二项分布经典例题+练习题
二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
二项分布例
例1 一大批电子管中有10%已损坏，若我们从这批电子管中随机地选取20只来组成一个线路，问这个线路能正常工作（20个电子管全好）的概率？
解：因这批电子管数量很大，因此可近似地把选取20只管作为进行独立试验。
把选得好管作为成功，其概率为0.9，故所求的概率为：
1216.09.09.0)9.0,20;20(20
202020≈=⋅=C b
例2 设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发中打中飞机的最可能次数是多少？并求相应的概率。
解：设X 表示打中的次数，则 {}17635
.0)99.0()01.0(55,01.5)1()
01.0,500(~49555500≈⋅⋅====+C X P m p n B X
例3 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个这类人参加人寿保险。
试求在未来一年中在这些保险者里面，①有40个人死亡的概率；②死亡人数不超过70个的概率。
解：作为初步的近似，可利用Bernoulli 概型；n=10000，p=0.005；设X 为未来一年中死亡人数，则：
()005.0,10000~B X
① {}9960404010000
)995.0()005.0(40C X P ==; ②
∑=-=≤700
1000010000
)995.0()005.0()70(k k k k C X P .。
高中数学二项分布例题
高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。
若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。
解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。
根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。
恰好8件合格的概率约为19.37%。
例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。
若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。
解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。
P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
二项分布练习题
二项分布知识清单：1．独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为________________2．二项分布：一般地，在次独立重复试验中，用 表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则_______________ ，.此时称随机变量服从_____________，记作 ，并称为成功概率. 例题1．独立重复试验应满足的条件是（ ）①每次试验之间是相互独立的； ②每次实验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的（A ）①② （B ）②③ （C ）①②③ （D ）①②④2．某次试验中事件A 发生的概率为，则在次这样的试验中，发生次的概率为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）3．已知随机变量服从二项分布，则等于（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．5．甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求 （1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；（3）乙恰好比甲多击中目标2次得概率；练习题1．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为，则事件A 在1次试验中发生的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．流星穿越大气层落在地面上的概率为0.002,，流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获n n X A A p ()P X k ==0,1,2,,k n =X (,)X B n p p p n A k k p -1k n k p p --)1(k p )1(-k n k k n p p C --)1(ξ)31,6(~B ξ)2(=ξP 163243424313243800.8213281653152654351032.3-⨯91032.3-⨯51064.6-⨯91064.6-⨯546251662596625192625256胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）（A ）0.216 （B ）0.36 （C ）0.432 （D ）0.6485．接种某疫苗后，出现发热反映的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________6．如果学生甲每次投篮中的概率为，那么他连续投三次，恰好两次投中的概率为_____________，至少有一次投中的概率为____________ 7．若血色素化验的准确率是，则在10次化验中，最多一次不准确的概率是_____________ 8．某篮球运动员在三分线投球的命中率为，他投球10次，恰好投进3个球的概率为_____________ 9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______________10．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率？（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至少4min 的概率？11．某单位为绿化环境，移栽了甲乙两种大树各2株，设甲乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：（1）至少有1株成活的概率；（2）两种大树各成活1株的概率．12．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为，甲乙丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 （1）求三位同学都没有中奖的概率；（2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 31p 2131655461。
专题14 二项分布(解析版)
