流体力学三大方程推导
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
流体力学的三大实验原理
流体力学的三大实验原理流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，是物理学的一个重要分支。
在流体力学的研究中，实验是一种重要的方法，通过实验可以观察流体的行为，并验证理论模型的有效性。
以下将介绍流体力学的三大实验原理。
第一大实验原理是质量守恒定律，也称为连续性方程。
它表达了在流体中质量的守恒性质，即单位时间内通过某一截面的质量流量保持不变。
具体而言，对于稳定不可压缩流体，该方程可以表示为：∮ρv·dA = 0其中，∮表示对闭合曲面取积分，ρ是流体的密度，v是流体的速度，dA是曲面的面积元素。
该方程说明了流体在运动过程中质量的连续性，即入口处的质量流量等于出口处的质量流量。
通过实验可以验证这一原理，例如使用水流经过一个管道，在入口处和出口处分别测量流体的质量流量，验证质量守恒定律的成立。
第二大实验原理是动量守恒定律，也称为动量方程。
动量守恒定律表达了流体中动量的守恒性质，即单位时间内通过某一截面的动量流量保持不变。
对于稳定不可压缩流体，动量守恒定律可以表示为：∮(ρv⋅v)·dA = -∮pdA + ∮τ·dA + ∮ρg·dV其中，p是流体的压强，τ是流体的切应力，g是重力加速度，dV是体积元素。
该方程说明了流体在运动过程中动量的守恒性，即流体的动量增加或减少必然伴随着外力的作用或者压强的变化。
通过实验可以验证动量守恒定律，例如通过测量流体经过一个管道时的压强变化以及受到的外力，验证动量守恒定律的成立。
第三大实验原理是能量守恒定律，也称为能量方程。
能量守恒定律表达了流体中能量的守恒性质，即单位时间内通过某一截面的能量流量保持不变。
对于稳定不可压缩流体，能量守恒定律可以表示为：∮(ρv⋅v+pg)·dA = ∮(τ⋅v)·dA + ∮q·dA + ∮ρg·h·dA其中，q是流体的热流量，h是流体的高度。
该方程说明了流体在运动过程中能量的守恒性，即流体的能量增加或减少必然伴随着外界对流体的做功或者热量的输入。
学习笔记_推导流体力学基本方程组
①连续性方程推导依据：质量守恒，密度变化导致减少的质量=净流出的质量x 方向：单位时间由ABCD 流入质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂-∂∂-ρρ 单位时间由EFGH 流出质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂+∂∂+ρρ 净流出质量：dxdydz x u dxdydz x u x u ∂∂=∂∂+∂∂)()(ρρρ 同理y 、z 方向dxdydz y v ∂∂)(ρ，dxdydz zw ∂∂)(ρ 单位时间密度变化导致减少的质量dxdxdz t ∂∂-ρ所以连续性方程0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u t ρρρρ（微分形式）矢量形式0)(·=∇+∂∂v tρρ连续性方程是流体流动最基本的方程，任何流体连续运动均必须满足。
②理想流体运动方程（欧拉运动方程）理想流体是一种设想的没有黏性的流体,在流动时各层之间没有相互作用的切应力。
推导依据：牛顿第二定律（动量定理）合外力等于动量对时间的变化率x 方向 面力：dydz dx x p p dydz dx x p p )2()2(∂∂--∂∂+ 质量力：dxdydz f x ρ 合外力dydz dx x p p dydz dx x p p dxdydz f x )2()2(∂∂--∂∂++ρ 动量对时间的变化率dxdydz dt du ρ 整理得xp f dt du x ∂∂+=ρ1 同理y 、z 方向y p f dt dv y ∂∂+=ρ1，zp f dt dw z ∂∂+=ρ1 理想流体运动方程z p f dt dw y p f dt dv xp f dt du z y x ∂∂+=∂∂+=∂∂+=ρρρ111，矢量形式p f dt v d ·1∇+=ρ可写成zp f z w w y w v x w u t w dt dw yp f z v w y v v x v u t v dt dv xp f z u w y u v x u u t u dt du z y x ∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρ111 根据亥姆霍兹速度分解定理v v t v v v rot v t v v v t v dt v d ⨯+∇+∂∂=⨯+∇+∂∂=∇+∂∂=ω222·22所以欧拉运动方程可以写成兰姆-葛罗米柯方程p f v v t v ∇+=⨯+∇+∂∂ρω1222，把有旋部分凸显出来。
从张量的角度推导流体力学三大基本方程
从张量的角度推导流体力学三大基本方程首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本方程组的应用。
因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的联系和关系。
物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。
运用张量计算，物理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量守恒方程（物体总能量守恒）。
因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。
物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量；恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如动量方程：。
∇•(Y×Y )=0， Y表示动量；最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)，其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h表示压力的空间变化。
