c d b d a c b c a b a +<+<+<+<+<+则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+70686664c b d a c a b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+68706664c b d a c a b a ，分别解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====38363430d c b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====39353331d c b a13. B A B B A A sin sin 2cos sin cos sin =+，B A B A sin sin 42sin 2sin =+， cos()cos()cos()sin(B A B A B A B A +--=-+， C B A B A C cos )cos()cos(sin +-=-.以下用反证法：假设1sin ≠C ，则CCB A sin 1cos )cos(--=-.只要证明1sin 1|cosC |>-C ，就导致矛盾.事实上，利用)21(1sin cos π<<>+x x x 即得，所以假设1sin ≠C 不成立，即90=∠C .14. 假设没有8只猴子分的花生一样多，那么至多7只猴子分的花生一样多.我们从所需花生最少情况出发考虑:分得0粒，1粒，2粒，…….13粒的猴子各有7只，分得14粒，15粒花生的猴子各有1只，于是100只猴子最少需要分的花生为6661514)13210(7=+++⋅⋅⋅+++⨯粒，现在只有600粒花生，无法使得至多7只猴子分的花生一样多，故至少有8只猴子分的花生一样多.15. 利用柯西不等式2222222)())((cz by ax z y x c b a ++≥++++，得⎝⎛+++++≥++++++++)()()])()()[((22222a c a c bc b cb a b a ac c b b a c a c b c b a222)()(c b a b a b a c++=⎪⎪⎭⎫+++.所以2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++。
2014自主招生数学(题卷)
2014年江油一中自主招生考试数学答题卷第 1 页 共 3 页江油一中2014年自主招生考试数学试题说明：考试时间100分钟，满分150分一、选择题（每小题4分，共48分）1、－5的相反数是 【 】A ．- 5B ．5C ．51D ．51-2、我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数 （保留三个有效数字）用科学计数法表示为 【 】A 、 91037.1⨯B 、71037.1⨯ C 、81037.1⨯ D 、 101037.1⨯3、使代数式)2(021-+-+x x x 有意义的x 的取值范围是【 】A 、1->x 且3≠xB 、1-≥x 或2≠x 或3≠xC 、1-≥xD 、1-≥x 且2≠x 且3≠x4、如图所示的几何体的左视图是 【 】A B C D5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-++<133423x x x x的解集在数轴上表示为【】A B C D6、已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为【 】A.9B.±3C.3D. 57、已知关于x 的一元二次方程02)1(2=+⋅+-x k k x 有解，若k 为整数，则k 为【 】 A 、0 B 、0，1 C 、0,1-， D 、1,28、如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 【 】A ．31B ．21C ．32D ．不能确定10、如图，已知双曲线)0(<=k xy 经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 【 】A ．12B ．9C ．6D ．411、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（⌒AB ）对应的中心角（∠AOB ）为120º，AO 的长为4cm ，则图中阴影部分的面积为【 】A 、)2316(+π cm 2B 、)238(+πcm 2 第8题图第9题图第10题图2014年江油一中自主招生考试数学答题卷第 2 页 共 3 页第12题图C 、)32316(+π cm 2D 、)3238(+πcm 2 12、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a ＋b ＋c＜0；②a －b ＋c ＜0；③b ＋2a ＜0；④abc ＞0；⑤3a ＋c ＜0．其中所有正确结论的个数是 【 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共24分）13、分解因式：=+-a ab ab 442．14、某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是___________15、如图，已知AB ∥DE ，∠CDE=2∠ABC=140°，则∠BCD= 度． 16、已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ．17、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ．若⊙O 的半径为2，则BF 的长为18、在平面直角坐标系xoy 中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B2，B 3，…分别在直线b kx y +=和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△都是等腰直角三角形，如果A 1（1，A 2（27，23），那么点A n 三、解答题：（共78分）19、(共16分)(1)计算282|31|60)12012()21(02++------Sin （2）先化简，再求值：)131(--+x x ÷1442-+-x x x，其中x 满足方程：062=-+x x20、(共12分)现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九（1）班随机调查了本校若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图。
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2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。
故所求的自然数为+∈N n ，且{}9,67,5,3,2,1∉n . 六、 已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围． 讲解： （1）当2a =时，2()ln f x x x x=+，（代入法） 22'()ln 1f x x x=-++，（求导） (1)2f =，'(1)1f =-， （求切点纵坐标，求斜率）所以, 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+. （斜截式） （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，等价于：12max [()()]g x g x M -≥， （变更问题）考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由列表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==， （求函数最值） 12maxmax min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， 所以，满足条件12()()g x g x M -≥的最大整数4M =. （3）对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立, 等价于：在区间1[,2]2上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值。
（变更问题） 由（2）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.(1)1f a =≥，可证当1a ≥时，在区间1[,2]2上，函数()1f x ≥恒成立.当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，（消失a ！）记1()ln h x x x x =+， （构造函数）21'()ln 1h x x x=-++， '(1)0h =.当1[,1)2x ∈时，有21'()ln 10h x x x =-++<； 当(1,2]x ∈时，有21'()ln 10h x x x=-++>，所以, 函数1()ln h x x x x =+在区间1[,1)2上递减，在区间(1,2]上递增，于是min ()(1)1h x h ==，（求出最小值）即 ()1h x ≥，所以，当1a ≥，且1[,2]2x ∈时，有()1f x ≥成立， 即对任意1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥.故实数a 的取值范围1a ≥.七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
解：特别取1a b c ===，由2224a b b c c a abc λ+++≤，得1λ≤.下面证明，当1λ=时，2224a b b c c a abc +++≤不等式成立。
事实上，不妨设a b c ≤≤，或c b a ≤≤，则有 ()()0b a b c c --≤， 得 222.b c c a abc c b +≤+ 于是 222a b b c c a abc +++()()()()22223212221234.a b c b abc a c ba cb ac a c b ≤++=+=⋅+⋅++++⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦=当1a b c ===，或{}{},,0,1,2a b c =时等号成立. 故所求实数λ的最大值为1。
八、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
证明： 如图，在ABC 中，取三边,,AB BC CA 的中点D ， E,，F ， 作OD AB ^，OE BC ^交于O ，连接OF ， 只要证明OF CA ^.因为OD AB ^，OE BC ^，所以 0OD AB ? ，0OE BC ?，即 ()0O F F A A D AB ?++， ()0O F F CC E BC ?++，有 11220OF CA AB AB 骣÷ç?÷ç+÷桫+ ， 11220OF AC CB BC 骣÷ç?÷+÷ç桫+ ，得 120O A CB B F 骣÷ç?÷+ç÷桫， ①120O B AB C F 骣÷ç?÷+ç÷桫 . ②由①+②，得 0O F O B F A BC ??，即 ()0A B B C OF ?= ，所以0AC OF ?，于是 OF CA ^，获证。