专题14 二项分布例1．已知随机变量1~(4,)3X B ，那么随机变量X 的均值()(E X = )A ．89B ．43C ．2D ．83【解析】解：随机变量1~(4,)3X B ，14()433E X ∴=⨯=．故选：B ．例2．设随机变量Y 满足1~(4,)2Y B ，则函数2()44f x x x Y =-+无零点的概率是( )A ．1116B ．516C ．3132D ．12【解析】解：因为函数2()44f x x x Y =-+无零点， 所以△2(4)4140Y =--⨯⨯<， 所以1Y >，所以2223344044411111111(1)(2)(3)(4)()()()()()()22222216P Y P Y P Y P Y C C C >==+=+==++=．故选：A ．例3．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，那么()(E Z =)A ．11(1)p p --B ．21p C ．11(1)p p +-D ．21(1)p -【解析】解：11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，可得1()E Y p=． 1()(1)k P Y k p p -∴==-，2k =，3，⋯，1()E Y p p=-．那么2211()2(1)2(1)3(1)3(1)(1)(1)k k E Z p p p p p p p p kp p k p p --=-+-+-+-+⋯⋯+-+-+⋯ 2112(1)3(1)(1)k p p p p p k p p p-=-+-+-+⋯⋯+-+⋯． 设2123k k A p p kp -=++⋯⋯+．23123(1)k k k pA p p k p kp -=++⋯⋯+-+． 1231(1)(1)21k k kk k p p p A p p p pkp p kp p---∴-=+++⋯⋯+-=+--．k ∴→+∞时，(1)1k pp A p p-→+-． 11()11(1)p E Z p p p p p p ∴=-++=---． 故选：A ．例4．已知随机变量X ，Y 满足8X Y +=，若~(10,0.6)X B ，则()E Y ，()D Y 分别是( ) A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【解析】解：随机变量X ，Y 满足8X Y +=，~(10,0.6)X B ，()100.66E X ∴=⨯=， ()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=，()(8)8()862E Y E X E X =-=-=-=， ()(8)() 2.4D Y D X D X =-==．故选：B ．例5．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选：A ．例6．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差(D η= )A ．329B ．169 C ．89D ．49【解析】解：23ηξ=+，4D D ηξ∴=，又1284339D ξ==，329D η∴=． 故选：A ．例7．设X 为随机变量，1~(,)3X B n ，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则(2)P X =等于( )A ．80243B ．13243C ．4243D ．1316【解析】解：随机变量X 为随机变量，~X B 1(,)3n ，∴其期望1()23E X np n ===，6n ∴=，22461180(2)()(1)33243P X C ∴==-=． 故选：A ．例8．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【解析】解：由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选：C ．例9．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是( )A ．316 B ．516 C ．716 D ．916【解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C p C == 重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是： 3336115(3)()()2216P X C ===．故选：B ．例10．我国的5G 研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通5G 基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A 和元件B 按如图方式连接而成．已知元件A 至少有一个正常工作，且元件B 正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A 和元件B 正常工作超过10000小时的概率分别为12和45． （Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率；（Ⅱ）某城市5G 基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数．【解析】解：（Ⅰ）元件A 至少有一个正常工作超过10000小时的概率3171()28-=，则该装置正常工作超过10000小时的概率为3147[1()]2510P =-⨯=．（Ⅱ）设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X 台， 则X 服从二项分布7~(1200,)10X B ， ∴这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：7120084010⨯=台． 例11．设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为(p p ，(0,1))q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ． （1）当12p q ==时，求数学期望()E ξ及方差()V ξ； （2）当1p q +=时，将ξ的数学期望()E ξ用p 表示． 【解析】解：（1）每位投球手均独立投球一次，当12p q ==时，每次试验事件发生的概率相等， 1~(3,)2B ξ∴，由二项分布的期望和方差公式得到结果13322E np ξ∴==⨯=，113(1)3(1)224D np p ξ=-=⨯⨯-= （2）ξ的可取值为0，1，2，3． 22(0)(1)(1)P q p pq ξ==--=；21322(1)(1)(1)(1)2P q p q C p p q p q ξ==-+--=+；12232(2)(1)(1)2P qC p p q p pq p ξ==-+-=+；2(3)P qp ξ==．ξ的分布列为23223201(2)2(2)31E pq q p q pq p qp p ξ=⨯+⨯++⨯++⨯=+．例12．某射手每次射击击中目标的概率是45，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率．【解析】解：（1）某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为8821041()()55C ．（2）至少有8次击中目标的概率为8829910101041414()()()()55555C C ++．