等差数列求和(顾文同)
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式
等差数列是指数列的相邻两项之差保持恒定的数列。
求和公式是用于计算等差数列的前n项和的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的求和公式：
1. 等差数列通项公式
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an 为数列的第n项。
2. 等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为前n项和。
由等差数列的通项公式和前n项和的公式，我们可以推导出等差数列的求和公式：
Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (2a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (a1 + (a1 + (n - 1) * d)) / 2
使用等差数列的求和公式，我们可以方便地计算等差数列的前
n项和。
这个公式在实际问题中经常被使用，例如计算连续数的和、计算累进的收入等。
需要注意的是，在应用等差数列求和公式时，我们需要确保等
差数列的首项、公差和项数的值是正确的。
总之，等差数列的求和公式是计算等差数列前n项和的有效工具，通过简单的数学运算，我们可以快速得出结果。
在实际问题中，我们可以根据该公式进行求和计算，减少繁琐的手工计算工作，提
高工作效率。
参考文献：
[1] 王福高，初等数学学科发展史，人民教育出版社，1999年。
[2] 李四华，高中数学教育理念研究，教材报刊杂志社，2005年。
等差求和公式高中数学
等差求和公式高中数学一、等差数列的定义。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
例如数列{a_n}：a_1,a_1 + d,a_1+2d,·s,a_1+(n - 1)d·s就是一个等差数列。
二、等差数列的通项公式。
a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1是首项，n是项数，d是公差。
三、等差数列的前n项和公式。
1. 公式一：S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导过程：- S_n=a_1+a_2+·s+a_n- 因为a_n=a_1+(n - 1)d，我们把S_n倒过来写S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1- 将这两个式子相加得2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_n - 1)+·s+(a_n+a_1)。
- 由于在等差数列中a_k+a_n-(k - 1)=a_1+(k - 1)d+a_1+(n - k)d=2a_1+(n - 1)d=a_1+a_n（k = 1,2,·s,n）。
- 所以2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
2. 公式二：S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导过程：- 因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中。
- 得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
四、等差数列求和公式的应用示例。
1. 已知首项、末项和项数求前n项和。
- 例：已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_n=21，n = 10，求S_n。
- 解：根据公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，将a_1=3，a_n=21，n = 10代入可得S_10=(10×(3 + 21))/(2)=120。
数列等差数列与等比数列的通项求和与应用
数列等差数列与等比数列的通项求和与应用数列是数学中一种常见的数值排列形式，而等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、通项公式、求和公式以及它们在实际应用中的意义和用途。
一、等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值保持恒定的数列。
数列中的公差是指相邻两项之间的差值大小。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，n为等差数列中的项数。
等差数列在实际应用中有广泛的用途。
例如，在财务分析中，如果一笔款项每年增加固定金额，那么这个增长可以用等差数列来表示；在物理学中，如果物体每秒的位置增加相同的距离，那么这个距离可以用等差数列来描述。
二、等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值保持恒定的数列。
数列中的公比是指相邻两项之间的比值大小。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为等比数列中的项数。
等比数列也在实际应用中有广泛的用途。
例如，在金融领域中，如果一笔投资每年按照相同的比例增长，那么这个增长可以用等比数列来表示；在生物学中，如果细菌数量每一代都以相同的比例增加，那么这个增长可以用等比数列来描述。
三、应用举例1. 等差数列的应用假设小明每天存放100元到银行，第1天存放100元，第2天存放200元，以此类推。
问第30天存放了多少钱？解答：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1=100，d=100，n=30，代入公式计算得到第30天存放了3000元。
2. 等比数列的应用假设小李投资了1万元到股票市场，每年收益率为5%。
