固体物理倒格子
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
固体物理第二章第四节 倒格子
1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0
e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义
倒格子点阵是固体物理学中的一个重要概念，用于描述晶体中离子、原子或分子的排列方式。
它表示了晶体中离子在晶格中的周期性排列。
倒格子点阵在物理意义上具有以下重要特征：
1.倒格子与晶体结构的相互关系：倒格子是晶体格矢的补格。
晶体格矢是描述晶体结构的向量，而倒格子则是晶格矢的傅里叶变换。
倒格子点阵的形状和大小与晶体结构紧密相关。
2.表征晶体的动量空间：倒格子点阵的形成使得晶体在动量空间中的结构得以描述。
晶体具有动量离散化的性质，电子、声子等载流子在动量空间中的行为可以通过倒格子点阵的形态和性质来理解和
分析。
3.描述布里渊区和能带结构：倒格子点阵的布里渊区（Brillouin Zone）是动量空间中与晶格有关的基本单元。
布里渊区的形状和大小直接决定了电子能带结构、光学性质和输运特性等重要物理现象。
4.反映物质衍射性质：倒格子点阵的概念是描述晶体衍射的基础。
实验中利用晶体的衍射现象可以确定物质的结构和性质，倒格子点阵提供了理论上的基础框架。
倒格子点阵在固体物理学中具有重要的物理意义，它是描述晶体结构和性质的关键概念，并与动量空间、能带结构、衍射性质等密切相关。
通过倒格子点阵的分析，可以深入理解晶体的属性和行为，为研究材料科学和固体物理学提供了有力的工具和理论基础。
固体物理第一章 晶体结构4-5
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象
—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的 ——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量
20
固体物理
固体物理学
晶体宏观对称性的描述
列举晶体的全部对称操作：
对称操作是指能使晶体自身重合的动作。 与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作 （操作过程中保持空间中至少有一个不动点的 对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映
及它们的联合操作。
对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。
21
固体物理
固体物理学 举例：立方晶体的对称操作
绕三个立方轴转 3 , ,
2 2
绕6条面对角线转
绕4条体对角线转
2 4 , 3 3
共9个对称操作
共6个对称操作
共8个对称操作
另外，“不动”也是1个对称操作。以上24个对称以操作 加中心反演仍是对称操作，立方晶体共有48个对称操作。
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量 具有相同的量纲。
7
固体物理
固体物理学
2.3位矢之间关系
正格矢： 倒格矢： 二者的关系：
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
G h Rl 2n (n为整数)；
11
固体物理
固体物理学
2 d 晶面族(h1h2h3)的面间距d为 Gh
(2)
证明：由前面的证明可知，原点 到面ABC的距离即为所求面间距 (设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
06 固体物理 1.4.1 倒格子
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
固体物理学 倒格子
3 * 0
(2π ) v = v0
* 0
3
01 04 倒格子 —— 晶体结构
2) 正格子中一簇晶面 ( h1 h2 h3 ) 和
v Gh1h2h3 正交
v v v v Gh1h2h3 = h1b1 + h2b2 + h3b3
—— 积分在一个原胞中进行
01 04 倒格子 —— 晶体结构
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
v v v * v0 = b1 ⋅ (b2 × b3 )
3
v v v v v v v v v A × B × C = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C
(2π ) v v v v v v = ( a2 × a3 ) ⋅ ( a3 × a1 ) × ( a1 × a2 ) 3 v0
v v v a2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v v v v a3 × a1 a1 × a2 b2 = 2π v v v b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
