量子力学概论第4章 三维空间中的量子力学
量子力学第四章
( px )mn ih (En Em )xmn
证明 在能量表象中的矩阵元为
dx dt
mn
1 ih
m (xHˆ Hˆx) n
1 ih
(En
Em
)
m
xn
( px )mn ih (En Em )xmn
例题4：
有一量子体系，态矢为空间三维，选择基矢 1 , 2 , 3
(1) 给出它们的本征值与本征态矢 (2) 写出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的变换矩阵S，并通过S矩阵
求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩阵表示
解： (1) Lx的本征方程
Lx lx
即
2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 lx a2 0 a3 a3
1
1 2
1
2
同理可得
1
1
lx 0, 0
2 2
0 ; 1
lx
,
1
2
2 ; 1
（2） 由Lx的三个本征矢量得到从(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象变换 矩阵S
S
1
1 2
2 1 0 2
0
1
得本征矢和本征值分别为
E1 0
E2 E3 20
(0)
2
1 2
1
1 2
2
1 2
3
1 2
1 1
量子力学讲义第4章
量子力学讲义第4章第四章量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间）量子力学的态（希尔伯特空间）基矢),,(321e e e~三维本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系),,(?θe e e r取不同表象),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间；② 给出态和力学量算符在该空间的表示；③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量),,(?θA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==?+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
量子力学曾谨言习题解答第四章
这个叠加式中，D和 都有两个指标，第一个是量子数 ，第二个是量子数 ，从（12）可以看出在 的状态中， 取各种可能测值的几率如下表：
的本征值
2
0
-
-2
相应的几率
+
+
+
诸D的计算有两种方法，第一法是直接法，此法是从方程组（7）中解出，我们需要的 ，而用 的本征函数 ， ， 的项表示它，这方法是初等的，结果
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
当
因此：
现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：
前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A等是实数)是厄密算符
（证明）此算符F( )不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
满足厄密算符的定义。
（8）证明 （ 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明 , 都是厄密算符，即：
量子力学课件-第4讲
ψ 入＋ψ 反＝eikx + Re −ikx , x < 0 其解为 ψ ( x) = ψ 外 ( x) = ψ 透＝Te ikx , x > a.
r r ih j (r , t ) = − (ψ *∇ψ −ψ∇ψ * )以及p = hk = mv 粒子流密度 2m
j入 = hk / m = v
是薛定格方程 r 在 V (r , t )不显含t时的形式，是我们后 面讨论大多数问题的理论基础。通 r 常将略去ψ E (r ) 中的下标E，这样能 量本征方程为 2 h r r r 2 [− ∇ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) 2m
3
r r r ∂ h 2 ih ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V (r , t )]ψ (r , t ) ∂t 2m
能量En的概率
更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意 一组正交、归一、完备态分解 ψ = ∑ cnψ n 。 n
12
量子力学的基本假设
1、量子态由波函数描写。 2、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程。 5、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、 归一、完备态分解。
8
二、束缚态 对一维无限深方势 阱中的粒子来说:
2 n πx sin( ), 0 < x < a; ψ n ( x) = a a 0, x < 0, x > a.
| ψ n ( x) |2 = 0, x < 0, x > a, | ψ n ( x) |2 ≠ 0 < x < a (除个别节点外）
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)
量子力学ppt
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学（物理学理论）—搜狗百科
量子力学（物理学理论）—搜狗百科理论的产生及其发展量子力学是描述物质微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。
它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。
19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。
德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。
德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hf为最小单位，一份一份交换的。
这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且跟'辐射能量与频率无关，由振幅确定'的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。
当时只有少数科学家认真研究这个问题。
爱因斯坦于1905年提出了光量子说。
1916年，美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。
1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定性（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq=nh，n称之为量子数。
玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差确定，即频率法则。
这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铪的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。
这在物理学史上是空前的。
由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。
量子力学的几率解释等都做出了贡献。
量子力学第四章三维空间中的量子力学-USTC
BΨq
`
r2
1 sin2
ȷ B2 Ψ
5 / 126
注意到在球坐标系里，
~Lˆ2
“
´ℏ2
„1
sin
Bpsin
Bq
`
1 sin2
ȷ B2
上式等价地写为：
~ˆp2
“
´
ℏ2 r2
Brpr2Brq
`
~Lˆ2
r2
“
ˆ ´ℏ2 Br2
`
2˙ r Br `
~Lˆ2
r2
“
´
ℏ2 r
Br2r
`
~Lˆ2
r2
因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为：
« ´ℏ22rFra bibliotekBr2r
`
~Lˆ2 2r2
`
ff Vprq
Epr; ; q “ E
Epr; ; q
方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可 称为径向动能算符.