问第10年后他的总资产是多少？解答：根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1=10000，r=1.05，n=10，代入公式计算得到第10年后他的总资产为16288.9467元。
《等差数列的前n项和》教案
《等差数列的前n项和》教案阜阳师范学校顾文同一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和〉的第一课时：等差数列的前n项和公式的推导和简单应用问题。
本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。
对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
（二）教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以学情分析，我制定了如下教学目标：知识与技能：(1)掌握等差数列前n项和公式;(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
体会模仿与创新的重要性（三）重点难点1、重点：等差数列n项和公式的推导及简单应用2、难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
（四）课程资源的开发与信息技术的整合本节复习课以课本例题、习题为切入点，充分利用课本资源，加强例题和习题挖掘，既达到复习重点概念和基本方法的目的，又指导和改进学生的学习方式、方法。
在课堂教学中充分利用信息技术的优势，使课堂教学直观、生动，启发学生开启智慧之门，激发学生的学习兴趣。
二、学情分析知识基础：我班学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。
认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
等差数列的求和
等差数列的求和等差数列是数学中非常常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的差值都相等。
在求和方面，等差数列也有相应的求和公式，可用于快速计算数列中各项的和。
等差数列的求和公式：在了解等差数列的求和公式之前，我们首先要明确等差数列的一些基本概念。
一个等差数列由首项（a₁）、公差（d）和项数（n）确定。
其中，首项是数列中的第一个数，公差是每一项与前一项的差值，项数表示数列中有多少项。
等差数列的求和公式如下：Sₙ = (n/2) [2a₁ + (n-1)d]其中，Sₙ表示等差数列的前n项之和，a₁是首项，d是公差，n是项数。
利用这个求和公式，我们可以迅速求解等差数列的和。
举例说明：假设我们有一个等差数列：2，5，8，11，14，17。
我们可以根据公差为3，首项为2来求解这个等差数列的前n项和。
首先我们需要确定n的值，即项数。
这个数列中有6项，所以n=6。
代入公式：S₆ = (6/2) [2(2) + (6-1)(3)]= (3) [4 + 15]= (3) [19]= 57因此，这个等差数列的前6项的和为57。
总结：等差数列的和求解可以通过等差数列的求和公式进行计算。
这个求和公式简化了繁琐的计算过程，使我们能够快速得到等差数列的前n 项和。
对于任意给定的等差数列，我们只需要确定数列的首项、公差和项数，就能够利用等差数列的求和公式求解数列的和。
了解等差数列的求和公式能够帮助我们更好地理解和应用数列的相关内容，在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
总结完毕，以上是关于等差数列的求和的内容。
通过应用等差数列的求和公式，我们可以快速计算等差数列的和，这在数学和实际问题中都具有重要的作用。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是数学中的一个基本概念，涉及到数列的概念和求和的方法。
下面我将详细介绍等差数列的定义、性质以及如何求等差数列的和。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差均为常数的数列。
等差数列通常用字母a表示首项，d表示公差。
数列的通项公式为an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
推导过程如下：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)Sn = (a + (a+(n-1)d)) + ((a+d) + (a+(n-2)d)) + ...Sn = n(a + an)/2其中an = a + (n-1)d（2）等差数列的和与项数的关系等差数列的和与项数的关系为Sn = n(a + an)/2。
通过这个公式，我们可以根据已知的前n项和和首末项来求解未知项数。
（3）等差数列的求和规律等差数列的求和规律是通过前n项和的公式实现的，公式为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差。
3. 求解等差数列的和的步骤（1）确定题目中给出的已知条件，如首项a、公差d以及项数n。
（2）根据已知条件，代入求和公式Sn = n(a + an)/2。
（3）利用代入后的公式计算得到和的值。
（4）最后，将计算结果写出，确保答案的正确性。
4. 一些例题与解答例题1：求等差数列3，7，11，...，99的和。
解答：首项a=3，公差d=4，项数n=?根据已知条件，应用求和公式Sn = n(a + an)/2。
由an = a + (n-1)d，可得99 = 3 + (n-1)4，解得n=25。
代入公式Sn = n(a + an)/2，得到S25 = 25(3 + 99)/2 = 1300。
例题2：已知等差数列的首项为5，公差为2，若前n项和为525，则求n的值。
等差数列求和
等差数列求和等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中一个重要的概念。
它由一系列的数字组成，其中每个数字与其前一个数字之差等于一个固定的常数，称为公差。
在这篇文章中，我们将探讨如何求解等差数列的和，以及一些应用示例。
