名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题8选修系列4 精品

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ，曲线 C2 的
π
极坐标方程为 ρ＝8sin θ，射线 θ＝ 3 与 C1 的交点 A 的
极径为 ρ1＝4sinπ3＝2
π
3，射线 θ＝ 3 与 C2 的交点 B 的极
径为 ρ2＝8sinπ3＝4 3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
【点评】解决这类问题一般有两种思路．一是将 极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
例5已知曲线 C1 的参数方程是xy＝＝23csions
φ， φ (φ 为
参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2.正方形 ABCD
的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，
点 A 的极坐标为2，π3 .
(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；
又圆 ρ＝b 的普通方程为 x2＋y2＝b2(b＞0)，
不妨设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F2(c，0)，则 c＝m， 又直线 l 与圆 x2＋y2＝b2 相切，
∴|m2|＝b，因此 c＝ 2b，即 c2＝2(a2－c2)，
∴ac22＝23，故椭圆
C
的离心率
e＝
6 3.
【点评】本题考查椭圆的参数方程，直线、圆的
【点评】本题考查平面几何圆的性质及弦切角定 理的应用．
2．极坐标与参数方程
例3在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为
x＝acos y＝bsin
φ φ(φ 为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐
标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分
2．高考真题
考题 1(2015 全国Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直 径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E.
(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
(2)若 OA＝ 3CE，求∠ACB 的大小．
【解析】(1)如图，连接 AE，由 已知得 AE⊥BC，AC⊥AB.
在 Rt△AEC 中，由已知得 DE＝ DC，故∠DEC＝∠DCE.
即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－ 3)，D( 3，－1)． (2)设 P(2cos φ，3sin φ)，令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＋|PD|2，则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1，所以 S 的取值范围是[32，52]．
极坐标方程，直线与圆的位置关系，椭圆的离心率．
例4在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝2cos α， y＝2＋2sin α(α
为参数)，M
是
C1
上的动点，P
点满
足O→P＝2O→M，点 P 的轨迹为曲线 C2.
(1)求 C2 的方程；
(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标
求|AB|的最大值．
【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y ＝0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
联立xx22＋ ＋yy22－ －22y＝3x0＝，0，
解得xy＝ ＝00，或xy＝ ＝32.3，
所以
C2 与
C3
交点的直角坐标为(0，0)和
23，32.
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
方程为ρcos θ＝a.
(3)过点
A
a，π
2
，且平行于极轴的直线
l
的极坐
标方程为ρsin θ＝a.
11．算术－平均不等式
(1)两个正数 a，b 的均值不等式：若 a>0，b>0，
则a＋b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)． 2
(2)三个正数 a，b，c 的均值不等式：若 a，b，c
＞0，则a＋b3＋c≥3 abc(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)． 12．绝对值不等式 (1)若 a，b∈R，则|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当 ab≥0
第26讲 选修系列4
1．考题展望 (1)几何证明中主要考查平行线分线段成比例定 理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定 (与圆有关的问题是考查的重点)，考查推理论证能力 以及综合运用几何方法解决问题的能力；多以中档难 度出现． (2)极坐标与参数方程中直线、圆、椭圆的参数方 程及直线、圆的极坐标方程是考查的重点，难度不大， 复习时以基础为重点，抓知识要点，少做难题，能灵 活转换即可． (3)会用绝对值不等式、均值不等式解决一些简单 问题，高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变 换的难度和一些技巧作过高的要求．
(2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＋|PD|2 的取值范围．
【解析】(1)由已知可得 A2cosπ3 ，2sinπ3 ， B2cosπ3 ＋π2 ，2sinπ3 ＋π2， C2cosπ3 ＋π，2sinπ3 ＋π， D2cosπ3 ＋32π，2sinπ3 ＋32π，
【解析】(1)因为 PD＝PG， 所以∠PDG＝∠PGD， 由于 PD 为切线， 故∠PDA＝∠DBA， 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA.
由于 AF⊥EP， 所以∠PFA＝90°， 于是∠BDA＝90°. 故 AB 是直径． (2)连接 BC，DC，如图． 由 于 AB 是 直径 ，故 ∠BDA＝ ∠ACB＝90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中，AB＝BA，AC＝BD， 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB＝∠CBA. 又因为∠DCB＝∠DAB， 所以∠DCB＝∠CBA，故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP，所以 DC⊥EP，∠DCE 为直角． 于是 ED 为直径，由(1)得 ED＝AB.
【点评】本题主要考查圆的极坐标方程以及椭圆
参数方程的应用．
3．不等式选讲 例6已知 a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
考题 3(2015 湖南)设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋b1. 证明：
①a＋b≥2； ②a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
【解析】由 a＋b＝1a＋b1＝a＋ abb，a>0，b>0，得 ab＝1.
