基本不等式导学案

基本不等式导学案

教学目标：（1）学会推导不等式2

a b

ab +≤

，理解不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题

教学重点：基本不等式2

a b

ab +≤

的推导及应用。 教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。 教学过程：

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上

作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？

设小直角三角形的两条直角边为、a b ，

则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。

4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4正方形三角形S S ⨯=) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。 我们通常把上式写成2

a b

ab +≤

(00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?

证明过程: 要证

2

a b

ab +≥ ① 只需证 ≥ ② (同时平方)

要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧)

要证③只需证 2(__________)0-≥ ④

显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立. a,b ,

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b , 且00a ,b >>,

2

a b

+是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数，

ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，

由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤），

特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。

应用一：

（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ，

由

2

a b

ab +≥ 可得x y +≥ ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y == （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？

设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ，

由

2

a b

ab +≥可得xy ≤ ，当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y == 总结：两个实数0,0,a b >>

若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。

应用二：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m.如果池底每平方米的造价为

150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?

巩固练习

1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？

2 用20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 自助提升：

（1）设2

3

0<

a

22+的最小值是 .

（3）若5a ，求

4

+-2

a a 的取值范围.

（4）已知,,,x y a b R +

∈，y x y

b

x a b a +=+=+,1,10且

的最小值是18，求,a b . 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！