一、等差数列的求和公式对于等差数列来说，它的求和公式是一个常见的数学公式，可以简化计算，提高效率。
求解等差数列的和需要使用到以下公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示等差数列的和，n表示数列的项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。
二、求解等差数列的和的具体步骤下面，我们将通过一个具体的例子来演示如何求解等差数列的和。
例题：求解等差数列1，4，7，10，13的和。
步骤1：确定数列的项数和公差。
这个数列的项数是5，公差为3。
步骤2：找到数列的首项和末项。
数列的首项为1，末项为13。
步骤3：代入求和公式，计算等差数列的和。
Sn = (n/2) * (a1 + an)= (5/2) * (1 + 13)= 2.5 * 14= 35所以，等差数列1，4，7，10，13的和为35。
三、等差数列求和的应用示例1. 金字塔的层数假设一个金字塔有10层，底层由等差数列构成，第一层有1个元素，公差为1。
我们可以用等差数列的求和公式来计算出这个金字塔的总元素个数。
Sn = (n/2) * (a1 + an)= (10/2) * (1 + 10)= 5 * 11= 55所以，这个金字塔总共有55个元素。
2. 等差数列的平均数对于一个等差数列来说，我们可以通过求和公式和项数来计算出它的平均数。
假设一个等差数列的和为100，项数为10，我们可以这样计算平均数：平均数 = 和/项数= 100/10= 10所以，这个等差数列的平均数为10。
四、总结等差数列求和是数学中一个重要的概念，它可以通过求和公式来简化计算。
在本文中，我们介绍了等差数列求和的公式和具体步骤，并给出了一些实际应用示例。
等差数列的前n项和公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
科学问题
大的数学家之一，被誉为“数
学王子”
情境导入
+ + + ⋯ + + = ？
首尾配对
相加
101
1 + 100 + 2 + 99 + ⋯ + 50 + 51
100
= 101 ×
= 5050
2
➢高斯算法实际上解决的事什么问题？
运用了等差数
列的哪个性质？
=？
5
5
讲授新课
（1）当n为偶数时，
原式= + + + − + ⋯ +
+
+
=
+
（2）当n为奇数时，
原式= + + + − + ⋯ +
=
−
+
+
+
+
=
− +
+
+
+
+
+
故对任意正整数n，有
+
−
+
=
+
=
= ×
××
+
=
10
10
课堂小结
➢1、 = + + ⋯ +
➢2、等差数列前n项和公式（两个）：
=
+
高中数学必修五-等差数列的前n项和
等差数列的前n项和知识集结知识元等差数列的前n项和知识讲解1．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n 项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．例题精讲等差数列的前n项和例1.已知数列{a n}的前n项和公式是则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列例2.已知等差数列{a n}的前n项和S n有最大值，且，则满足S n>0的最大正整数n的值为（）A．6B．7C．11D．12例3.S n为等差数列{a n}的前n项和，若S17=17，则a9=（）A．1B．2C．3D．4当堂练习单选题练习1.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若且S n有最小值，则使前n项和S n>0成立的最小自然数n为（）A．4038B．4039C．4040D．4041练习2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8=0，S11=33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4练习3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2018>0，S2019<0，那么此数列中绝对值最小的项为（）A．a1008B．a1009C．a1010D．a1011练习4.在等差数列{a n}中，a1=-2018，其前n项和为S n，若=5，则S2019的值等于（）A．0B．-2018C．-2019D．-2017练习5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=16，S m=25，a1=1（m≥2，且m∈N），则m的值是（）A．4B．5C．6D．7练习6.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S2+S4=3S3，a1=2，则a6=（）A．-13B．-12C．12D．13填空题练习1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=8，a1=2，则S5-S3=____练习2.数列{a n}共有k项（k为定值），它的前n项和为S n=3n2-2n（n≤k，n∈N*），现从这k项中抽取某一项（不含首项和末项），余下的k-1项的平均值为103，则k=____．练习3.在等差数列{a n}中，公差d>0，a1+a6=14，a2a5=40，则数列{a n}的前9项之和等于____．练习4.某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位_____个．解答题练习1.'已知等差数列{a n}满足a6=13，a2+a4=14，设{a n}的前n项和为S n．求{a n}的通项公式及S n．'练习2.'（2017秋∙韩城市校级月考）在等差数列中，a10=23，a25=-22，（1）该数列第几项开始为负；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．'。
等差 数列求和公式
等差数列求和公式等差数列求和公式，这可是数学学习中的一个重要知识点。
咱们从小学到高中，数学一直陪伴着咱们，等差数列求和公式更是常客。
先来说说啥是等差数列。
