积分变换与场论试题及答案

f (t ) = e −2t u (t − 1), 则 ℒ [ f (t )] = ____________________. = 3x 2 y − y 2 在点 M (2,3) 处沿着 y = x 2 − 1 朝 x 增大一方的方向导数
∂u ∂s =
M
9．数量场 u
.
10．下列说法错误的是____________ A) 梯度 gradu 在方向 l 上的投影等于函数 u 在该方向上的方向导数； B) 如果通量 Q
2009 级试题 一、选择填空题，请将正确答案填在下划线上.（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 作 Fourier 变换和 Laplace 变换时，对自变量变化范围的要求分别 是 . A) ( −∞, + ∞ )及(0, + ∞ ) ； C) [0, + ∞ )及( −∞, + ∞ ) ； 2. 若 ℒ [ f (t )] = 3．若 ℒ [ f (t )] = A) ℒ[ f ℒ [e
+∞
3．A
4．C
5．
sin ω0t
s 1 −2 e 5 5
9. .
60 17
1
10. B
二、1． 解： ℱ [ f (t )] =
− iωt − iωt ∫−∞ 2 ⋅ e dt = ∫−1 2 ⋅ e dt =
2 − iωt 1 4 sin ω e −1 = ω −iω
∴ 振幅频谱 F (ω ) =
∫
+∞
−∞
eω tδ (t − t0 ) dt = (
B.
)
e t0 ；
)
C.
eω t 0 ；
D. 1 .
3. 下列哪个说法是错误的(
A. f (t ) (t ≥ 0)的 Laplace 变换实际上就是 f (t ) e− β t u (t ) 的 Fourier 变换；
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∫
t 0
te −2 t cos tdt ] .
s+3 ，求 Laplace 逆变换 f (t). ( s + 1)( s − 3)
z 2 sin y , x 2e y ) ，请写出 A 的雅可比( Jacobi )矩阵 DA ，并求散度 divA 和旋度 rot A .
5. 求右图所示的周期函数的 Laplace 变换. 6. 设矢量场 A = ( xy 2 z 2 ,
0
+∞
s s2 + 4
=
−s s +4
2
s s2 + 1
， ℒ [e
−2 t
cos t ] =
s+2 ( s + 2) 2 + 1
. ℒ [te
−2 t
cos t ] = − d [
−1
s+2 s 2 + 4s + 3 ] = ，.ℒ [ ds ( s + 2)2 + 1 (( s + 2) 2 + 1)2
. .
xz3 i −2 x 2 yz j +2 yz 4 k 在点 M (1, −2,1) 处沿矢量 n= (6, 2, 3) 方向的环量面密度为
二、计算题.（共 5 个小题，每小题 8 分，共 40 分） 1．已知
0, t < 0 , 求 f (t ) = −3t e , t ≥ 0
[ f ′(t )] 和
A) C)
，则 Laplace 逆变换 ℒ B) D)
[ F ( s )] = ______.
3u (t − 1) − u (t − 3) 3u (t + 1) − u (t + 3)
u (t − 1) − 3u (t − 3)
u (t + 1) + 3u (t + 3)
7.已知 δ (t ) 为 δ − 函数，则 ℒ [δ (5t − 2)] = __________. 8.设
6. 解：
y 2 z 2 + z 2 cos y;
rot A = ( x 2e y − 2 z sin y, 2 xy 2 z − 2 xe y , −2 xyz 2 ) .
三、解答题 1、解：设 ℱ [ x(t )] = X (ω ) ，对方程两边同取 Fourier 变换，可得
ℒ [ f (t
C) 4．若 ℱ A) C) 5．ℱ-1
at
f (t )] = F ( s − a ) , Re s( s − a) > c ；D)
− τ )] = e− sτ F ( s) .
[ f (t )] = F (ω ) ，则 ℱ [(t − 3) f (t )] = ____________ .
=Ò ∫∫ v ⋅ dS = 0 ，说明封闭曲面 S 内无源；
S
C) 在矢量场中，旋度在任一方向 n 上的投影就是在该方向上的环量面密度； D) 在线单连通域内： “场有势” ， “场无旋” ， “场保守”三者彼此等价.
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[t f ′(t )] .
2. 求
[t ∫ e −3t cos 2tdt ]
0
t
3.
r u r u r u r r 5. 设矢量场 A = ( y 2 + 2 xz 2 , 2 xy − z , 2 x 2 z − y + 2 z ) ，写出 A 的 Jacobi 矩阵 DA ，并求散度 divA 和旋度 rot A ，
4 sin ω ω
2. 解：ℒ [ f (t )] = ℒ [sin t ⋅ δ (t ) − cos 2t ⋅ u (t ) ] =
∫
+∞
0
[sin tδ (t ) − cos 2tu (t )]e − st dt
=
3. 解：ℒ [cos t ]
∫
=
+∞
−∞
[sin tδ (t )e − st dt - ∫ cos 2tu (t )e − st dt = 0 −
−1
∫
t 0
te −2 t cos tdt ] =
−1
s 2 + 4s + 3 . s ((s + 2)2 + 1) 2
4. 解：ℒ
[ F ( s )] = ℒ
(−
1 1 3 1 = ℒ + ) 2 s +1 2 s − 3
−1
(−
1 1 ) +ℒ 2 s +1
(
3 1 ) 2 s −3
=
1 3t 3e − e −t . 2
且
(
)
5. 解：由图可知，
0 ≤ t < b; 1, f (t ) = −1, b ≤ t < 2b,
1 1 − e−2bs
f (t + 2b ) = f (b), 所以
ℒ [ f (t )] = F ( s ) =
∫
2b
0
f (t )e − st dt . =
b 2b 1 1 1 − e − bs e −2 bs − e − bs − st − st [ e dt e dt ] − [ ] = + ∫b 1 − e −2bs ∫0 1 − e −2 bs s s
ur
∫
(2,1,−1)
(3,−1,2)
ur uu r A ⋅ dl .