例13．一个盒子里有2个黑球和m 个白球*(2,)m m N ∈．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中． （Ⅰ）求每次中奖的概率p （用m 表示）； （Ⅱ）若3m =，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为()f p ，当m 为何值时，()f p 取得最大值？ 【解析】解：（Ⅰ）取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率2222222232m m C C m m p C m m ++-+==++； （Ⅱ）若3m =，每次中奖的概率25p =， ∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为1232254(1)55125C -=； （Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为12323()(1)363(01)f p C p p p p p p =-=-+<<， ()3(1)(31)f p p p ∴'=--，()f p ∴在1(0,)3上单调递增，在1(3，1)上单调递减，13p ∴=时，()f p 取得最大值，即2221323m m p m m -+==++ 2m ∴=，即2m =时，()f p 取得最大值．例14．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6:15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为13，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：（1）设学校规定7:20后（含7:20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率； （2）设X 表示该学生上学途中遇到的红灯数，求(2)P X 的值；（3）设Y 表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y 的分布列和数学期望． 【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时， 该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：41121()()33381p =+=． （2）由题意知1~(5,)3X B ，(2)1(0)(1)P X P X P X ∴=-=-=0514552121311()()()333243C C =--=．（3）由题意知0Y =，1，2，3，4，5， 1(0)3P Y ==，212(1)339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ===，3218(3)()3381P Y ===， 42116(4)()33243P Y ===，5232(5)()3243P Y ===， ∴随机变量Y 的分布列：24816324221234592781243243243EY ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例15．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：根据表格，解答下面的问题：（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2133405307259646)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）【解析】解：（Ⅰ）幸福感指数在[4，6)，[6，8)内的频数分别为220180400+=和125175300+=， 因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400100020.2÷÷=，300100020.15÷÷=， 据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01210.015230.2250.15270.12529 6.46⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （Ⅱ）男市民幸福的概率是1251250.5500+=， 女市民幸福的概率是1751250.6500+=， 一对夫妇都幸福的概率是0.50.60.3⨯=，故所求的概率为332503070.1323C =．例16．德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E ξ．【解析】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ， 且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++ 322132213211543324332433212=++=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5~(3,)12B ξ， 0337343(0)()121728P C ξ===， 12357735(1)()()12121728P C ξ===， 22357525(2)()()12121728P C ξ===， 3335125(3)()121728P C ξ===， ξ∴的分布列为：5~(3,)12B ξ， 553124E ξ∴=⨯=． 例17．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是23，乙胜的概率是13，不会出现平局．（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率．【解析】解：（1）甲恰好胜2局的概率2213214()339P C ==； 乙至少胜1局的概率322191()327P =-=；（2）打3局：328()327=；打4局：2232128()33327C ⨯⨯⨯=； 打五局：22242124816()()33334381C ⨯⨯⨯==因此甲获胜的概率为6481例18．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的． （Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．【解析】解：（Ⅰ）设成活沙柳的株数为X ，则0X =，1，2，3，4，且有44()(1)(0,1,2,3,4)k kk P X k C p p k -==-=------------------------------（4分）据题意，每种植3株就有2株成活，∴23p =， ∴株数X 的分布列为X∴的期望值188321680123481812781813EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------------------------------------（7分） （Ⅱ）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x ，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳． 