比如说 1，3，5，7，9 这样的数列，每一项和前一项的差值都一样，这就是等差数列。
那这个差值呢，咱们叫它公差，比如说上面这个数列，公差就是 2 。
等差数列求和公式是：Sn = n(a1 + an) / 2 。
这里的 Sn 表示前 n 项的和，n 是项数，a1 是首项，an 是末项。
给大家举个例子吧，咱们就说有个等差数列，1，4，7，10，13，16 ，19 。
这数列的公差是 3 ，咱们要算前 6 项的和。
首先，首项 a1 是 1 ，末项 an 就是 16 ，项数 n 是 6 。
那咱们就按照公式来算，Sn = 6×(1 + 16)÷ 2 = 51 。
是不是还挺简单的？我记得有一次，我在课堂上讲这个知识点，有个同学特别有意思。
我刚写出一个等差数列让大家求和，他就迫不及待地拿起笔开始算，嘴里还念念有词。
结果算得太着急，把公式都给用错了。
我走到他身边，轻轻敲了敲他的桌子，提醒他先把公式搞清楚再动手。
他不好意思地挠挠头，重新认真思考起来。
最后，他成功算出了正确答案，脸上那开心的笑容，就像解开了一个超级大难题一样。
咱们再深入一点，为啥这个公式能成立呢？其实可以这样理解。
咱们把这个数列倒过来写一遍，然后和原来的数列相加。
比如说上面那个例子，1 + 19 = 20 ，4 + 16 = 20 ，7 + 13 = 20 。
因为每一项相加的和都一样，而且一共有 6 项，两两一组，就有 6÷2 = 3 组。
所以总和就是20×3 = 60 ，这是两个数列相加的和。
那一个数列的和就是 60÷2 = 30 啦，这就和咱们用公式算出来的结果一样。
在实际生活中，等差数列求和公式也挺有用的。
比如说，你要计算一堆按等差数列排列的物品的总数，像一堆按等差数列堆放的盒子，就可以用这个公式。
等差数列如何求解等差数列的通项与前n项和
等差数列如何求解等差数列的通项与前n项和等差数列是数学中的一种常见数列，它的特点是每个元素与它的前一个元素之间的差值都是相同的，这个公共差我们通常用d表示。
等差数列的求解对于数学学习来说非常重要，因为它有丰富的应用，涉及到许多实际问题的建模和解决。
1. 等差数列的概念等差数列是指一个数列，其中每个数字与它的前一个数字之间的差值都是相等的。
数列中的第一个数字称为首项，通常用a1表示；公差是指相邻两个数的差值，通常用d表示。
例如，一个等差数列可以写为：a1, a2, a3, ..., an，其中a2 - a1 = a3 - a2 = ... = d。
2. 等差数列的通项公式为了求解等差数列的任意一项，我们需要使用通项公式。
通项公式的形式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
通过使用通项公式，我们可以快速求解等差数列中的任意一项。
3. 等差数列的前n项和除了求解等差数列的通项外，我们也经常需要求解等差数列的前n 项和，这个求和结果在实际问题中具有重要的意义。
等差数列的前n项和可以通过以下公式求解：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项的和，a1表示首项，an表示第n项，n表示项数。
这个公式也可以通过等差数列的求和公式推导得出，它简化了求和操作，并且可以快速求解等差数列的前n项和。
4. 示例让我们以一个具体的例子来说明如何求解等差数列的通项与前n项和。
假设我们有一个等差数列的首项a1为2，公差d为3，我们要求解这个等差数列的第10项的值和前10项的和。
首先，我们可以使用通项公式来求解第10项的值：a10 = a1 + (10 - 1) * d= 2 + 9 * 3= 29接下来，我们可以使用前n项和的公式来求解前10项的和：S10 = (10/2) * (a1 + a10)= (10/2) * (2 + 29)= 165所以，这个等差数列的第10项的值为29，前10项的和为165。
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。
求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。
一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。
例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。
三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。
以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。
假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。
其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。
2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。
假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。
其中a1为首项，a为总和。
3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。
等差数列总和的公式
等差数列总和的公式在数学的世界里，等差数列是一个非常重要的概念，而计算等差数列总和的公式更是解决许多数学问题的关键工具。
今天，咱们就来好好聊聊这个等差数列总和的公式。
首先，咱们得搞清楚啥是等差数列。
简单来说，等差数列就是一串数，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数就叫公差。
比如说 1，3，5，7，9 就是一个公差为 2 的等差数列。
那等差数列总和的公式是咋来的呢？咱们来一步步推导一下。
假设一个等差数列的首项是 a₁，公差是 d ，项数是 n 。
这个数列就可以写成：a₁， a₁＋ d ， a₁＋ 2d ， a₁＋3d ，…… ， a₁＋（n 1)d 。
那这个数列的总和 Sₙ 怎么算呢？咱们把这个数列倒过来写一遍：a₁＋（n 1)d ， a₁＋（n2)d ，…… ， a₁＋ 2d ， a₁＋ d ， a₁。
