运筹学中-线性规划图解法动态演示-课件PP讲义T(精)
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线性规划图解法
第二节 线性规划的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
【运筹学】2第二章线性规划图解法
(7, 0)
56
78
9 10
x1
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46
Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
34
56
78
9 10
x1
•画图求解 •2）Max z= 7x1 + 5x2 •3）Max z= 5x1 + 10x2 •4）Max z= 5x1 + 5x2
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2
第2章 线性规划图解法
第2章 线性规划图解法
2.1 线性规划问题 2.2 图解法 2.3 极点和最优解 2.4 计算机求解 2.5 最小化问题 2.6 特例
2.1 线性规划问题
• 在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 •Linear programming （LP）
2.2 图解法
•唯一解 •无穷多个最优解 •无界解 •无可行解
Example 1: A Maximization Problem
• LP Formulation • •
Max z= 5x1 + 7x2
•
s.t.
x1
04第二章 线性规划的图解法 管理运筹学课件
50 40 30 B 20 10
③
10
20
30
40
50
x1
一、目标函数中的系数的灵敏度分析
• -， • 0 ≤ c1≤3750，最优解不变
•当c1 =1500不变时，
• 1000 ≤ c2，最优解不变
二、约束条件中常数项的灵敏度分析
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ 30 x1,x2 0 ④ 3x1+2x2 66 20 x1=16/3 x2=25 Z=70500 可见资源A每增加一个单 位就可以多获得500元的 利润.
n
i 1,2,… , m j 1,2,… , n
2、矩阵式
…… …… ………………... ……
… … …
3、向量式
…
…
…
…
…
当z值不断增加时，该直线
§2
线性规划的图解法
②
50 40
x2 = -（3/5）x1 +Z/2500
沿着其法线方向向右上方移 动。
唯一最优解
max Z=1500x1+2500x2 ① 30 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ x1,x2 0 ④ 20 由图示可知最优点为B （5，25），最优值为70000 10 可行域、可行解 最优解、最优值
线性规划问题解的特点和几种 可能情况：
• 线性规划问题的可行解的集合是凸集
• 凸集的极点（顶点）的个数是有限的 • 最优解如果存在只可能在凸集的极点上取 得，而不可能发生在凸集的内部 • 线性规划问题的解可能是：唯一解、无穷 多最优解、无界解和无可行解(无解)
③
10
20
30
40
50
x1
一、目标函数中的系数的灵敏度分析
• -， • 0 ≤ c1≤3750，最优解不变
•当c1 =1500不变时，
• 1000 ≤ c2，最优解不变
二、约束条件中常数项的灵敏度分析
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ 30 x1,x2 0 ④ 3x1+2x2 66 20 x1=16/3 x2=25 Z=70500 可见资源A每增加一个单 位就可以多获得500元的 利润.
n
i 1,2,… , m j 1,2,… , n
2、矩阵式
…… …… ………………... ……
… … …
3、向量式
…
…
…
…
…
当z值不断增加时，该直线
§2
线性规划的图解法
②
50 40
x2 = -（3/5）x1 +Z/2500
沿着其法线方向向右上方移 动。
唯一最优解
max Z=1500x1+2500x2 ① 30 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ x1,x2 0 ④ 20 由图示可知最优点为B （5，25），最优值为70000 10 可行域、可行解 最优解、最优值
线性规划问题解的特点和几种 可能情况：
• 线性规划问题的可行解的集合是凸集
• 凸集的极点（顶点）的个数是有限的 • 最优解如果存在只可能在凸集的极点上取 得，而不可能发生在凸集的内部 • 线性规划问题的解可能是：唯一解、无穷 多最优解、无界解和无可行解(无解)
管理运筹学线性规划ppt课件
x1 +x2 =300
D
x1
x1 ≥0, x2 ≥0
ห้องสมุดไป่ตู้
O
100 200 300 400
• 五边形ABCDO内(含边界)的任意一点2x1(x+1x，2 =x402)0都是满足所有
约束条件的一个解，称之可行解 。 z=0= 50x1 +100 x2
11
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第二节
线性规划的图解法
三 、解的可能性（续） • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≥2
2
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第一节
线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
第三节
线性规划的标准型
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
▪ 目标函数有极大化和极小化； ▪ 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ▪ 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
线性规划图解法
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
运筹学第2章 线性规划的图解法
约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解: x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有可 能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
x1 , x2 ≥ 0
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值