6 / 126
在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ~Lˆ2; Lˆ3u 的
4 / 126
考虑到中心力场中 ~Lˆ2 也是守恒量，而且与 ~Lˆ 的各个分量算符都
对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为
!Hˆ ;
~Lˆ2;
) Lˆ3
即能量本征态同时也取为 ~Lˆ2 与 Lˆ3 的共同本征函数.
为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有：
„1 r
d2 dr2
r
`
2
ℏ2
pE
´
Vprqq
量子力学4态和力学量的表象
(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))
量子力学第四章
（一）动量表象 ;
（二）力学量表象
2
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 假设 Ψ (x,t) 是归一化波函数， 命题 则 C(p,t) 也是归一。 动量本征函数：
p ( x)
1 e ipx / 2
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
5
（二）力学量表象
推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题 那末，在任一力学量Q表象中，
Ψ (x,t) 所描写的态又如何表示呢？
证
1
* ( x , t )( x , t )dx
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C ( p, t ) p ( x )dp] * [ C ( p, t ) p ( x )dp ]dx
( x , t ) C ( p, t ) p ( x )dp C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
动量表象 exp[i(p'x-E't)/ ] C(p,t)= δ (p'-p)exp[-iE't/ ]
量子力学课件4章-三维空间中的量子力学
由此决定了函数 v 。 v cj j. j0
至此，得到波函数的径向部分为：
ur rRr,
u l1ev ,
v cj j. j0
问题：径向部分是否满足波函数的“单值性、连续性和有限性”要求？
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限。
sin
d d
l(l
1) sin
2
1
d2 d 2
0.
得到两个方程：
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1) sin
2
m2;
1
d 2 d 2
m2.
d 2 m2 () eim . d 2
当 变化 2 时，回到空间同一点，要求 ( 2 ) ().
exp[im( 2 )] exp(im)
第四章
三维空间中的量子力学
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4
球坐标系中的薛定谔方程 氢原子 角动量 自旋
§4.1 球坐标系中的薛定谔方程
三维空间中，薛定谔方程 i H ; t
哈密顿算符
：
1 2
mv 2
V
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V
px
i
, x
py
i
, y
pz
i
, z
p . i
i
R r 2 sin
sin
Y
R r 2 sin 2
2Y 2
两边同除以 RY 和乘以 2mr2 / 2
量子力学ppt课件
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
量子力学（物理学理论）详细资料大全
量子力学（物理学理论）详细资料大全量子力学（Quantum Mechanics），为物理学理论，是研究物质世界微观粒子运动规律的物理学分支，主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论它与相对论一起构成现代物理学的理论基础。
量子力学不仅是现代物理学的基础理论之一，而且在化学等学科和许多近代技术中得到广泛套用。
19世纪末，人们发现旧有的经典理论无法解释微观系统，于是经由物理学家的努力，在20世纪初创立量子力学，解释了这些现象。
量子力学从根本上改变人类对物质结构及其相互作用的理解。
除了广义相对论描写的引力以外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。
基本介绍•中文名：量子力学•外文名：英文：Quantum Mechanics•学科门类：二级学科•起源：1900年•创始人：海森堡，狄拉克，薛丁格•旧量子创始人：普朗克，爱因斯坦，玻尔学科简史,基本原理,状态函式,微观体系,玻尔理论,泡利原理,历史背景,黑体辐射问题,光电效应实验,原子光谱学,光量子理论,德布罗意波,量子物理学,实验现象,光电效应,原子能级跃迁,电子的波动性,相关概念,波和粒子,测量过程,不确定性,理论演变,套用学科,原子物理学,固体物理学,量子信息学,量子力学解释,量子力学问题,解释,学科简史量子力学是描述微观物质的理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础所进行的。