v v v 以 b1 , b2 , b3 为基矢构成一个倒格子
01 04 倒格子 —— 晶体结构
v 3) 倒格子矢量 Gh1h2h3 为晶面( h1h2 h3 ) 的法线方向
v v v v 晶面方程 ( h1b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ x = 2πn
各晶面到原点O点的距离
v v v (2π n ) / h1b1 + h2b2 + h3b3
v v ai ⋅ b j = 2πδ ij
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
固体物理：1-4 倒 格
反射线构成以 转轴为轴的一 系列圆锥
实际反射线是 通过晶体O的
由直线间距计 算晶格常量
P C
CO为入射方向, 晶体原点在O 点处
O
35
P
C
O
O
CO为入射方向,晶体在O点处
根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。
36
3.粉末法
(1)X射线单色(固定)； (2)样品为取向各异的单晶粉末。
由于样品对入射线方向是“轴对称”的，任意晶面的取向 几乎是连续的，对应的反射线以入射方向为轴形成一个圆 锥面。不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射线与圆筒 形相交，形成图示衍射条纹。
Ω* (2π)3 / a3 (2π)3 / Ω
ak
aj
O
ai
b3
b2
O
b1
第一布里渊区
12
例5：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a a1
a j
2
k
a2 a
3
a
2
i
a
2
i
k
j
Ω a1 (a2 a3)
1 a3 4
ak
a 1
aj
倒格基矢:
19
§ 1.8.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质
上而产生的一种电磁波。主要与原子中电子云发生作用。
当晶体中含有质量相差较大的原子时，用X射线衍射测定晶
体结构。
h max eU
h c eU min
min
hc eU
1.2
U
103
(nm)
h 6.62 1034 J s c 3 108 m s e 1.6 1019 C
倒格子与布里渊区
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
固体物理学：倒格子
[1]倒格子基矢与正格子基矢的关系------两个基矢正交
设
Gh1h2h3
h1b1 h2b2
所以，Gh1h2h3 • Rl1l2l3 (h1b1
h3b3 h2b2
h3b3 )
•
(n1a1
n2a2
n3a3
)
由此推论：
bi
•
aj
2m 2 ij
[2]倒格子与正格子的原胞体积的关系
G a3 h3 2
由此上式可表示为：G h1b1 h2b2 h3b3
ai bj
2 i j
0 i j i, j 1,2,3
b1
b2
b3
2
V
2
V
2
V
(a2
(a3 (a1
a3 )
a1 )
a2 )
V a1 (a2 a3 )
是原胞的体积
以 b1 ，b2，b3 作为基矢所构成的格子称倒格子。
正格子体积为 倒格子体积为
a1 • (a2 a3 ) b1 • (b2 b3)
(3) 倒格子矢量与晶面指数的关系---倒格矢的方向
如图所示，晶面系 (hlh2h3)中最靠近 原点的晶面ABC在基 矢a1 , a2 , a3上的截 距分别是a1/hl， a2/h2，a3/h3。
结论： 倒格矢G垂直于密勒指数为（h1h2h3）晶 面系(倒格式的方向)。或倒格矢G为晶面（h1h2h3）
Hale Waihona Puke 就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
理解（2）
晶格点阵（或叫正格子点阵）是真实空间中的点阵， 具有[长度]的量纲；
倒格子点阵（或叫倒易点阵）是在与真实空间相联系 的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1的量纲。量纲为L-1 的矢量空间为倒格子空间。
王淑华固体物理1.4倒格
2π (2)证明 Kh = h b1 +h b2 +h b3 的长度等于 证明 。 1 2 3 dh1h2h3
由平面方程： 由平面方程： X ⋅ n = µd 得：
dh h h
1 2
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
K h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
第四节
本节主要内容: 本节主要内容: 1.4.1 倒格定义
倒格
1.4.2 倒格与正格的关系 1.4.3 倒格与傅里叶变换
• 假设:基矢是未知的，只有一些周期性分布的 点子同晶面族一一对应,可以求出基矢. • In X-ray photo, Points correspond with the crystal planes. • 倒格子:类似上面所设想的那些点子所组成的 格子.
