空间向量的知识点归纳的总结

合集下载

(完整word版)空间向量知识点总结

空间向量知识点总结1。

直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。

⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。

⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。

用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。

即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。

⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3。

用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。

空间向量知识点总结简单

空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。

空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。

二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。

（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。

2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。

（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。

（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。

3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。

（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。

三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。

性质：点积满足交换律、分配律、结合律。

应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。

2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。

性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。

应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。

四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。

下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。

2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。

(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。

(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。

(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。

3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。

(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。

(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。

(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。

4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。

(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。

(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。

5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。

(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。

(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。

6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。

(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。

(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。

7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。

(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。

(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示;2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a//;当我们说向量a 、b 共线或a b a b a b b 0 a b a b共面向量 1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+;5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++;6. 空间向量的直角坐标系：1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标;2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈,1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2||(AB AB ==,或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②0a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅;5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律;③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;6：空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b 则1 a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；2 a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；3λa ＝123(,,)a a a λλλ λ∈R ； 4 a ·b ＝112233a b a b a b ++；2.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.3、设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ,则112233222222123123cos ,a b a b a b a b a a ab b b++<>=++++.5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=⋅++⋅++.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线,n 为平面α的一个法向量,A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=典型例题例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面例 3. 已知空间四边形OABC ,其对角线,OB AC ,,M N 分别是对边,OA BC 的中点,点G 在线段MN 上,且2MG GN =,用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ;BAαnGMC'B'A'D'DABC例 4. 如图,在空间四边形OABC中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例 5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11AC 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ;空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中,若,E F 分别是1,BC DD 中点,则EF 的坐标为A.(1,2,1)- B (1,2,1)--C.(1,2,1)--D.(1,2,1)--2．如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 yxzFE C 1D 1C D(O)B 1A 1AB图OAB C3.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若PA a =,PB b =,PC c =,则BE =A.111222a b c -+ B 111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 二、填空题4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.5．在正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____.三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4π, 1求证11AB C BD ⊥面2求二面角1B AC B --的正切值 2．在三棱锥P ABC -中,3AB AC ==4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =,1求证：AC BD ⊥；2求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值；3求点A 到平面BDE 的距离d 的值.3．在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角． 1若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证：BE ⊥PD ；DACBPE图2求异面直线AE与CD所成角的余弦值．4、已知棱长为1的正方体A C1,E、F分别是B1C1、C1D的中点．1求证：E、F、D、B共面；2求点A1到平面的B DEF的距离；3求直线A1D与平面B DEF所成的角．5、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E 为棱AB 的中点,求： ⅠD 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；Ⅱ二面角D －BC 1－C 的大小；模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++； 21()2AB BD BC ++；31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量;,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====;1求证：四点,,,E F G H 共面；2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==, 求1BE 与1DF 所成角的余弦;4. 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标;5.已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=,60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++; AB BM MG AG=++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC AB AD=+,∵EG OG OE=-,∴,,,E F G H共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB=-=-=⋅,又∵EG k AC=⋅,∴//,//EF AB EG AC;所以,平面//AC平面EG;3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz-,则(1,1,0)B,13 (1,,1)4E,(0,0,0)D,11 (0,,1)4F,∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =, ∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==; 4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠== ∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴==⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+= 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1;5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++所以,||85AC '=。

空间向量的知识点总结

空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。

一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。

它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。

空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。

空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。

二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。

2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。

这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。

3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。

4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。

这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。

5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。

这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。

三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。

设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。

四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。

空间向量相关知识点总结

空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。

2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。

（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。

（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。

（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。

（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。

2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。

3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。

（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。

三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。

（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。

（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。

2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是三维空间中表示物体位置、方向和大小的一种向量形式。

它利用向量的数学概念和运算规则，将物体的位置和方向抽象为有序数组，使得在三维空间中进行运算和分析更加简便。

在几何学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用。

本文将对空间向量的基本概念、运算法则以及应用进行总结。

一、空间向量的定义与表示空间向量是指在三维空间中有长度和方向的向量。

它可以用有序的三个数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

通常表示为：A = xi + yj + zk其中，A为向量名称，xi、yj、zk分别为向量的x、y、z轴分量。

二、空间向量的运算法则1. 加法和减法：两个空间向量的加法和减法运算由各个分量相加或相减得到，分别表示为：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)kA -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k2. 数量积：数量积也称为点积或内积，表示为A·B，计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别为A和B的模长，θ为A和B之间的夹角。