①由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2.
②假设 a2＋a<2 与 b2＋b<2 同时成立，则由 a2＋ a<2 及 a>0，得 0<a<1；
连接 OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即 DE 是⊙O 的切线．
(2)设 CE＝1，AE＝x. 由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得 AE2＝CE·BE， 即 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2－12＝0. 解得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
程为ρ＝2acos θ.
(2)圆心为a，π2 (a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标
方程为 ρ＝2asin θ.
(3)圆心为(0，0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为
ρ＝a.
10．直线的极坐标方程
(1)过极点，且与极轴所成角为α的直线 l 的极坐标
方程为θ＝α.
(2)过点 A(a，0)，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标
2
【点评】本题考查弦切角定理及切割线定理的应
用，考查方程思想和运算求解能力．
例2如图，EP 交圆于 E，C 两点， PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG＝PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.
(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若 AC＝BD，求证：AB＝ED.
2．相似三角形的判定方法： (1)若△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝ ∠B′，则△ABC∽△A′B′C′. (2)若△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AA′BB′＝ A′C′，则△ABC∽△A′B′C′.
(3)若△ABC 和△A′B′C′中，AA′BB′＝BB′CC′＝AA′CC′， 则△ABC∽△A′B′C′.
3．射影定理：若 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB 于 D，则 CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2 ＝AB·BD.
4．(1)相交弦定理：若⊙O 的两条弦 AB，CD 相 交于点 P，则 AP·PB＝CP·PD.
(2)切割线定理：若 PA 是⊙O 的切线，PCD 是其 割线，则 PA2＝PC·PD.
同理，0<b<1，从而 ab<1，这与 ab＝1 矛盾． 故 a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
【命题立意】本题考查基本不等式和反证法，考
查考生推理论证的能力和转化化归思想的应用．
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两 条直线，所得的对应线段成比例．
若 AD∥BE∥CF，则ABCB＝DEEF.
π
系中，射线 θ＝ 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与
C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|.
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【解析】(1)设 P(x，y)，则由条件知 Mx2，y2，由于
M 点在 C1 上，所以x2y2＝＝22c＋os2sαin ，α，即xy＝＝44c＋os4sαin ，α.
从而 C2 的参数方程为xy＝＝44c＋os4sαin ，α(α 为参数)．
长为
2b
的椭圆的参数方程为xy＝ ＝abcsoins
φ， φ (φ
为参
数)．
8．极坐标与直角坐标的互化公式
设平面上的一点 M(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx
(x≠0)．
9．圆的极坐标方程
(1)圆心为(a，0)(a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标方
【解析】23 由切割线定理可得 PC2＝PA·PB
PA＝PPCB2＝322＝92，
由于 PC 切圆 O 于点 C，
由弦切角定理可知∠PCB＝∠PAD，
由于 PD 是∠APC 的角平分线，
则∠CPE＝∠APD，
所以△PCE∽△PAD，
由相似三角形得PPDE＝PPAC，即PPDE＝39＝3×29＝23.
时取等号)． (2)若 a，b，c∈R，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(当且
仅当(a－b)(b－c)≥0 时取等号)．
1．几何证明选讲 例1如图，PC 是圆 O 的切线，切
点为点 C，直线 PA 与圆 O 交于 A，B 两点，∠APC 的角平分线交弦 CA，
CB 于 D，E 两点，已知 PC＝3，PB＝2，则PPDE的值 为________．
其中 0≤α<π.因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的
极坐标为(2 3cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4|sinα－π3 |.
当 α＝5π6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
【命题立意】本题考查圆的极坐标方程与圆的参 数方程，考查化归转化的意识及方程思想．
5．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 αα≠π2 的直线 l
的参数方程为xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α (t
为参数)．
6．圆的参数方程
圆心为(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos y＝y0＋rsin
θ， θ (θ
为参数)．
7．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 2a，短轴
别为
ρsinθ＋π4 ＝
2 2 m(m
为非零数)与
ρ＝b.若直线
l
经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，求椭圆 C 的离心
率．
【解析】椭圆 C 的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，
由 ρsinθ＋π4 ＝ 22m，得 ρsin θ＋ρcos θ＝m，
∴直线 l 的普通方程为 x＋y＝m，
【命题立意】本题考查平面几何切割线定理的应 用，考查方程思想和运算求解能力．
考题 2(2015 全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线
C1：xy＝＝ttcsions
α， α (t
为参数，t≠0)，其中
0≤α<π.
在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，