据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳83株，因此，共种植成活的沙柳83x 株．-----------------（10分） 据题意，需8240003x ，解得9000x ．所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害． 例19．袋中装有13个红球和n 个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，若从袋中同时取两个球，取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍． （1）试求n 的值；（2）某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值． 【解析】解：（1）记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件A 和B ， 根据题意，得：213213()n C P A C +=，P （B ）1113213n nC C C +=， 令P （A ）3P =（B ），*k N ∈ 即21113132213133n n nC C C C C ++=， 解得2n =．（2）设中奖人数为η，不中奖人数为21η-，奖金为ξ，则1000100(21)ξηη=+-，即9002100ξη=+，每人中奖的概率为P （B ）11132213226105C C C +==， 26~(21,)105B η∴ 2626211055E η∴=⨯=， 26900210067805E ξ=⨯+=． 故此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值为6780元．例20．为备战2012年伦敦奥运会，两家篮球队分轮次进行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为23和(0)P P >假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”()I 若12p =求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率； ()II 设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为ξ，当2E ξ时，求P 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为1P ，则11222221222221121211()()()33232993P C C C C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．（5分） （Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为2P ，则11222222222221284(1)()33399P C C p p C C p p p =⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯=-，（9分） 2~(6,)B P ξ，262E P ξ∴=即2846()299p p -， 24830p p ∴-+0p >， 102p ∴<．（12分） 例21．已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是12．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为X ，对该项目每投资十万元，X 取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．【解析】解：每次调整中价格下降的概率都是12，由题设得1~(2,),2X B p p =， 则X 的概率分布为故收益1X 的概率分布为12EX ∴=10.08DX =．。
二项分布题目
二项分布题目一、一个篮球运动员投篮的命中率为0.6，他独立进行5次投篮，恰有3次投中的概率是多少？（答案：C）A. 0.12B. 0.23C. 0.26D. 0.35二、某药品对某种疾病的治愈率为0.8，现有10位患者独立使用该药品，恰有8位被治愈的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.17C. 0.40D. 0.60三、一枚硬币投掷的正面概率为0.5，独立投掷8次，出现4次正面的概率是多少？（答案：A）A. 0.27B. 0.35C. 0.50D. 0.65四、某种电子产品的合格率为0.95，现随机抽取20个进行检验，恰有1个不合格的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.19五、一个骰子投掷的点数大于3的概率为0.5，独立投掷6次，出现3次点数大于3的概率是多少？（答案：C）A. 0.10B. 0.15C. 0.25D. 0.35六、某品牌手机的故障率为0.05，现随机售出100部手机，恰有2部出现故障的概率是多少？（答案：B）A. 0.01B. 0.18C. 0.50D. 0.82七、一个学生做题的正确率为0.7，他独立做10道题，恰有7道做对的概率是多少？（答案：A）A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.35八、某种疫苗的接种成功率为0.9，现有50人独立接种该疫苗，恰有45人接种成功的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.18九、一个网站的用户点击广告的概率为0.2，独立有1000次用户访问，恰有200次点击广告的概率是多少？（答案：C）A. 0.01B. 0.05C. 几乎为零（实际值极小）D. 0.20十、某种植物的种子发芽率为0.8，现随机播种10粒种子，恰有8粒发芽的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.20C. 0.40D. 0.60。
【高中】二项分布经典练习题
【高中】二项分布经典练习题问题1假设一枚硬币有50%的概率正面朝上，50%的概率反面朝上。
现在我们投掷这枚硬币10次，问以下问题：1. 正面朝上的次数是多少？2. 反面朝上的次数是多少？问题2某班级有30名学生，其中有60%的学生是女生。
现在我们从这个班级随机选择5名学生，问以下问题：1. 这5名学生中女生的人数是多少？2. 这5名学生中男生的人数是多少？问题3有一个大，里面装有500个小球。
其中有40%的小球是红色的，60%的小球是蓝色的。
现在我们从这个中随机取出20个小球，问以下问题：1. 这20个小球中红色小球的个数是多少？2. 这20个小球中蓝色小球的个数是多少？问题4假设每个人生日的概率是均等的，每年有365天。
现在考虑一个班级有30个学生，问以下问题：1. 这个班级的学生中，至少有两人生日相同的概率是多少？2. 这个班级的学生中，至少有三人生日相同的概率是多少？问题5某公司的质量控制部门进行产品检验，发现其中10%的产品存在缺陷。