3. 向量积：向量积也称为叉积或外积，表示为A×B，计算公式为：A×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于A和B所在平面。

三、空间向量的应用1. 几何关系分析：空间向量可以用于分析几何关系，如判断两个向量的夹角、判断两个向量是否平行或垂直等。

通过计算向量的点积和模长，可以快速判断向量之间的关系。

2. 力学问题：空间向量在力学中有着广泛的应用，可以用于计算力的合成、分解，求解物体的平衡条件等。

通过将力向量进行分解和合成，可以简化力学问题的计算。

3. 电磁学问题：空间向量在电磁学中也有重要的应用。

电场和磁场可以用向量形式表示，通过计算向量积和数量积，可以求解场强、电流、电压等物理量。

空间向量(知识点梳理)

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结空间向量是代数矢量的一种推广，它在三维空间中表示具有大小和方向的物理量。

在学习空间向量时，需要了解以下几个方面的内容：一、空间向量的表示1.平行四边形法则和三角形法则：空间向量可以用平行四边形法则或者三角形法则进行表示。

2.分解和合成：空间向量可以通过分解成两个或多个分量向量，或者合成两个或多个向量得到。

二、空间向量的基本运算1.加法：两个空间向量相加的结果是一个新的空间向量。

向量相加满足交换律和结合律。

2.减法：可以将减法转化为加法来处理。

即将减法转化为加上一个相反向量。

3.数乘：空间向量与一个实数相乘，结果是一个新的空间向量。

三、空间向量的数学性质1.零向量：长度为0的向量称为零向量。

零向量与其他向量的加法运算结果均为其本身。

2.负向量：与一个向量大小相等，方向相反的向量称为其负向量。

3.平行向量和共线向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。

如果两个向量共线，则它们是平行的特殊情况。

4.零向量的唯一性：零向量是唯一的，任何两个非零向量的和不可能是零向量。

5.向量共点的充分必要条件：三个向量共点的充分必要条件是其中两个向量的线性组合等于第三个向量。

四、空间向量的数量乘积1.内积（点积）：两个向量的点积是一个实数，定义为两个向量的模的乘积与其夹角的余弦的乘积。

2.内积的性质：内积具有交换律、结合律、分配律等性质。

3.向量的模与内积之间的关系：向量的模可以通过内积来计算，即向量的模的平方等于它与自身的内积。

4.直角和斜角的判别定理：两个非零向量正交（垂直）的充分必要条件是它们的内积为零。

五、空间向量的向量乘积1.外积（叉积）：两个向量的叉积是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

2.外积的性质：外积具有反交换律和结合律，但不满足交换律和分配律。

3.向量乘积的模与夹角之间的关系：向量的模可以通过外积和向量夹角的正弦来计算。

空间向量高考知识点总结

空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。

2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。

3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。

二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。

2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。

三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。

2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。

4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。

四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。

2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。

4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。

五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。

2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。

3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。

空间向量基本知识点

空间向量基本知识点空间向量是三维空间中的一个概念，它能够表示位移、速度、加速度等物理量。

本文将介绍空间向量基本知识点，包括向量的定义、表示方法、向量的加法和减法、数量积与向量积等内容。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，它可以表示位移、速度、加速度等量。

在三维空间中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、向量的表示方法向量可以使用坐标表示法或者分量表示法来表示。

1. 坐标表示法：根据直角坐标系，将向量的起点放在坐标系原点，通过终点的坐标值来表示向量。

例如，向量A可以表示为A(ax, ay, az)，其中ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴的分量。

2. 分量表示法：将向量在各个坐标轴上的分量表示出来。

例如，向量A可以表示为A = ax * i + ay * j + az * k，其中i，j，k分别表示x轴、y轴、z轴的单位向量，ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴上的分量。