然后把这两个数列对应项相加，你会发现每一项的和都是一样的，都等于 a₁＋ a₁＋（n 1)d ＝ 2a₁＋（n 1)d 。
因为一共有 n 项，所以总和 Sₙ 就是 n 乘以（2a₁＋（n 1)d）的一半，也就是：Sₙ ＝ n ×（2a₁＋（n 1)d ）／ 2化简一下，就得到了等差数列总和的公式：Sₙ ＝ n ×（ a₁＋ aₙ ）／ 2 ，其中 aₙ 是这个数列的末项，aₙ ＝ a₁＋（n 1)d 。
有了这个公式，解决很多问题就方便多啦。
比如说，给你一个等差数列 2，5，8，11，14，…… ，一共 10 项，让你算总和。
首项 a₁＝ 2 ，公差 d ＝ 3 ，项数 n ＝ 10 。
先算出末项 a₁₀＝ 2 ＋（10 1)× 3 ＝ 29 。
然后用总和公式 S₁₀＝ 10 ×（ 2 ＋ 29 ）／ 2 ＝ 155 。
再比如说，知道一个等差数列的首项是 10 ，公差是 2 ，总和是280 ，让你求项数 n 。
先根据公式 Sₙ ＝ n ×（ a₁＋ aₙ ）／ 2 ，变形得到 n ＝ 2Sₙ ／（ a₁＋ aₙ ）。
江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学最新高中数学 等差求和四步教学法教案苏教版必修
所以 ，于是
练一练：课本４４页题４
教学
过程
及
方法
环节四 当堂检测
二次备课
课本４４页５,6
习题２．２（２）题１（１）（２）,
３（１）（３）,
４（１）（３）,
５（３）（４）
课堂
小结
课后
作业
课本P４7 １（３）（４），３（２）（４），４（２）（４）
板
书
设
计
等差数列前n项和公式
１、公式 ３、例题
例１ 例３
1.写出等差数列前n项和的公式。
2.推导公式
3.独立完成例１—３
求和公式：Sn＝ ＝na１＋ d
利用公式完成４４页练习１
注意：１．等差数列的前n项公式有俩种不同形式，要注意灵活选用。
２．当等差数列不是常数列时， 是关于n的二项式，且常数项为0．
教
学
过
程
及
方
法
环节二 合作释疑 环节三 点拨拓展
（备注：合作释疑和点拨拓展可以按照顺序先后进行，也可以根据教学设计交叉进行设计）
注意：在等差数列通项公式与前n项和公式中，含有 ，d , n , , 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的俩个量。
练一练：４４页３
三 点拨拓展
例３．在等差数列{ }中，已知第１项到第１0项的和为３１0，第１１项到第２0项的和为9１0，求第２１项到第３0项的和。
解：设等差数列的首项为 ，公差为d,由题意，得
２、公式推导
例２
课
后
反
思
过程设计
二次备课
例１:在等差数列中
（1）已知 =３， =１0１，求
（2）已知 =３，d= ，求
高考数学第一轮复习知识点：等差数列求和公式
高考数学第一轮复习知识点：等差数列求和公式下面确实是查字典数学网为大伙儿整理的2021年高考数学第一轮复习知识点：等差数列求和公式供大伙儿参考，不断进步，学习更上一层楼。
数学的学习需要我们记住各种公式,这是数学解题的基础。
下面小编为大伙儿提供等差数列求和公式,供大伙儿参考。
公式Sn=(a1+an)n/2Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差)Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)和为Sn首项a1末项an公差d项数n通项首项=2和项数-末项末项=2和项数-首项末项=首项+(项数-1)公差项数=(末项-首项)(除以)/ 公差+1公差=如:1+3+5+7+99 公差确实是3-1d=an-a性质:若m、n、p、qN①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观看过程中指导。
我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。
有的小孩说“乌云跑得飞速。
”我加以确信说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。
雨后，我又带幼儿观看晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
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认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在 教师的引导下独立地解决问题。但处理抽象问题的能力还有 待进一步提高。
三、学法指导和教法分析
学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的 建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教 学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过 观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认 识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
等差数列的前n项和
阜阳师处理 •教学目标 •教学重点、难点 •课程资源的开发与信息技 术的整合
教材地位与作用
本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》 的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和 〉的第一课时：等差数列的 前n项和公式的推导和简单应用问题。
教学目标
知识与技能目标： (1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
过程与方法目标： 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解 决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对 学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水 平.