现在他们从一个批次中随机选择了100个产品进行检验，问以下问题：1. 这100个产品中存在缺陷的产品数量是多少？2. 这100个产品中没有缺陷的产品数量是多少？问题6假设一个城市的某种传染病的患病率为5%，一天中有1000人去医院就诊。
问以下问题：1. 这1000个人中患有该传染病的数量是多少？2. 这1000个人中没有患有该传染病的数量是多少？以上是关于二项分布的经典练习题，根据题目情况进行分析和计算，可以应用二项分布的知识解决。
二项分布及其应用(练习)
百度文库 - 让每个人平等地提升自我1二项分布及其应用（练习）1、若P (B |A )＝0.5，P (AB )＝0.32，则P (A )等于 ( ) A ．0.46 B ．0.64 C ．0.48D ．0.682.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回的抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是 ( ) A.14 B.13 C.12 D ．13．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 ( ) 4．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于 （ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为 （ ）6．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）7、抛掷一颗骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．8．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．9．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）10．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．11．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．12.如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率13.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率 （2）甲、乙两地都不降雨的概率 （3）其中至少一个地方降雨的概率 14.将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X 的分布列15.若某射手每次射击击中目标的概率是0.9，每次射击的结果互相独立，则在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后3次都击中目标的概率是多少？16．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率【课后反思】1.今天你的收获是什么？ _______________________________ 2.你有哪些方面需要努力？ ________________ ________________。
统计学二项分布习题
(一)单项选择题1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（ ）A ．样本患病率p =X /n 服从B （n , π）B ．n 人中患高血压的人数X 服从B （n , π）C ．患病人数与样本患病率均不服从B （n , π）D ．患病人数与样本患病率均服从B （n , π）答案：B[评析] 本题考点：二项分布概念的理解。
二项分布中所指的随机变量X 代表n 次试验中出现某种结果的次数，具体到本题目就是指抽查的n 个人中患高血压的人数，因此答案为B 。
2．二项分布近似正态分布的条件是（ ）A ．n 较大且π接近0B ．n 较大且π接近1C ．n 较大且π接近0或1D ．n 较大且π接近0.5答案： D[评析] 本题考点：二项分布的正态近似特性。
从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π, )1(ππ-n ）。
π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。
3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（ ）A ．正态分布 B. 对称分布C ．Poisson 分布 ?D. 二项分布答案：C[评析] 本题考点：Poisson 分布的特性。
Poisson 分布P （μ）的参数只有一个，即μ。
它的均数和方差均等于μ，这一点大家需要牢记。
4. 测得某地区井水中细菌含量为10000／L,据此估计该地区每毫升井水中细菌平均含量的95%可信区间为（ ）A ．1000096.110000± B. 1096.110±C ．10001000096.110± ?D. 1000096.110± 答案：C[评析]本题考点：Poisson 分布的正态近似性。
当X 较大（一般大于50）时，Poisson 分布近似正态分布，按照正态分布资料的计算公式计算该地区井水中平均每升细菌含量的95%可信区间，再除以1000即得平均每毫升井水中细菌的平均含量（设1000X Y=，有1000100001000==X Y S S ）。
(完整版)二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
2023 届高考数学复习：历年经典好题专项(二项分布与超几何分布、正态分布)练习(附答案)
粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的
(-100)
1
e- 200
10√2π
株高,得出株高 X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为 f(x)=
法正确的是(
4
5
率为 ,则连续测试 4 次,至少有 3 256
625
64
625
B.
C.
)
D.
64
125
3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则
P(ξ≤1)等于
A.
(
1
5
2
5
3
5
B.
C.
D.
)
4
5
4.(历年福建福州高三检测)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩 X 近似服从正态分布
)
A.该地水稻的平均株高为 100 cm
B.该地水稻株高的方差为 10
2
,x∈(-∞,+∞),则下列说
C.随机测量一株水稻,其株高在 120 cm 以上的概率比株高在 70 cm 以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
8.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次的概率
到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过 500 克的产品数量;
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列.
