电磁学中科大4

五、焦耳－楞次定律 焦耳－
电流通过一段电路时， 电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功
∆A = IU∆t
U2 2 Q = ∆ A = I R∆ t = ∆t R
在一段纯电阻电路中，电功等于电热。 在一段纯电阻电路中，电功等于电热。但在非纯电阻电路 如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。 中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。 电功率则为
㈠
一、电流
电流 电流密度
电荷的定向运动形成电流。电流分为传导电流和运流电流 电荷的定向运动形成电流。 电流的微观机制： 电流的微观机制：导体内自由电子在电场力作用下在原来 不规则的热运动上附加了定向漂移运动. 不规则的热运动上附加了定向漂移运动 热运动速度： 热运动速度：105 m.s-1 定向漂移运动速度： 定向漂移运动速度：10−4 m.s-1 电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向， 电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向，从高 电势流向低电势。 电势流向低电势。 2
解：两根铜管分别作为一个等势面，电流 两根铜管分别作为一个等势面， 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， 根据对称性
b
a
l
I = ∫ j(r ) ⋅ dS = j(r ) ⋅ 2πrL
s
通过各柱面的I是相等的， 通过各柱面的 是相等的，故 是相等的
I 1 j= 2πL r
2
15
不变， 改变 设r不变，R改变 ∆R 时，则 Rab 的改变为 不变
(∆Rab )r
两者之比为
r∆R rR∆R r ≈ − = ∆R 2 r + R (r + R ) r + R
2
(∆Rab )R (∆Rab )r
R ∆r = r ∆R R = r
5
利用数学上的高斯定理
∫∫ j ⋅ dS = ∫∫∫ (∇ ⋅ j )dV
s v
dq ∂ρ = ∫∫∫ dV dt ∂t v
得
∂ρ ∇⋅ j + =0 电流连续方程微分形式 ∂t
2. 电流的恒定条件
∂ρ =0 ∂t
∇⋅ j = 0
∫
S
j ⋅ dS = 0
恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 6
2. 电流密度矢量 j 定义
∆S 0
∆S
∆S
dI dI j= n= n dS ⊥ dS cos θ
n
j
电流密度是一个矢量， 电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向 一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度. 一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 3. 电流线：用电流线描述电流场 电流线： 曲线方向：该点电流密度方向； 曲线方向：该点电流密度方向； 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。 4. 电流强度和电流密度矢量关系
六、经典金属电子论
金属导体的微观电结构图像（自由电子模型） 金属导体的微观电结构图像（自由电子模型）： • 金属具有晶格点阵结构； 金属具有晶格点阵结构； • 电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动； 电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动； • 大量电子不断地与晶格碰撞。 大量电子不断地与晶格碰撞。 自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接，各段 自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接， 加速运动都从定向速度为0开始 开始。 加速运动都从定向速度为 开始。 欧姆定律的经典解释 金属内自由电子在电场E作用下， 金属内自由电子在电场 作用下，会在热运动的同时逆电 作用下 场E的方向附加一个定向加速度 的方向附加一个定向加速度
ne 2 λ j = n(− e ) u = E = σE 2me v
ne 2 λ σ= 2 me v
由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由 上式计算出的电导率与实际相差甚远.这些困难需要量子理论 上式计算出的电导率与实际相差甚远 这些困难需要量子理论 来解决. 来解决
12
例题4-1-1 两同轴铜质圆形套管，长为 ，内圆柱的 两同轴铜质圆形套管，长为L， 例题 半径a，外圆柱的半径为b， 半径 ，外圆柱的半径为 ，两圆柱间充以电阻率为 ρ 的石墨.若以内 外圆柱分别为一个电极， 若以内、 的石墨 若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的 电阻. 电阻
左侧：单位时间内由 面流出的电量； 左侧：单位时间内由S 面流出的电量； 右侧：单位时间内S 面的电量减少量。 右侧：单位时间内 面的电量减少量。 dq 当 > 0时 , 有 ∫ j ⋅ dS < 0 ，则流入 面内电荷量多于流出量。 则流入S面内电荷量多于流出量 面内电荷量多于流出量。 S dt dq 则流出S面内电荷量多于流入量 面内电荷量多于流入量。 当 < 0时 , 有 ∫ j ⋅ dS > 0 ，则流出 面内电荷量多于流入量。 S dt
r 14
R a b a
R b
r 证： 如图，R与r并联，故 如图， 与 并联 并联，
r
rR Rab = r+R
借助偏导 同样可得 此结论
不变， 设R不变，r改变 ∆r 时，则 Rab的改变为 不变 改变
(∆Rab )R
R(r + ∆r ) Rr = − R + r + ∆r R + r
R∆ r rR∆r R ≈ − = ∆r 2 r + R (r + R ) r + R
二、电流强度 与电流密度
1. 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量.
∆q I= ∆t
取 ∆t → 0 ，则得
∆q dq I = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
单位： 单位： 1 A = 10 3 mA = 106 µA 电流强度是标量,它只能描述导体中通过某一截面的整体特征 电流强度是标量 它只能描述导体中通过某一截面的整体特征. 它只能描述导体中通过某一截面的整体特征 为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念. 电流密度概念 为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念 3
Iρ 1 E = jρ = 2πL r
13
两极间的电势差为
Iρ dr ρI b U 1 − U 2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ ln = a 2π L r 2πL a
b
∴
U1 − U 2 ρ b R= ln = I 2πL a
例题4-1-2 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置 其 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置,其 例题 是一个较大的电阻， 是一个较小的电阻， 和 都 中R是一个较大的电阻，r是一个较小的电阻，R和r都 是一个较大的电阻 是一个较小的电阻 可以改变.试证明 试证明R>>r时，r是粗调，R是微调（即r改 是粗调， 是微调 是微调（ 改 可以改变 试证明 时 是粗调 变某一数值时， 间电 变某一数值时，ab间电 R 改变较大； 阻 Rab改变较大；而R改 改 a b Rab改 变同一数值时， 变同一数值时，则 变较小） 变较小）.