总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和动力学过程进行守恒性分析的方法。
鉴于其复杂性，可以用来研究复杂物理过程，比如流体动力学。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学三大基本方程公式
流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。
今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。
1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。
这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。
你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。
比如，水管里流动的水，流量是一定的。
如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。
你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。
2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。
它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。
2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。
在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。
想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。
3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。
简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。
流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。
这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。
3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
流体力学流速计算公式
流体力学流速计算公式一、伯努利方程推导流速公式（理想不可压缩流体定常流动）1. 伯努利方程。
- 对于理想不可压缩流体作定常流动时，在同一条流线上有p+(1)/(2)ρ v^2+ρ gh = C（p是流体压强，ρ是流体密度，v是流速，h是高度，C是常量）。
- 假设水平流动（h_1 = h_2），则方程变为p_1+(1)/(2)ρ v_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2。
- 由此可推导出流速公式v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)。
2. 适用条件。
- 理想流体（无粘性），实际流体在粘性较小时可近似使用。
- 不可压缩流体，像水在大多数情况下可视为不可压缩流体，气体在低速流动时也可近似为不可压缩流体。
- 定常流动，即流场中各点的流速等物理量不随时间变化。
3. 示例。
- 已知水管中某点1处的压强p_1 = 2×10^5Pa，流速v_1 = 1m/s，另一点2处的压强p_2 = 1.5×10^5Pa，水的密度ρ = 1000kg/m^3。
- 根据v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)，将数值代入可得：- v_2=√(1^2)+frac{2×(2×10^{5-1.5×10^5)}{1000}}- 先计算括号内的值：2×(2×10^5-1.5×10^5)=2×5×10^4=10^5。
- 则v_2=√(1 + 100)= √(101)≈10.05m/s。
二、连续性方程推导流速公式（不可压缩流体定常流动）1. 连续性方程。
- 对于不可压缩流体的定常流动，有S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2分别是流管中两个截面的面积，v_1、v_2是相应截面处的流速）。
- 由此可推导出流速公式v_2=(S_1)/(S_2)v_1。
2. 适用条件。
- 不可压缩流体，如液体或低速流动的气体。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学基本方程
ρQv
ρ v2A
∫ 1ρ dQ u 2 = α 1 ρ Q v 2
A2
2
α
=
∫
1 2
ρ
dQ u 2
=
∫
1 2
ρ
u
3 dAΒιβλιοθήκη 1 ρ Qv21 ρ v3A
2
2
16
江苏大学
Jiangsu University
第三节 连续性方程
∑ 质量守恒方程 Q厂 = Q用户
一、三维连续性方程
vx
−
∂vx ∂x
dx 2
vx
速度。
加速度=当地加速度+迁移加速度
5
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用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN = ∂N + (vv ⋅ ∇)N dt ∂t
∇ = iv
∂
+ vj
∂
+
v k
∂
∂x ∂y ∂z
全导数=当地导数+迁移导数 ∇ ：微分算子
四、系统与控制体
6
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其中a、b、c、t为拉格朗日变量。