表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
➢ 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
➢ 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
➢ 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件。
➢ 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
11
§2 图 解 法
例2: 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原 料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其 中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的 规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加 工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1 小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨 A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元， 试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力 的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
运筹学线性规划图解法
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
运筹学12图解法PPT课件
Βιβλιοθήκη 2、可行域封闭 多个最优解
3、可行域开放 唯一最优解
4、可行域开放 多个最优解
5、可行域开放 第目3页标/函共5数页无界
6、无可行解
图解法得到的启示
（1）解的情况：唯一最优解；无穷多最优解； 无界解；无可行解
（2）若可行域存在，则可行域是一个凸集 （3）若最优解存在，则一定在可行域（凸集）
的 某个顶点处取得 （4）解题思路：找出凸集的任意顶点，该点的
线性规划可行域和最优解的几种情况线性规划可行域和最优解的几种情况1可行域封闭唯一最优解2可行域封闭多个最优解3可行域开放唯一最优解4可行域开放多个最优解5可行域开放目标函数无界6无可行解1解的情况
线性规划的图解
max z=x1+3x2
x2
s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8
6
x1 ≥0, x2≥0
z=12 5
z=9
4
z=6
3
z=3
2
最优解 可行域
目标函数等值线
1
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
问题：1、线性规划的最优解是否可能位于可行域的内部？又 是否可能位于可行域的边界上？
第1页/共5页
线性规划的图解
max z=x1+3x2
x2
s.t. x1+ x2≤6
目标函数值与相邻顶点的比较，若该点函数值 大，则该点为最优解；否则转到目标函数值更 大的顶点，如此重复下去，直到找到最优解
第4页/共5页
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第5页/共5页
-x1+2x2≤8
6
x1 ≥0, x2≥0
3、可行域开放 唯一最优解
4、可行域开放 多个最优解
5、可行域开放 第目3页标/函共5数页无界
6、无可行解
图解法得到的启示
（1）解的情况：唯一最优解；无穷多最优解； 无界解；无可行解
（2）若可行域存在，则可行域是一个凸集 （3）若最优解存在，则一定在可行域（凸集）
的 某个顶点处取得 （4）解题思路：找出凸集的任意顶点，该点的
线性规划可行域和最优解的几种情况线性规划可行域和最优解的几种情况1可行域封闭唯一最优解2可行域封闭多个最优解3可行域开放唯一最优解4可行域开放多个最优解5可行域开放目标函数无界6无可行解1解的情况
线性规划的图解
max z=x1+3x2
x2
s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8
6
x1 ≥0, x2≥0
z=12 5
z=9
4
z=6
3
z=3
2
最优解 可行域
目标函数等值线
1
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
问题：1、线性规划的最优解是否可能位于可行域的内部？又 是否可能位于可行域的边界上？
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线性规划的图解
max z=x1+3x2
x2
s.t. x1+ x2≤6
目标函数值与相邻顶点的比较，若该点函数值 大，则该点为最优解；否则转到目标函数值更 大的顶点，如此重复下去，直到找到最优解
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-x1+2x2≤8
6
x1 ≥0, x2≥0
第二章 线性规划图解法.ppt
则有：
目标函数 Min Z = 1000 x1 +800 x2
约束条件
x1
≥1
0.8x1 + x2 ≥ 1.6
x1
≤2
x2 ≤ 1.4
x1，x2 ≥ 0
（ A点） （ B 点） （甲排放量限制） （乙排放量限制）
练习3：生产计划问题
某车间在每个生产期5天所需要的某种刀具的 统计资料如下：
日期
1
（2）数学模型：运筹学模型是数学模型或计算机模 型。在运筹学模型中，反映现实世界的关系用 数学等式或逻辑描述表示。
（3）线性规划模型：属于最优化模型。最优化模型 解决求最大利润、最小成本、最大回报率等问 题。例如：P11的例1。
2. 几个概念：
（1）线性——变量之间呈正比例关系或一次相
加关系；如：y=2x；y=x+6；y=5x1+9x2 等。
• 图解法——通过在平面上作图求解 的方法；
• 可行解——满足约束条件（包括非 负条件）的解， 即可行方案；
• 可行域——全体可行解； • 最优解——使目标函数取得最优的
可行解。
2. 图解法步骤：
（1）在直角坐标系中分别作出各 约束条件，从而确定可行域；
（2）作出一条目标函数等值线；
（3）将目标函数等值线沿目标函数 值增大（或减小）方向移动，以 求得最优解或确定线性规划无解。
• 其它形式转换成标准型：
（1）求 Min Z = CX
则只须令 Z ′= - Z = - CX =（ - C）X = C′X 可转换为求 Max Z ′ = C′X
而最优解为 :
X* 不变
Z* = －(Z ′)*
(2) 约束条件：