最新第二节 刚体转动的动能定理

§ 3.2 刚体转动的动能定理

一、力矩的功 1 力矩的定义

若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。 M r F =⨯

M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。大小：

方向：右手法则

2 力矩的功

设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d θ， 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为

则总功为

二、转动惯量

设初速为零，质量元Δm 的动能为

转盘的总动能

1 定义：

为物体的转动惯量。

F

t

F n

F t

F d r

t t d d d d A F r F s F r θ

=⋅==d d A M θ=2

1

d A M θθθ

=⎰α

sin t M Fr F r

α==t

F d r

12

ki i i

E m v =21

2

k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 22

1()2i i i m r ω=∆∑2i i i

I m r =∆∑

意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI 制 kg m 2

2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和

2i i i

I m r =∑

质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。

2m

I r dm =⎰

转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2

例2 质量为m 的细圆环，求I 。

解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有

d J = R 2

对整个环有

I = ⎰ R 2d m = mR 2

例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。

解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )，

d m

R

•

R

• m

其转动惯量 d I = r 2d m

2

2m

dm rdr R

ππ=

整个盘的转动惯量

2

2

3222000

021

22R R R

R

m m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰

例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 ρ＝m / L 。

以杆中心O 点为转轴，在距o 点为r 处取微小质量元dm =ρdr, 杆的转动惯量为

例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O /点为转轴，同上

2

22

2

22

322

13l l l

l l

l

I r dm r dr r ρρ---=

=

=⎰⎰

2

112

I mL

=

2

1

3

I mL

=

2020

313

l

l

l

o I r dm

r dr

r

ρρ===⎰⎰

3 几种典型的匀质刚体的转动惯量

4 影响转动惯量的三个因素

(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；

(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理

设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性

对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。

例6质量m ，长为l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc 和通

2

c I I m

d =+

过端点a 的垂直轴的转动惯量J.

解：建立如图坐标Ox

2

2222

2

2

112

l l c l l m J x dm x dx ml l

++

--

=

=

=

⎰

⎰

由平行轴定理有

2

2211

1223a l J ml m ml ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

2

c 1

2I mR =2c 12

I mR =

如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I 。

解：题给两平行轴之间的距离

1

2

d R =

2

c I I m

d =+得刚体绕偏心轴的转动惯量

22213

()224

R I mR m mR =

+=由平行轴定理

例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R ，质量为 m ，且均匀分布。

它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic 表示。 例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L 。

杆对O 轴的转动惯量 2

111

3

I m L =1

m

圆盘质量是 ，半径为R 。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动

惯量为 2m

22c 21

2I m R

=求此装置对轴O 的转动惯量I 。 x