高中三年级上学期数学《二项分布的概念》练习题
《二项分布的概念》练习题习题1.某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中的目标概率都为43，且各次击中目标与否相互独立。
用X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X 的分布列。
习题2：某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9。
设Y 为3台报警器报警的台数，求发生险情时Y 的分布列。
习题3：下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ （1）掷 5 枚相同的骰子，X 为出现“1”点的骰子数； （2）n 个新生儿，X 为男婴的个数；（3）某产品的合格品率为 p ，X 为 n 个产品中的次品数；（4）袋中有除了颜色不同其他都相同的白球2个，红球3个，有放回的连续取4次，每次取一个，X 为4次中取到红球的总数.习题4：若电梯在每一层停或不停的概率是相等的，则从底层到第十层电梯之间停了（底层不停）不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？习题5：抛掷两枚质地均匀的骰子，取其中一枚的点数作为点P 的横坐标，另一枚的点数为P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆1622=+y x 内的次数X 的分布列.参考答案1. 解析：X1234)(k X P =4004)41()43(C 3114)41()43(C 2224)41()43(C 1334)41()43(C 0444)41()43(C2. 解析：n 次独立重复试验；每次试验的概率不变；每次试验只有两个对立结果。
通项.3,2,1,0,)9.01(9.0)(33=-==-k C k Y P k k k3. 解析：（1）X ～B(5，1/6)（2）X ～B(n ，1/2)（3）X ～B(n ，1- p)（4）X ～B(4，3/5)4. 解析：设停电梯的次数为 X ，X=0，1，2，3， (9)根据三点特征，X 服从二项分布，X ~ B （9，1/2）99954496339)21()21()21()21()21()3(⨯++⨯⨯+⨯⨯=≥∴C C C X P，）（次时设电梯停9999)21()21(21)(k kk k C C k X P k ===-.21,54999最大）（最大，即时或当k k C C k =∴5. 解析：设每次试验中点P 落在圆内的概率为p ，X ~ B （3，p ）点P 的坐标一共有36种情况，落在圆内的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1）（3，2）共8个．92368==∴p)923(~，B X ∴ .3,2,1,0,)97()92()(33===-k C k X P k k k。
二项分布 经典题1
1. 二项分布是什么？二项分布：进行一系列试验,如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率.二项分布：若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.2.3.已知随机变量X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5),则p=?，P(x=2)=?已知随机变量X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5),则p=?，P(x=2)=?随机变量X满足二项分布，参考答案如下：4. 口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是（）因为每次取了都放回，所以每次取到白球的概率都是0.5考查n次独立重复实验中恰有k次发生的概率5次恰有3次取到白球的概率是C(5,3)*0.5³ * 0.5² = C(5,3) *0.5^5 = 5/165. 在一个书包里放3只黄乒乓球和5只白乒乓球，你每次任意摸出一只球这样摸100次。
摸出黄乒乓球的次数大约占总次数的百分之几？2 摸出黄球大约会多少次？3/8100*3/8=37.54yellow 1white20*30/3=200包内一共有8只乒乓球，黄球占3/8白球占5/8那么重复取球100次每次取球取到黄球概率为3/8取到白球的概率为5/8那么取出黄球的次数占总数的3/8取出黄球的次数大约为100×3/8=37.5即是37次回答大约是38次好像也可以使黄球个数占总数的8/10即可：例如可以放4只黄球1只白球也可以放8只黄球2只白球。
二项分布高考试题
二项分布练习题目：1.某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3 次射击 ,这人恰有两次击中目标的概率为2.加工某种部件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为 9 、 8 、 7，且各道工序互不影响。
10 9 8(1) 求该种部件的合格率；(2) 从该种部件中任取 3 件，求恰巧取到一件合格品的概率和起码取到一件合格品的概率。