vv = ∂ rv ∂t
av = ∂ 2rv ∂t2
2
江苏大学
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二、欧拉法 欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的 流动情况综合起来，就得到整个流场的运动情况。
场：如果在空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，这个空 间就称为这个物理量的场。如：数量场（温度场、密度场、电位场）、矢 量场（力场、速度场）。
21
流体力学能量守恒方程推导
流体力学能量守恒方程推导流体力学中的能量守恒方程可以分为两部分：机械能守恒方程和热能守恒方程。
首先我们来看机械能守恒方程。
这个方程告诉我们，在流体运动过程中，机械能会在各个部分之间转化，但总机械能守恒。
我们来推导一下：将从流体绕过一点的质量流量Q乘以速度v（即动能）定义为其单位时间内质量通过的能量，即E=Qv，这里假设流体的密度是常数，并且没有引入外力、流体的温度也保持不变。
我们考虑对流体进行一个控制体的分析，这意味着我们将把一个流体区域围住，观察在此物体内机械能的变化量。
单位时间内进入这个区域的动能为Q₁v₁，而离开这个区域的动能为Q₂v₂。
同时，这个体积在单位时间内还被压缩了一些，且这个过程会导致一些能量的损失，影响了能量守恒。
因此，机械能守恒方程就可以表示为：Q₁v₁ - Q₂v₂ + W = -dE/dt其中，Q₁v₁是进入控制体的能量，Q₂v₂是离开控制体的能量，W是工作，它包括流体在控制体边界上所做的功、摩擦力和其他形式的能转换。
右边的-dE/dt描述了控制体内的动能减少率，也就是动能损失率。
接下来我们来推导热能守恒方程。
这个方程告诉我们，在流体运动过程中，热能也会在各个部分之间转化，但总热能守恒。
热能守恒方程是根据热力学定律和实验结果推导的，我们这里只给出其最终形式：ρc(dT/dt) + ∇·q = H其中，ρ是密度，c是比热容，T是温度，q是热传导率，H是热源项。
这个方程表示流体内部的温度随时间的变化率加上热能的传播与产生率等于热源。
可以看出，这个方程还涉及到流体的物理属性，因此更为复杂。
这里介绍了流体力学中的两个守恒方程：机械能守恒方程和热能守恒方程。
它们都是基于物质守恒定律和能量守恒定律推导而来的，也都具有其一定的适用范围和限制条件。
流体力学控制方程
流体力学控制方程
流体力学的控制方程描述了流体质点的运动状态，主要包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三大基本控制方程。
这些方程贯穿在流体运动求解的每个环节，系统地阐述了流体运动的各种规律，是我们理解和揭示流体物理机制的
重要工具。
首先，质量守恒方程，又称为连续性方程。
它是根据质量守恒定律导出的微分形式。
在无源无汇的情况下，流体的质量是不变的。
这就是说，流动的液体每一秒钟流过的质量应该是恒定的，简单表述就是流入的和流出的质量是相等的。
然后，动量守恒方程，也叫做动量方程或Navier-Stokes方程。
这个方程是根据牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度，推导出的。
在流体力学中，压力、重力、粘性力等都是作用在流体上的力，这些力导致流体的速度改变，即产生加速度。
最后，能量守恒方程，是根据热力学第一定律，也就是能量守恒定律，推导出来的控制方程。
能量守恒方程包括内能、动能和势能的转换和守恒。
在流体运动的过程中，能量在不同形式之间转换，但是总能量是保持不变的。
流体力学的控制方程的求解，使我们能够预测流体运动的行为，在航空、化工、天气预报、海洋学等领域中有广泛的应用。
这些控制方程虽然在形式上比较复杂，但是它们却揭示了流体运动最基本的规律，对我们理解和研究流体运动提供了强大的理论支持。
三大动力方程
三大动力方程
三大动力方程是：连续性方程、伯努力方程、动量方程。
连续性方程是质量守恒定律（见质量）在流体力学中的具体表述形式。
它的前提是对流体采用连续介质模型，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。
在物理学里，连续性方程（continuity equation）乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程。
由于在各自适当条件下，质量、能量、动量、电荷等等，都是守恒量，很多种传输行为都可以用连续性方程来描述。
连续性方程乃是定域性的守恒定律方程。
与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律比较强版。
在本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达同样的点子──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另外一个位置。
每一种连续性方程都可以以积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以以微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。
应用散度定理，可以从微分形式推导出积分形式，反之亦然。
丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。
这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。
即：动能+重力势能+压力势能=常数。
其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。
需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。