1.4.3 倒格与傅里叶变换 在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。 在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
Γ r + Rl = Γ r
(
) ()
是正格矢。 R l 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开： 上式两边分别按傅里叶级数展开：
Γ r = ∑Γ( K h ) ei K h ⋅r
1.3倒格子,固体物理
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a1 b1 2
a 2 a2 j
a 1 a1 i
b2
2π a2
2π b1 i a1
a1 b 2 0 a 2 b 2 2π
2π b2 j a2
正格子
b1 2π
a1
倒格子
K h h1 b1 h2 b 2 3b1 2b 2 2π 2 π 倒格子是边长分别为 , 的长方形格子。 a1 a2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
FCC基矢：
a a1 i j 2 a a2 jk 2 a a3 ki 2
2π b2 ik a b3
2π i j a
2π b3 i j a
倒格子基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是正格子原胞的体积
与 K n h b1 h b 2 h b 3 ( h1 所联系的各点 , h , h 为整数 ) 2 3 1 2 3 的列阵即为倒格子。
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义
二、倒格子与正格子的关系
三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
固体物理之之倒格子
倒格子题目：试论倒格子、倒格子空间的基本概念、与正格子的关系以及在固体物理研究中的意义和作用。
1.倒格子的基本概念：假定晶格点阵基矢1a 、2a 、3a（1、2、3表示 a 的下标）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义： v a a b )(2321 ⨯=π v a a b )(2232 ⨯=π v a a b )(2213 ⨯=π其中)(321a a a v ⨯⋅= 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢1b 、2b 、3b 是不共面的，因而由 1b 、2b 、3b 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子 ，而1b 、2b 、3b 称为倒格子基矢。
2.倒格子与正格子之间的关系：①基矢间关系：3,2,1,)(0)(2=⎩⎨⎧≠==*j i j i j i b a j i π ②位矢之间关系：正格子位矢：332211a l a l a l R l ++=倒格子位矢：332211b n b n b n G n ++=二者关系：m R G l n π2=⋅ （m 为整数）表明：若两矢量点积为π2的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢， 另一个必为倒格子位矢。
③原胞体积的关系：倒格子原胞的体积v *与正格子原胞体积v 的关系 为:)()2()2()(32133321*a a a vb b b v ⨯⋅==⨯⋅=ππ ④倒格矢332211b h b h b h G ++=与正格子中密勒指数为)(321h h h 的晶面族正交。
即332211b h b h b h G ++=沿晶面族)(321h h h 的法线方向。
3.固体物理研究中的意义和作用：①：倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
例如，晶体的衍射是由于某种波和晶格互相作用，与一族晶面发生干涉的结果，并在照片上得出一点，所以，利用倒格子来描述晶格衍射的问题是极为直观和简便的。
固体物理倒格子的原理
倒格子摘要：倒格子是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。
为此为了研究的方便，结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。
和正格子相比，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
因此倒格子具有很重要的物理意义，及其所组成的倒易点阵，更是研究晶格性质的重要手段。
关键词：倒格子正格子点阵布里渊区一、倒格子的定义及其相关概念：（1）倒格子：亦称倒易格子(点阵)，倒格子就是和布拉发矢量（晶格矢量）共轭的另一组矢量基，俗称动量空间，适合于用来描述声子、电子的晶格动量。
它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。
晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。
（2）倒格子的定义：已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为：；说明b1垂直于a2和a3所确定的面。
；说明b2垂直于a3和a1所确定的面。
；说明b3垂直于a1和a2所确定的面。
正格子体积：（3）相关概念：①倒格点：平移操作所产生的格点叫。
②倒格矢：为。
③倒格子：倒格点的总体叫。
④倒格基矢：一组。
二、倒格子的性质：（1） 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系：倒格子体积： ，（2） 正格子与倒格子间的关系：倒格矢与任一个正格矢的乘积必等于, 即 = 。
（3） 正格子中一族晶面（321h h h ）和倒格子基失矢正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标。
（4） 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向；倒格矢的大小正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数：dG π2//=三、倒格子原胞和布里渊区：倒格子原胞，作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。
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为周期的三维— 倒格子基矢量
b1
2
a2 a3 a1 a2 a3
b2
2
a3 a1 a1 a2 a3
b3
2
a1 a2 a1 a2 a3
以
为基矢构成一个倒格子
倒格子每个格点的位置
Vh1, h2 , h3
1 a1 a2 a3
dxeiGh1h2h3 xV ( x )
—— 积分在一个原胞中进行
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
* (2 )3
2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0 Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
3）倒格子矢量
为晶面
晶面方程
各晶面到原点的距离(x在G上的投影)
的法线方向
ai
bj
2ij
面间距
d
2
h1b1 h2b2 h3b3
—— 倒格子矢量
倒格子基矢的性质
ai
bj
2ij
2
0
(i j) (i j)
—— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数
原胞里任一点
宗量
晶格周期性函数
傅里叶级数
为整数
由倒格子基矢
得到 代入
得到
V (x)
V eiGn1n2n3 x h1, h2 , h3
h1, h2 , h3