量子力学是描写原子和亚原子尺度的物理学理论。
该理论形成于20世纪初期，彻底改变了人们对物质组成成分的认识。
微观世界里，粒子不是台球，而是嗡嗡跳跃的机率云，它们不只存在一个位置，也不会从点A通过一条单一路迳到达点B。
根据量子理论，粒子的行为常常像波，用于描述粒子行为的“波函式”预测一个粒子可能的特性，诸如它的位置和速度，而非确定的特性。
量子力学课件第四章
第4章三维空间中的量子力学4.1 球坐标系中的薛定谔方程向三维情况的推广是直截了当的。
薛定鄂方程为：;i H t∂ψ=ψ∂ [4.1] 由经典能量可以得出哈密顿算符H 1V p p p mV mv z y x +++=+)(21212222 通过标准方法（现在应用于y ，z 以及x ）：,x p i x ∂→∂ ,y p i y∂→∂ ,z p i z ∂→∂ [4.2] 或者简洁地写为[4.3]这样[4.4]其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ [4.5]是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
势能V 和波函数ψ现在是(,,)x y z =r 和t 的函数。
在无穷小体元3d dxdydz =r 内发现粒子的几率为23(,)t d ψr r ，归一化条件是231,d ⎰ψ=r [4.6]其中积分是对整个空间进行。
如果势不显含时间，将有一组完备的定态/(,)(),n iE t n n t e ψ-ψ=r r [4.7]其中空间波函数n ψ满足定态薛定谔方程： [4.8]1当可能出现混淆时,我将在算符顶部放一个∧来区分它们与对应的经典力学量。
本章中不会有很多场合会出现这种混淆，用∧很麻烦，所以从现在起我不再用它。
（含时）薛定谔方程的一般解是/(,)(),n iE t n n t c e ψ-ψ=∑r r [4.9]其中常数n c 由初始波函数(,0)ψr 用通常的方法确定。
（假如势允许连续态，那么4.9式中的求和变为积分。
）*习题4.1（a ） 求出算符r 和p 的各分量之间的正则对易关系：[,]x y ，[,]y x p ，[,]x x p ，[,]y z p p 等等。
答案：[,][,]i j i j ij r p p r i δ=-= ，[,][,]0i j i j r r p p ==， [4.10]这里指标表示,,x y z , , , x y z r x r y r z ===。
（b ） 证明三维情况下的Ehrenfest 定理：1,d dt m =p 和 .d V dt=-∇p [4.11] (当然，上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
量子力学 第04章-3
A2
现在的问题是： 这两个表示有何关系？
显然， A A ' e ' A ' e ' A e A e 1 1 2 2 1 1 2 2
14
显然， A A ' e ' A ' e ' A e A e 1 1 2 2 1 1 2 2
F 表象中：
F 表象中：
基矢组 共同本征函数k 基矢组 共同本征函数 '
对任意态矢量 akk
k
对任意态矢量 a ' '
态在F 表象中的表示 （a1 , a2 ,）ak (k , )
那么
态在F 表象中的表示 (k , ) （a1 ', a2 ',）ak
ak 粒子处于k 本征态的几率
2 2
a k k
k 2 k
F ak Fk 处于 态时力学量F 取Fk的概率 ak
7
表象的物理含义
所谓选取表象，就是 (1)选取一组力学量完全集的共同本征函数 做态空间的基矢， (2)把态矢量向基矢投影，用其分量形式表示态矢量； (3)全体分量就是态矢量在该表象中的表示; (4)不同表象就是去不同基矢集。
e
Ar e A A
Ar A A
称为矢量A在球坐标中的表示
3
量子力学中描述体系的状态也不是唯一的：
描写状态的波函数可以是坐标的函数， 力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
k
积分变量如 何选择？
这一组系数（a1 , a2 ,）就是态（矢）在F 表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。
量子力学-三维量子系统
J ± a , b = c± a , b ± c± 稍后确定。
二. J 2和Jz的本征值 注意 J ± 作用到 a , b 上以后，每作用一次就增加（或 减少）Ñ，假定连续作用n次，将增加(减少)nÑ。但是 J2的本征值并不随之而改变。由于J2是总角动量的平 方，因此必然有 a ≥ b2 或者说必然存在一个最大的b，bmax，使得J+作用是 J + a , bmax = 0, ⇒ J − J + a , bmax 由于 2 J − J + = J x − iJ y J x + iJ y = J x + J 2 + i J x J y − J y J x y
从经典力学来看，物体的转动，是因为有了力矩， 使得系统的角动量发生了改变。动量使物体位置发生 平移，能量使系统的时间平移，而角动量使物体沿着 轴转动一个角度。所以我们可以说，角动量是空间转 动的生成元。