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流体力学连续性方程，动量方程，能量守恒方程推导过程——广州新宿一次狼我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程，动量方程和能量守恒方程，就整理出来，分享一下。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
最后就是能量守恒方程。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t r νν=随体导数表示流体质点在欧拉场内（见流体运动学）运动时所具有的物理量对时间的全导数。
上面定义了空间一点速度，那么加速度就是dt d ν 。
设有一流体质点在运动，t 时刻在M 点（x,y,z,t），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν 。
根据定义，加速度表达式可以写成如下：三个方向速度的变化的变化会引起点速度用靠近，和的变化基于空间位置的变化基于时间νννννννννννννννν M M M M M M M t M M t t M M t t t M M t M t M t t M M M t M t M t M M t t M t t M t t M t M t t M t t M t t M t t M dt d '→→''→∆→'→∆→∆'→→∆∆→∆→∆'-'+∂∂='-'∆'+∆'-∆+'=∆-'∆'-∆+'=∆-∆+'=),(),(lim ),(),(),(lim lim ),(),(lim ),(),(lim ),(),(lim ),(),(lim 0,00000t 00dtd ν 可以分解成这两部分，是因为从M M '→点，一方面有时间t ∆的变化，一方面有空间位置的变化，分解成这两部分，正是基于这两个原因。
写成直角坐标系，用u,v,w 三个方向速度表示成如下：);,,,();,,,();,,,(t z y x w w t z y x v v t z y x u u ===代入上面加速度公式，得到zu w y u v x u u t u zt z y x u t z y x w yt z y x u t z y x v x t z y x u t z y x u t t z y x u dt du M M t M t M t t M dt d M M M M M M M t ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⇒'-'+∂∂='→→''→∆),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),(),(lim ),(0,0三个方向速度的变化的变化会引起点速度用靠近，和νννννν至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。
随体导数也可以用复合函数求导的方法得到。
用复合函数链导法则会更容易理解一些。
后面接下来要推导的是流体力学连续方程。
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。
它的前提是对流体采用连续介质模型，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。
x B B’2dx x u ∂∂MN D假设有一个微体积正六面体，正六面体的中心三个方向的速度是u,v,w。
左表面的流速2dxx u u u M ∂∂-=右表面的流速2N dx x u u u ∂∂+=单位时间内x 方向流出和流进的质量流量差：dxdydz x u dydz dx x u u dydz dx x u u M M ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=-)()(21)(21ρρρρρ进出同理y 方向和z 方向的质量流量差：dxdydz yv ∂∂)(ρdxdydz z)w (∂∂ρ在dt 时间内因为密度变化而减少的质量为：dxdydz tdxdydz t dxdydz ∂∂-=∂∂+-ρρρρ(由质量守恒，单位时间内流出与流入六面体的流体质量差综合应等于六面体因密度变化而减少的质量。
0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⇒∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u t dxdydz t dxdydz z w y v x u ρρρρρρρρ以上就已经得到了连续性方程。
对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u 这个不可压缩流体的连续性方程很重要，下面推导N-S 方程的时候要用到。
接下来要推导出流体力学的N-S 方程。
在推导N-S 方程之前，有很多人都在这里有困惑。
这里有两个概念要搞清楚，那就是什么是理想流体和粘性流体。
我们很多课本在讲流体力学的时候是先讲了理想流体的动量方程，之后又没有接着讲粘性流体的动量方程，所以有些人到后面再讲N-S 方程就混淆了。
另外就是很多人一听到N-S 方程就心里有点害怕，畏惧了，还没来得及去仔细研究就放弃了，如果仔细研究一下，其实也不难，很多流体力学的书是用场论的知识去推导出N-S 方程的，我们工科学校对场论没有接触，最好还是用正六面体的方法来推导N-S 方程。
哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对N-S 方程的推导用的是正六面体法，很容易看懂。
清华大学的书就比较难，可以参考。
在这里得先推到一下理想流体的动量方程，后面再推导粘性流体的动量方程。
这里必须先分清理想流体和粘性流体的概念。
理想流体是一种不可压缩、不计粘性（粘度为零）的流体。
欧拉在忽略粘性的假定下，建立了描述理想流体运动的基本方程。
实际上，理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似模型。