三、向量的加法和减法向量的加法和减法可以通过分量表示法来进行。

1. 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，向量A和向量B相加可以表示为A + B = (ax + bx) * i + (ay + by) *j + (az + bz) * k。

2. 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，向量A和向量B相减可以表示为A - B = (ax - bx) * i + (ay - by) * j+ (az - bz) * k。

四、数量积与向量积数量积和向量积是两种常见的向量运算。

1. 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

数量积的结果是一个标量值。

例如，向量A和向量B的数量积可以表示为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的大小，θ表示向量A和向量B的夹角。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是数学中一个重要的概念，它在解析几何、物理学、工程学等多个领域中都有广泛的应用。

以下是空间向量的一些基础知识点总结：1. 空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，通常用一个箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用有序的三个实数来表示，即(x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在三个正交坐标轴上的分量。

3. 空间向量的运算：- 向量加法：两个向量相加，其结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点，分量相加。

- 向量减法：向量减去另一个向量，结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，分量相减。

- 数量乘法：一个向量乘以一个实数，结果向量的方向不变，其长度按实数的倍数缩放。

4. 向量的模：向量的模是向量长度的大小，可以通过勾股定理计算得出，即模长= √(x² + y² + z²)。

5. 向量的单位化：将一个向量除以其模，得到一个长度为1的单位向量。

6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，其值等于两个向量对应分量乘积的和，即a·b = |a||b|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。

7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量，其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积，计算公式为a×b = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y -a_yb_x)。

8. 空间向量的坐标变换：在不同的坐标系下，同一个向量的坐标表示可能会不同，坐标变换可以通过旋转矩阵或者变换矩阵来实现。

9. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，其方向与被投影的向量相同，长度是原向量在被投影向量方向上的分量。

10. 向量的线性相关与无关：如果一组向量可以通过线性组合得到零向量，则这些向量是线性相关的；反之，如果无法得到零向量，则这些向量是线性无关的。

空间向量知识点总结讲解

空间向量知识点总结讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义：在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。

向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。

2. 向量的运算：向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。

向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。

3. 向量的性质：向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。

二、空间向量的概念1. 空间向量的定义：在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。

空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。

2. 空间向量的运算：空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。

叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。

3. 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。

4. 空间向量的性质：空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。

三、空间向量的线性运算1. 空间向量的线性组合：空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。

线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。

2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。

线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。

3. 空间向量的线性空间：线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。

空间向量是线性空间的一个典型例子。

四、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：在几何学中，空间向量可以用来描述点、直线、面等几何对象的位置和方向关系，还可以用来解决几何问题，如判定点、线、面的位置关系、计算距离、计算面积等。

向量空间知识点总结

向量空间知识点总结一、向量空间的定义和性质1.1 向量空间的定义向量空间的定义是线性代数中的基础知识之一。

一般来说，向量空间是一个满足一系列条件的集合。

设V是一个包含向量的集合，如果满足以下条件，则称V为一个向量空间：（1）V中的任意两个向量的和仍然在V中，即对于任意的u、v∈V，有u+v∈V；（2）V中的任意一个向量与实数的乘积仍然在V中，即对于任意的u∈V，λ∈R，有λu∈V；（3）向量空间V中存在一个零向量0∈V，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。

满足以上三个条件的向量空间V，通常记作（V，+，·），其中“+”表示向量的加法运算，“·”表示数量乘法运算。

1.2 向量空间的性质向量空间具有一些重要的性质，这些性质对于理解向量空间具有重要意义，并且也是研究向量空间的基础。

向量空间的一些性质如下：（1）向量空间的加法和数量乘法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，以及任意的实数λ，有u+v∈V和λu∈V，即向量空间对加法和数量乘法运算是封闭的。

（2）向量空间中的零向量唯一：向量空间中只存在一个零向量0，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。

（3）向量空间中的相反元存在性：对于向量空间中的任意一个向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。