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二、电源的电动势
表示作用在单位正电荷上的非静电力， 设K表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源 表示作用在单位正电荷上的非静电力 内与电场E的方向相反 量纲、单位相同。在有电场E和非电 的方向相反， 内与电场 的方向相反，量纲、单位相同。在有电场 和非电 场力K同时存在的电路中 如电源内）， 同时存在的电路中（ ），应把欧姆定律推广为 场力 同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为 普遍形式的欧姆定律： 普遍形式的欧姆定律：
2.欧姆定律的微分形式 欧姆定律的微分形式 将欧姆定律应用于微圆柱体， 将欧姆定律应用于微圆柱体，有
dU dl dI = ,R=ρ , dS R dI j= , dU = Edl dS
得
j= E
ds
E dl
j
ρ
j =
E
ρ
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= σE
上式适用于恒定及非恒定情况，是实验定律的总结。 上式适用于恒定及非恒定情况 ， 是实验定律的总结 。 描述 了导体中电场和电流分布之间细节关系。 了导体中电场和电流分布之间细节关系。 注意：此处的dS是垂直电流方向的截面面积 是垂直电流方向的截面面积。 注意：此处的 是垂直电流方向的截面面积。 8
四
欧姆定律（ 欧姆定律（1826年） 年
1. 欧姆定律（电学的基本定律实验之一） 欧姆定律（电学的基本定律实验之一）
U1 − U 2 I= = G ⋅ (U 1 − U 2 ) R
− 称西门子. 电导 G = 1 R 的单位为 欧姆］1 ，称西门子 ［
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实验表明
l R=ρ S
.
2
2
当 ∆R = ∆r 时，便有
(∆Rab )R (∆Rab )r
因R>>r,故得 故得
(∆Rab )R >> (∆Rab )r
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㈡
电源 电动势
为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力， 为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电 荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时， 荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用 其它形式的能量补偿焦耳热的损失。 其它形式的能量补偿焦耳热的损失。
U2 ∆A P= = IU = I 2 R = R ∆t
9
焦耳－ 焦耳－楞次定律的微分形式 热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率 热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率.
P E2 ∆I ∆U p= = = jE = = σE 2 ρ ∆ V ∆ S0 ∆ l
表明： 表明：在导体中某点的热功率密度与该点的电场强度的平 方成正比，也与导体的电导率成正比。 方成正比，也与导体的电导率成正比。 焦耳热的微观机制： 焦耳热的微观机制： 自由电子与正离子碰撞时将在电场力作用下增加的动能传 给了正离子，使正离子无规振动的能量增大， 给了正离子 ， 使正离子无规振动的能量增大 ， 这在宏观上表 现为导体温度升高。 现为导体温度升高。 10
第四章
目
稳恒电流
录
1、电流 电流密度 、 2、电源 电动势 、 3、复杂电路与基尔霍夫定律 、
1
经过多年的研究， 年春， 经过多年的研究，1800年春，意大利的伏打（Count Alessa 年春 意大利的伏打（ －Ndro Volta，1745－1827）制成了伏打电池，从而获得持续 ， － ）制成了伏打电池， 的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研 的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研 究动电现象提供了坚实的技术基础。 究动电现象提供了坚实的技术基础。
I = ∫ j ⋅ dS
S
说明：电流强度是通过某面积的电流密度的通量。 说明：电流强度是通过某面积的电流密度的通量。
4
三、 电流的连续性方程
1. 电流的连续性方程 在导体内任一闭合曲面内，根据电荷守恒定律， 在导体内任一闭合曲面内，根据电荷守恒定律，满足
∫
S
dq j ⋅ dS = − dt
连续性方程积分形式
一、电源
电源是不断地将其它形式的能量转换 为电能的装置。 为电能的装置。电源中非静电力的存在是 形成恒定电流的根本原因。 形成恒定电流的根本原因。 I
R
ε
B
A 不同类型电源中，非静电力不同： 不同类型电源中，非静电力不同： •发电机：电机作用将机械能转化为电能； 发电机： 发电机 电机作用将机械能转化为电能； •化学电池：化学作用将化学能转化为电能； 化学电池： 化学电池 化学作用将化学能转化为电能； •温差电源：扩散作用将热能转化为电能； 温差电源： 温差电源 扩散作用将热能转化为电能； •太阳能电池：直接将光能转化为电能； 太阳能电池： 太阳能电池 直接将光能转化为电能； •核能电池：直接将核能转换为电能。 核能电池： 核能电池 直接将核能转换为电能。
R=∫
ρdl
S
σ= 1 ρ
−1
ρ 电阻率，单位： ⋅ m 电阻率，单位： Ω
电导率，单位： . σ 电导率，单位：Ω ⋅ m） （
注意：欧姆定律在某些情况下会失效，其主要表现是 与 注意：欧姆定律在某些情况下会失效，其主要表现是I与U 的比例关系遭到破坏，而代之以非线性关系。 的比例关系遭到破坏，而代之以非线性关系。 7
e a=− E me
11
自由电子同原子实碰撞， 自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内 得以定向加速，从统计角度考虑， 得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为
1 e 1 e λ u=− Eτ = − E 2 me 2 me v
若导体内自由电子（载流子）密度为 ， 若导体内自由电子（载流子）密度为n，则