高中数学数列求和的常用方法

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3．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法， 即将数列中的各项乘以一个适当的数(式)．然后错开一位 相减，使数列中的一些项相互抵消或形成规律，从而得出 数列的前n项和．此种方法常用于数列{an·bn}的前n项和， 其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
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[点评] 分析数列是由等差数列或等比数列构成，可 直接由等差数列与等比数列的求和公式求和．
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题型二 倒序相加法
[例2]
设f(x)＝
4x 4x＋2
，求和S＝f(
2
1 002
)＋f(
2
2 002
wk.baidu.com
)＋…
＋f(22 000012)．
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第二章 数列
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专题 数列求和的常用方法
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专题评述 数列求和的常用方法 1．公式求和法：直接应用等差数列、等比数列的求 和公式或正整数平方和、立方和公式等求和的方法． 熟记一些常见数列的前n项和公式：
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典例剖析
题型一 公式法：直接利用或者转化后利用等差或等 比数列求和公式
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[例1] 已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. [分析] 由a2，a5的值列方程组可求得基本量a1和d，即 可求an；再利用等比数列前n项和公式求Sn.
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[分析] (1)先从已知条件出发，对210S30－(210＋1)S20＋ S10＝0进行变形整理，充分利用等比数列的性质，求出公比 q，然后由等比数列的通项公式求出数列的通项；(2)由(1) 求出nSn，认真观察{nSn}的通项，可采用错位相减法．
[分析] 本题是求函数值的和，通过对其解析式的研
究，寻找它们的规律，然后进行解决．
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[解]
因为f(x)＝
4x 4x＋2
，所以f(1－x)＝
41－x 41－x＋2
＝
4 4＋2·4x
＝4x＋2 2，
所以f(x)＋f(1－x)＝1.
所以S＝f(2 0102)＋f(2 0202)＋…＋f(22 000012)，①
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(1)等差数列、等比数列的前n项和公式(注意应用等比 数列前n项和公式时应分q＝1和q≠1两种情况讨论)；
(2)12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)； (3)13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2.
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2．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法， 即将Sn倒写后再与Sn相加，从而达到(化多为少)求和的目 的．常用于组合数列求和．
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[解] (1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0得210(S30－S20)＝ S20－S10，即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20，可 得，210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20，∵ an>0，∴210·q10＝1，由题意知q>0，解得q＝12，
因而an＝a1qn－1＝21n，n＝1,2，….
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(2)因为{an}是首项a1＝12，公比q＝12的等比数列， 故Sn＝1211－－1221n＝1－21n，nSn＝n－2nn， 则数列{nSn}的前n项和 Tn＝(1＋2＋…＋n)－(12＋222＋…＋2nn)①
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4．裂项相消法：将数列的通项分裂为两项之差，即数 列的每一项都可按此法分裂成两项之差，求和时，除首尾 若干少数项之外，其余各项相互抵消，这一求和方法称为 裂项相消法．
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5．分解求和法与并项求和法 分解求和法：把原数列的每一项拆成两(多)项之和或 差，从而将原数列分解成两(多)个数列的和或差，而这两 (多)个数列或者是等差、等比数列，或者是已知其和．求 出这两(多)个数列的和，再相加(减)，得到原数列和的方法 便是分解求和法．为了便于拆项，常常从分解数列的通项 入手．
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[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得方程组
a1＋d＝9 a1＋4d＝21
解得a1＝5，d＝4.
∴{an}的通项公式为an＝4n＋1.
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(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，bn＋1＝24(n＋1)＋1 ∴bbn＋n 1＝242n4＋n＋11＋1＝24. ∴{bn}是以b1＝25为首项，公比为q＝24的等比数列． 由等比数列前n项和公式得： Sn＝2511－－2244n＝322145n－1.
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并项求和法：将原数列的项重新组合(例如两两结合， 奇偶项分别结合等)，使它们成为一个或几个等差(比)数列 后再求和的方法．
总之，在求数列的前n项和时，应先考查其通项公式， 根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列 求和的实质就是一个代数式(或超越式)的化简问题．
S＝f(22 000012)＋f(22 000002)＋…＋f(2 0102)．②
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①＋②得2S＝2 001[f(2 0102)＋f(22 000012)]＝2 001.
所以S＝2
001 2.
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题型三 错位相减法 若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数 列，则可采用错位相减法求和． [例3] 设正项等比数列{an}的首项a1＝12，前n项和为Sn 且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0. (1)求数列{an}的通项； (2)求{nSn}的前n项和Tn.