y′ + 2 y = sin t − t y (τ )dτ ∫0 1．求解微积分方程： . y (0) = 0
y′′ − x′′ + x′ − y = et − 2 2．求解微分方程组： 2 y′′ − x′′ − 2 y′ + x = −t x(0) = y (0) = x′(0) = y′(0) = 0
=
1 (1 − e −bs ) 2 或 1 1 − e − bs 1 bs = tanh . = −2 bs − bs 1− e s s 1+ e s 2
y2z2 DA = 0 2 xe y 2 xyz 2 2 xy 2 z z 2 cos y 2 z sin y . divA = x 2e y 0
B. 若
[ f (t )] = F ( s ) ,则 F ( s) 的 Laplace 逆变换是 f (t ) =
1 +∞ F (s )e st dt ； ∫ −∞ 2π i
C. 相关函数 R (τ ) 与能量谱密度函数 S (ω ) 构成了一个 Fourier 变换对； D. 若
[ f (t )] = F ( s ) ，则
−1
[
1 2 t t −τ 2 ]= e ∫ e dτ , , 0 s ( s − 1) π
）.
并利用此结论计算 ℒ
[
1 ]. （提示： Γ( 1 ) = π s s +1 2
2008 级试题 一、填空与选择题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 若 f (t ) 满 足 Fourier 积 分 存 在 定 理 条 件 ， 则 在 f (t ) 的 连 续 点 处 ， f (t ) 的 Fourier 积 分 公 式 为： 在 f (t ) 的间断点 t 处，Fourier 积分公式收敛于 2. 广义积分 A. 0; ， .
B) D)
F ′(ω ) − 3F (ω )
− F ′(ω ) − 3F (ω )
iF ′(ω ) − 3F (ω )
−iF ′(ω ) − 3F (ω )
____ _____.
−1
[iπ [δ (ω + ω0 ) − δ (ω − ω0 )]] =
3e− s − e −3 s 6.设函数 F ( s ) = s
t 1 [∫ f (t )dt ] = F ( s ) . 0 s
4. 已知 u (t ) 是单位阶跃函数,
[u (t )] =
；
[u (t )] =
. ∂u ∂s =
M
5. 数量场 u = x 2 y + y 2 + x 2 在点 M (1, 2) 处沿着 y = x 2 + 1 朝 x 增大一方的方向导数 6. 矢量场 A =
四、证明题.（第 1 小题 10 分，第 2 小题 8 分，共 18 分） 1. 证明：矢量场 A =
的解.
2 xz i +2 yz 2 j +( x 2 + 2 y 2 z − 1) k 为有势场，求出所有势函数，并计算 ∫ (2,0,1) A ⋅ dl .
−1
(3,1, −1)
2. 利用卷积定理，证明 ℒ
r
[ f (t )] = F ( s ) ， a 为正实数,证明(相似性质) [ f (at − b)u (at − b)], b 为正实数.
[ f (at )] =
1 s F( ) , a a
并利用此结论计算
2. 证明矢量场 A = (2 xy + 3, x 2 − 4 z , − 4 y ) 为有势场，求出所有势函数，并计算 四、解答题（第 1 小题 10 分，第 2 小题 12 分，共 22 分）
(Fra Baidu bibliotek)
B) ( −∞, + ∞ )及[0, + ∞ ) ； D) (0, + ∞)及(0, + ∞ ) . . .
F ( s ) ，则 Laplace 变换反演积分公式为 F ( s ) ，则下列式子中错误的是
B) ℒ [
(t )] = s n F ( s ) ；
∫
t
0
1 f (t )dt ] = F ( s ) ； s
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2009 级试题答案 一、1. B 2. f (t ) = 6. A 7.
1 β +i∞ F (s )e st ds ∫ β − i ∞ 2π i e − ( s+ 2) 8. s+2
三、解答题（共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 1、利用 Fourier 变换，求解方程 x′(t ) −
−∞ < t < +∞ .
∫
t
−∞
x(t )dt = h(t ) ，其中 h(t ) 为已知函数,且
ℱ [ h(t )] = H (ω ) ，
y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = et 2、利用 Laplace 变换，求方程 y (0) = y′(0) = y′′(0) = 0
判定 A 是什么场？ 三、证明题.（共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 1. 若
s + e− s ，求 Laplace 逆变换 f (t). 已知 F ( s ) = ( s + 1)( s + 2)
4. 求周期函数 f (t ) = sin t 的 Laplace 变换 F ( s ) .
二、计算题.（共 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 1．求函数 f (t ) = 2. 已知
2,
t ≤1 的频谱函数及振幅频谱.. 0, 其它
f (t ) = sin t ⋅ δ (t ) − cos 2t ⋅ u(t ) ，求 ℒ [ f (t )] .
3. 利用 Laplace 变换的性质，计算 ℒ [ 4. 已知 F ( s ) =