（Ⅰ）解： P9 8 7 7 ；109 810（Ⅱ）解法一：该种部件的合格品率为7，由独立重复试验的10概率公式得：恰巧取到一件合格品的概率为C 317(3 )2 0.189 ，10 10起码取到一件合格品的概率为1 (3)30.973.10解法二：恰巧取到一件合格品的概率为起码取到一件合格品的概率为C 317(3)20.189 ，1010C 17(3)2C 2(7)23 C 3 (7)3 0.973.31010310 10 3 103. 9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子抽芽的概率为 0.5 ，若一个坑内起码有 1 粒种子抽芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没抽芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（Ⅰ）解：由于甲坑内的3 粒种子都不抽芽的概率为(1 0.5)31，所1 78以甲坑不需要补种的概率为0.875.188C 317(1)2（Ⅱ）解： 3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为0.041.88（Ⅲ）解法一：由于 3 个坑都不需要补种的概率为(7)3，1 (7)38因此有坑需要补种的概率为0.330.8解法二： 3 个坑中恰有1 个坑需要补种的概率为C 311( 7 ) 2 0.287,8817恰有 2 个坑需要补种的概率为C 32 ( ) 2 0.041,8 83 个坑都需要补种的概率为C 33(1)3(7)0.002.884.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假定在各路口能否碰到红灯是互相独立的，碰到红灯的概率都是 1，碰到红灯时逗留的时3间都是 2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时初次碰到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因碰到红灯逗留的总时间x 的分布列 .（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时初次碰到红灯为事件 A ，由于事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有碰到红灯，在第三个路口碰到红灯”，因此事件A 的概率为PA11111 4 .3 3327（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6， 8（单位：min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上碰到k 次红灯”（ k0， 1，2， 3， 4），k4k∴ P2k C k412k 0,1,2,3,4，33∴即的散布列是024685.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 2 和 1，且各株大树能否成活互不32影响．求移栽的 4 株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活 1 株的概率；（Ⅱ）成活的株数的散布列及希望值。
(完整版)二项分布经典例题+练习题
二项分布1．n 次独立重复试验一般地,由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
(1）独立重复试验满足的条件 第一:每次试验是在同样条件下进行的;第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三:每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n knCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回,求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
3。
甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ,求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理)）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等）3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考(重庆理））(本小题满分13分,（Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分。
)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,。
约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1，乙每3，且各次投篮互不影响.次投篮投中的概率为12（Ⅰ) 求甲获胜的概率；(Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告，试求需要比赛场数的期望．结束,假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是123．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查。
2.4.1二项分布
抽象概念
(1)每次试验是在相同条件下的重复试验; (2)每次试验中的事件是相互独立的； (3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生 (4)每次试验,某事件发生的概率相同.
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互 独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的 状态，即A与A，每次试验中P(A)=P>0，我 们将这样的试验称为n次独立重复试验（伯 努利试验）。
例2 .嘟嘟在一个公园里种树，假设每棵树
成活率为0.8 . 要求至少1棵成活的概率不低于0.99，
求他至少种树多少棵？参考数据
2 3
lg 5
1
解：假设种树 n棵，则至少成活1棵的概率 为 P X 1 1 Cn0 0.80 0.2n 0.99
0.2n 0.01
n 2 , 2 lg 5 1, 2 2 3
0.5904 P( X 3) 1 P( X 4) 0.5904
例题讲解
例1.两个射手进行射击比赛，甲的命中率是0.7, 乙的命中率是0.8,,每人投4次
(1)甲命中3次的概率是多少?
P( X 3) C43 0.73 0.31 0.4116
(2)两人击中次数相等的概率是多少?