所以在量子力学中对一个态做旋转操作，也就是使 量子态言某个轴转动dφ的角度。比方说沿k轴的转 的角动量是Jk，那么可以对此轴转动的无穷小生成 元的变换形式为 Jk U ε = 1 − iGε U dφ = 1 − i d φ 我们知道角动量是矢量，实际上沿k轴的转动就是 角动量投影到k轴方向的转动 ˆ Jk = J ⋅ n 所以一般情况下，我们把转动的无穷小变换可以写 ˆ Jk J ⋅n ˆ dφ (n, dφ ) = 1 − i dφ = 1 − i
0 sin θ ⎞ 1 0 ⎟ ⎟ 0 cosθ ⎟ ⎠
同样地，逆变换
0 ⎛1 − Rx 1 (θ ) = ⎜ 0 cosθ ⎜ ⎜ 0 − sin θ ⎝ ⎛ cosθ R −1 (θ ) = ⎜ 0 y ⎜ ⎜ sin θ ⎝ 0 ⎞ sin θ ⎟ ⎟ cosθ ⎟ ⎠
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4.4.1 4.4.2 4.4.3
自旋1/2 磁场中的电子 角动量的叠加
4.4 自旋
4.4.1 自旋1/2
σx≡0 11 0， σy≡0 -ii 0， σz≡1 00 -1.(4.148) 这就是著名的泡利自旋矩阵。
4.4.2 磁场中的电子
图4.10 场中的进动
图4.11 施特恩-格拉赫实验装置示意图
氢原子基态为 ψ100(r,θ,ϕ)=1πa3e-r/a.(4.80)
归一化氢原子波函数是 ψnlm=2na3(n-l-1)!2n［(n+l)!］3e-r/na2rnal［L2l+1n-l-1(2r/na)］ Yml(θ,ϕ).(4.89)
图4.4
(r)的图像
表4.5
(x)
表4.6
(x)
表4.7
Δ2=1r2∂∂rr2∂∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂∂θ+1r21sin2θ∂2∂ϕ2.(4.13) 在球坐标系下。定态薛定谔方程可写为：
ћ22m1r2∂∂rr2∂ψ∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂ψ∂θ+1r21sin2θ∂2ψ∂ϕ2+Vψ=Eψ.(4.14) ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ).(4.15) 把上式代入式4.14，我们得到： -ћ22mYr2ddrr2dRdr+Rr2sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+Rr2sinθ2∂2Y∂ϕ2+VRY=ERY. 两边同时除以RY并乘以-2mr2/ћ2： 1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E+1Y1sinθ∂∂θsin θ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=0. 上式第一个花括号里的项仅与r有关，而其他的仅与θ和ϕ有关；所以，每项必 须为一个常数。以后我们将讨论到，3我将把这个分离常数写做l(l+1)： 1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E=l(l+1);(4.16) 1Y1sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=-l(l+1).(4.17)
第4章 三维空间中的量子力学
4.1 球坐标系中的薛定谔方程 4.2 氢原子 4.3 角动量 4.4 自旋
4.1 球坐标系中的薛定谔方程
4. 径向方程
4.1.1 分离变量法
图4.1 球坐标：半径r，极角θ，方位角ϕ。
在球坐标系下拉普拉斯算符的形式为：
(r)
4.2.2 氢原子光谱
图4.7 氢原子的能级和跃迁光谱
4.3.1 本征值 4.3.2 本征函数
4.3 角动量
4.3.1 本征值
图4.8 角动量的梯形态
图4.9 角动量态(l=2)
4.3.2 本征函数
Lz=ћi∂∂ϕ.(4.129) L2=-ћ21sin θ∂∂θsin θ∂∂θ+1sin2θ∂2∂ϕ2.(4.132)
4.2.1 径向波函数 4.2.2 氢原子光谱
4.2 氢原子
图4.3 氢原子
4.2.1 径向波函数
E=-m2ћ2e24πε021n2=E1n2, n=1,2,3,…(4.70) 这就是著名的玻尔公式。
a=4πε0ћ2me2=0.529×10-10m(4.72) 是所谓的玻尔半径。
态(即能量最低的态)是n=1的态；把物理常数代入，我们有： E1=-m2ћ2e24πε02=-13.6eV.(4.77) 显然氢原子的结合能(也就是电离基态电子所需要的能量)为13.6 eV。
4.1.2 角动量方程
B4-1.TIF
Yml(θ,ϕ)=ε(2l-1)(l-m)！4π(l+m)！eimϕPml(cos θ)， (4.32)
表4.3 前几个球谐函数, (cos θ)
表4.4 前几个球贝塞尔和球诺依曼函数, (x) (x)；x很小时的渐进形式。
图4.2 前4个球贝塞尔函数图
4.4.3 角动量的叠加
4-12.TIF
s=1的三个态为(用sm〉表示)：
11〉=↑↑ =↓↓
10〉=12(↑↓+↓↑)1-1〉 s=1(三重态).(4.177)
这称为三重态。
00〉=12(↑↓-↓↑) s=0(单态).(4.178)