但实际上由于流体中存在着粘性，流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能，并使流体流动出现许多复杂现象，例如边界层效应、摩阻效应、非牛顿流动效应等。
自然界中各种真实流体都是粘性流体。
下面推导理想流体动量方程。
理想流体和粘性流体的区别在于是否有粘性力，即切应力。
在理想流体内部取一微体积正六面体。
中心点压力p(x,y,z)，受力分析沿x 轴方向：1.表面力，因为是理想流体，没有切应力，0=τ。
左表面dydz dx x p p A p P M M )2(∂∂-==右表面dydz dx x p p A p P N N 2(∂∂+==2.质量力，单位质量力在三个坐标轴上分量是z y x f f f ,,。
x 轴方向质量力dxdydz f x ρ。
在x 轴方向由牛顿第二定律：zu w y u v x u u t u x p f dtdu x p f dt du dxdydz dxdydz f dydz dx x p p dydz dx x p p ma F x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-−−−−−→−=∂∂-⇒=+∂∂+-∂∂-⇒=∑ρρρρ11)2()2(由前面速度随体导数同样y 轴z 轴列方程，可以得到理想流体动量方程组。
x B DB’2dx x p p ∂∂+MNxx σ'yyσ'yy σxy τ'yx τ'yx τz w w y w v x w u t w z p f zv w y v v x v u t v y p f zu w y u v x u u t u x p f z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρρρ111；；下面要推导粘性流体动量方程，也就是纳维斯托克斯方程，也叫做N-S 方程。
同样取一个微六面体，但粘性流体有切应力，分别对六个面做受力分析如图所示：x 方向的受力，质量力，左右方向压力，前后面切力，上下面切力。
由牛顿第二定律列方程：dtdu dxdydz dydx dz z dydx dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz dxdydz f zx zx zx yx yx yx xx xx xx x ρττττττσσσρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+)()()(对粘性流体，切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：xz zx zy yz yx xy z u x w yz z v xv y u τμττμττμτ=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=)(;)(;)(xz τ'xyzo zz σ'zx τ'yz τ'zyτ'yz τzzσzy τzxτxx σxz τxyτ粘性流体中某一点三个方向的压力是不相等的，任意点的压力与三个方向的正应力有以下关系式：zw p yv p xu p p zz yy xx zz yy xx ∂∂-=∂∂-=∂∂-=++=μσμσμσσσσ2;2;2);(31以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学，有相关的解释。
代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程：）（1)()()( dtdu z y x f dtdu dxdydz dydx dz z dydx dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz dxdydz f zx yx xx x zx zx zx yx yx yx xx xx xx x ρττσρρττττττσσσρ=∂∂+∂∂+∂∂-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+把)();(;2zu x w x v y u x u p zx yx xx ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂-=μτμτμσ代入上式（1）中：zu w y u v x u u t u z u y u x u x p f dtdu z w y v x u x z u y u x u x p f dtdu z x w y x v x u z u y u x u x p f dtdu z u z x w y x v y u x u x p f dt du z z u x w y x v y u x x u p f dtdu z y x f x x x x x zx yx xx x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-⇒=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂-∂-⇒=∂∂+∂∂+∂∂-22222202222222222222222222222221)(2)()()2(νννρρμμμμρρμμμμμμρρμμμμμρρμμμρρττσρ随体导数代入前面可以得到这部分为由不可压缩流体连续性2dx x x ∂∂+φzw w y w v x w u t w z w y w x w p f zv w y v v x v u t v z v y v x v y p f zu w y u v x u u t u z u y u x u x p f z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-222222222222222222z 111νννρνννρνννρ这样对得到了粘性流体的动量方程，也叫运动微分方程，也叫纳维斯托克斯方程，也叫N-S 方程。