X
0
（其中k = 0，1，2，···，n ）
记为 X ~ B(n, p)
n次独立重复试验，事件A发生次数X的概率分布表：
X0
1… k…
n
P Pn (0) Pn (1) … Pn (k) … Pn (n)
求 Pn (0) Pn (1) Pn (2) Pn (k) Pn (n)
Pn (0) Pn (1) Pn (n) Cn0 1 pn p0 Cn1 1 p n1 p1
高考常考基础题10 二项分布(答案版)
高考常考基础题10 二项分布1．（2018全国Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．3【答案】B 【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以10(1) 2.4DX p p =-=，所以0.6p =或0.4p =．由(4)(6)P X P X =<=，得4466641010C (1)C (1)p p p p -<-，即22(1)p p -<，所以0.5p >，所以0.6p =．故选B ．2．（2018浙江理）设01p <<，随机变量ξ的分布列是 ξ0 1 2 P12p - 12 2p 则当p 在(0,1)内增大时，A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小 【答案】D 【解析】由题可得1()2E p ξ=+，所以22111()()422D p p p ξ=-++=--+，所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ先增大后减小．故选D ．3．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，Χ表示抽到的二等品件数，则DX = ． 【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．4．（2016年四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．【答案】32【解析】实验成功的概率34p =，故3(2,)4X B ，所以33()242E X =⨯=．5．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【解析】试题分析：试题解析：（1）由题意可列分布列：（2） （ⅰ）由题意可得()()110.4a p X αβ==-=-=，()()0120.5b p X αβαβ===-++=，()()110.1c p X αβ===-=此时X 的分布列为：1-1-X (0,1,,8)i p i =i 00p =81p =11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =(1)a P X ==-(0)b P X ==(1)c P X ==0.5α=0.8β=1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =4p 4p故()112111,2,,75210i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，即()1122111,2,,7551010i i i i p p p p i -+-=-=⋅⋅⋅ 化简可得：()()1141,2,,7i i i i p p p p i +--=-=⋅⋅⋅即()1141,2,,7i i i i p p i p p +--==⋅⋅⋅-， 又()112111,2,,75210i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅ 故数列{}()10,1,,7i i p p i +-=⋅⋅⋅为公比为4的等比数列。
二项分布例题
1、一个篮子里有5个红球和3个蓝球，随机摸取3次（每次摸取后放回），摸到红球的次数服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 均匀分布（答案）B2、某品牌手机的故障率为0.05，若随机抽取100部该品牌手机，故障手机数服从什么分布？A. 指数分布B. 二项分布C. 正态分布D. 卡方分布（答案）B3、一枚硬币投掷5次，正面朝上的次数最可能服从什么分布？A. 二项分布B. 正态分布C. 均匀分布D. t分布（答案）A4、某药品的治愈率为70%，若对100名患者使用该药品，被治愈的患者数服从什么分布？A. F分布B. 二项分布C. 幂律分布D. 对数正态分布（答案）B5、一个骰子投掷3次，出现点数大于4的次数服从什么分布？A. 几何分布B. 二项分布C. 超几何分布D. 瑞利分布（答案）B6、某射击运动员的命中率为80%，若他射击10次，命中的次数服从什么分布？A. 韦布尔分布B. 二项分布C. 柯西分布D. 莱维分布（答案）B7、一箱苹果中有80%是好苹果，随机挑选10个苹果，好苹果的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 伽马分布C. 贝塔分布D. 逻辑斯蒂分布（答案）A8、某网站的用户点击广告的概率为0.1，若随机抽取1000名用户，点击广告的用户数服从什么分布？A. 二项分布B. 古斯-贝叶斯分布C. 帕累托分布D. 威布尔分布（答案）A9、一个班级里有40%的学生是女生，随机抽取10名学生，女生的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 三角分布C. 梯形分布D. 半正态分布（答案）A10、某产品的合格率为95%，若随机抽取50件产品，合格的产品数服从什么分布？A. 二项分布B. 伯努利分布C. 拉普拉斯分布D. 瑞利分布（答案）A。
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二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k kn k nC p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n kn C p q-，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1.（2012年高考（理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数 的ABC60概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007•）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）． （I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获湖北理工学院湖北师范学院99 6507 21 1516171819891258934 60 1得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.9. (本题满分12分)中国•第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在理工学院和师学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有师学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出师学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。
10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：x 5 6 7 81P 0．4 a b 0．1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.11. 受轿车在保修期维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期的概率；（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
巩固练习答案1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P X C ===;12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为X 3456P54220104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133.2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++=(2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯=()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,1233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次) 3. 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+=（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=比赛场数的分布列为故比赛的期望为()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．4.【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1,由题意,4 ,从而X的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． （Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． ξ∴1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 6.（1）X 的所有可能值为1，2，3，4。