（4）向量空间中的数量乘法分配律：对于向量空间中的任意两个实数λ和μ，以及任意的向量u，有(λ+μ)u=λu+μu和λ(u+v)=λu+λv。

向量空间的定义和性质是向量空间理论的基础，对于理解向量空间的概念和性质具有重要的意义。

在实际问题中，向量空间的定义和性质也具有重要的应用价值。

二、子空间2.1 子空间的定义子空间是向量空间中一个重要的概念，它是指在一个向量空间中的子集合，它本身也构成一个向量空间。

设V是一个向量空间，W是V的一个非空子集合，如果满足以下条件，则称W是V的一个子空间：（1）W中的任意两个向量的和仍然在W中，即对于任意的u、v∈W，有u+v∈W；（2）W中的任意一个向量与实数的乘积仍然在W中，即对于任意的u∈W，λ∈R，有λu∈W。

向量知识点全总结

向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。

1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。

（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。

1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。

也可以用物理量的大小和方向表示。

1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。

（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。

1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。

（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。

1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。

对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。

可以用夹角来表示向量的方向。

1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。

1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。

空间向量知识点

空间向量知识点空间向量是指在三维空间中的向量。

它是由三个分量组成，分别表示在 x、y、z 三个轴上的位移。

在数学中，空间向量有许多重要的性质和运算规则，下面将介绍一些常见的空间向量知识点。

1. 空间向量的表示空间向量可以用一个有序的三元组表示，如 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在 x、y、z 轴上的分量。

这种表示方式也被称为坐标表示。

2. 向量的模和方向向量的模指的是向量的长度，可以使用勾股定理来计算。

假设一个向量的坐标表示为 (x, y, z)，则该向量的模记为 ||V||，计算公式为：||V|| = √(x² + y² + z²)。

向量的方向则是指向量的朝向。

在三维空间中，一个向量可以指向无数个方向，但是它的方向可以用一个单位向量来表示，这个单位向量也就是方向向量。

3. 向量间的运算空间向量的运算包括加法、减法和数乘。

向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x₁, y₁, z₁)，向量 B 的坐标表示为 (x₂, y₂, z₂)，则它们的和向量 C 的坐标表示为 (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)。

向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x₁, y₁, z₁)，向量 B 的坐标表示为 (x₂, y₂, z₂)，则它们的差向量 D 的坐标表示为 (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)。

向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x, y, z)，实数 k，则它们的数乘向量 E 的坐标表示为 (kx, ky, kz)。

4. 单位向量单位向量是指模为1的向量。

在三维空间中，可以通过将一个向量除以它的模来得到单位向量。

例如，向量 V 的坐标表示为 (x, y, z)，则它的单位向量记为 U，计算公式为 U = V / ||V||，其中 ||V|| 为向量 V 的模。

空间向量关键知识点总结

空间向量关键知识点总结1. 空间向量的基本概念空间向量是用来表示空间中的位移、力、速度等物理量的，它由大小和方向两个要素组成。

空间向量可以看作是一个有序数对或是坐标形式的表示，通常表示为(a，b，c)。

其中，a、b、c分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的投影。

2. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指两个向量相加或相减的运算。

对于两个向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和c=a+b的表示为(c1, c2, c3)=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)，而它们的差d=a-b的表示为(d1, d2, d3)=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。

从几何上看，向量的加法和减法实际上就是平行四边形法则的应用，可以通过平移一个向量来得到另一个向量的和或差。

3. 向量的数乘运算向量的数乘运算指的是一个向量乘以一个标量。

设有向量a=(a1, a2, a3)和实数k，则它们的数乘ka=(ka1, ka2, ka3)。

这个运算实际上就是将向量a的大小变为原来的k倍，方向不变。

4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，它是两个向量的乘积，结果是一个标量。

设有向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，则它们的点乘运算表示为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。

从几何上来看，两个向量的点乘等于它们的长度乘积与夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，它是两个向量的乘积，结果是一个向量。

设有向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，则它们的叉乘运算表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。

从几何上来看，两个向量的叉乘的方向垂直于这两个向量所张成的平面，并且大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。

6. 空间向量的线性相关性和线性无关性在空间中，多个向量如果存在一组不全为零的标量使得它们的线性组合等于零向量，则称这些向量是线性相关的。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

空间向量知识点总结图

空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。

1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。

1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。

1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。

二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。

2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。

2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。

2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。

2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。

三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。

数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。

3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。

向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。

3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。