在老师引导下总结出等差数列的几个重要性质 设计意图：复习通项及性质，帮助学生巩固旧知识，同
时为前n项和公式的的推导作好知识准备
推导公式
操作步骤：展示高斯求和课例并引导学生推导公式 ⑴等差数列前n项和 ⑵等差数列的前和公式 师生活动：引导学生从高斯求和的方法入手，总结出倒
序相加求和法，同时从两方面入手，完成公式的推 设计意图：让学生从高斯的课例中寻找求和思路，并亲
课程资源的开发与信息技术的整 合
本节复习课以课本例题、习题为切入点， 充分利用课本资源，加强例题和习题挖 掘，既达到复习重点概念和基本方法的 目的，又指导和改进学生的学习方式、 方法。在课堂教学中充分利用信息技术 的优势，使课堂教学直观、生动，启发 学生开启智慧之门，激发学生的学习兴 趣。
二、学情分析
教法：探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接 介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳 出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫， 从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。
四、教学过程
• 回顾知识 • 推导公式 • 分析公式 • 例题教学 • 巩固练习
回顾知识
操作步骤：复习等差数列的通项及性质 (1)什么叫等差数列? (2)数列“1,2,3,…,n,…”是等差数列吗?为什么? (3)等差数列的通项公式是什么? 师生活动：先让学生回忆等差数列的通项，由学生回答，
一、等差数列前n项和
三、例题及解答
议练活动
二、公式的推导 公式1
公式2
(主板书)
(副板书)
(辅助性板书)
谢 谢 指 导！
师生活动：师生共同完成
设计意图：突出学生的主体地位和体现教师的主导
六、布置作业
操作步骤：必做题 课本20页习题11、12；选做题 思 考：如何利用集合图形理解等差 数列的前和公式
师生活动：学生独立完成
设计意图：尝试公式的简单应用，自主思考对公式的其 他理解，为第2课时埋下铺垫
七、板书设计
§2.2 等差数列前n项和 和和
情感、态度与价值观目标： 通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。体会模仿与 创新的重要性。
教学重点、难点
•重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用
•难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相 加的思想方法。 •重、难点解决的方法：本课在设计上采用了由特殊到 一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想， 层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式 的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生 理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合， 从而突出重点、突破教学难点。
设计意图：让学生学会使用这两个公式，进一步加学生 对公式的印象，特别是两个公式的使用条件限制
巩固练习
操作步骤：完成练习（课本17页练习1、2、3） 师生活动：师生共同完成 设计意图：巩固求和公式
五、课堂小结
操作步骤：回顾从特殊到一般的研究方法，体会等差数 列的基本元表示方法，倒序相加求和法 ，掌握等差数 列的两个求和公式及简单应用
本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数 列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌 握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为 以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法， 具有承上启下的重要作用。
教材处理
本节课从分析高斯计算的小故事的算法入 手，启发引导学生由特殊到一般，探究等差数 列的前n项和公式，让学生体验归纳与猜想、 模仿与创新的重要性，从而达到指导学习数学 方法的目的。根据教材和我校学生的实际情况， 我把这一节分为两个课时，第一课时：等差数 列的前n项和公式的推导和简单应用问题，第 二课时：等差数列的前n项和公式的进一步理 解和应用问题
自经历公式推导过程，加深对公式的印象
分析公式
操作步骤：分析公式的特点及两个公式异同
师生活动：引导学生分析两个公式中的变量个数及各变 量的意义，同时让学生记忆公式
设计意图：加深对公式的印象和理解
例题教学
操作步骤：完成例7和例8的教学
师生活动：师生共同读题，分析题目中的已知量，同时 选择合适的公式求和