高二数学人教B选修22同步练习1 含答案

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高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-3-1推出与充分条件、必要条件

1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查任意角的三角函数值． “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos2α＝12，“cos2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴选A.2．(2009·湖南)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件．当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0；当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0， ∴a >0，且b >0.故选C.5．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 [答案] A[解析] P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， x ∈P ⇒x ∈Q .但x ∈Qx ∈p ，∴x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．当x ＝4时，|a |＝42＋32＝5 当|a |＝x 2＋9＝5时，解得x ＝±4.所以“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的( )B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0⇒x 2＝－1a >0.∴ax 2＋1＝0有一个负根． ∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根，那么x 2＝－1a >0，可是a <0.∴必要性成立．故选B.9．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 充分性：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0垂直；必要性：若直线x ＋y ＝0和x －ay ＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a ＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m ⊂α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β， ∵m ⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l ⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题11．条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的__________条件．[答案] 充要[解析] a >1⇒a >a 成立反之：a >a 时即a 2－a >0解得a >1.12．“lg x >lg y ”是“x >y ”的______________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由lgx >lgy ⇒x >y >0⇒x >y 充分条件成立．又由x >y 成立，当y ＝0时，lgx >lgy 不成立，必要条件不成立．13．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________． [答案] a ≥0[解析] ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0. ∴由①②得a ≥0.14．函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________． [答案] b ≥0[解析] 对称轴为x ＝－b2，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调，只需满足－b2≤0，即b ≥0.三、解答题15．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，－p4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．16．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得 q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}依题意：p ⇒q ，但是q 不能推出p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a ≤101－a ≥－2(说明“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.17．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[解析] 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2，于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0， ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0，∴该方程有两个根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为 x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即x 2＋2cx －(a －c )(a ＋c )＝0， ∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两个根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )，可以发现x 1＝x 3， ∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧β2＋2aβ＋b 2＝0 ①β2＋2cβ－b 2＝0 ②，由①＋②得：β＝－(a ＋c )或β＝0(舍去)，将β＝－(a ＋c )代入①并整理可得：a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.18．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求；(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1·x 2，则x 1＋x 2＝－2a x 1·x 2＝1a.①因而方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a <0⇒a <0；②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a1a >0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-4二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3章末

3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2，由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-5直线与圆锥曲线

2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2][答案] B[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b )应在双曲线上或内部，即y 2≤x 2－1，∴b 2≤3，∴－3≤b ≤ 3.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则|AB |的值为( ) A.837 B.163 C.83 D.1637 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1,0)，过F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)y 2＝4x得关于x 的一元二次方程3x 2－10x ＋3＝0.①设交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点．则x 1x 2是①的两根．有x 1＋x 2＝103.|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2[答案] B[解析] 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得 6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22. ∴θ＝π4或34π.故选B. 4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，若y 0∈[1,2]，则|PF |的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤14，1B.⎣⎡⎦⎤54，2C ．[1,2]D ．[2,3][答案] B[解析] ∵y 0∈[1,2]，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤14，1，由定义|PF |＝1＋x 0∈⎣⎡⎦⎤54，2.故选B.5．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是() A ．－5<m <5 B ．m <－5，或m > 5C ．m < 5D ．－5<m < 5[答案] D[解析] 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，得m 2<5，∴－5<m < 5.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，43)B ．(43，73)C ．(－23，13D ．(－43，－13)[答案] C[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，两式相减得14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0y 1－y 2x 1－x 2＝－14(x 1＋x 2)12(y 1＋y 2)＝k∴－x 02y 01，又y 0＝x 0＋1∴x 0＝－23，y 0＝13. 7．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[答案] D[解析] 双曲线焦点在y 轴上，离心率e ＝2，∴圆心在y 轴上，半径R ＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D.10 [答案] C[解析] 由已知，直线方程为x ＋y －a ＝0，两渐近线为x a ±y b＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0bx －ay ＝0得x B ＝a 2a ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －a ＝0bx ＋ay ＝0得x C ＝a 2a －b . ∵AB →＝12BC →，∴2(x B －x A )＝x C －x B ， ∴3x B ＝2x A ＋x C ，∴3a 2a ＋b ＝a 2a －b＋2a ，解得b ＝2a ， ∴c 2＝a 2＋b 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 故选C.9．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定[答案] C[解析] ∵e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b 2a 22<1. ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1·e 2)<0.故选C.10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 21的离心率为( ) A.54B.52C.32D.54[答案] B[解析] 椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54. ∴双曲线的离心率为e ′＝52.故选B. 二、填空题 11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值等于______． [答案] 4[解析] 由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0与F 2(2,0)重合， ∴p 2＝2，∴p ＝4. 12．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案] x 2＝12y[解析] ∵抛物线x 2＝ay (a >0)的准线方程为y ＝－a 4，∴a 4＋3＝6，∴a ＝12， ∴抛物线方程为x 2＝12y .13．双曲线x 2－y 2＝9被直线x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．[答案] 4335 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝9x －2y ＋1＝0，3y 2－4y －8＝0 y 1·y 2＝－83，y 1＋y 2＝43. l ＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝5·169＋323＝4335. 14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案] 2[解析] 把抛物线方程改写为x 2＝1a(y ＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点， ∴1a＝4， ∴抛物线x 2＝4(y ＋1)与x 轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2. 三、解答题15．直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线y 2＝12x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求线段AB 的长．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0，由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)(22－4×14)＝15. 16．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．[解析] 过椭圆焦点F (1,0)的直线l 垂直于x 轴时，可知此时△AOB 的面积等于22. 当l 不垂直x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．因为|OF |是定值1，所以△AOB 的面积可以用12×1×|y 1－y 2|(其中y 1，y 2是A ，B 的纵坐标)来计算．将y ＝kx －k 代入x 22＋y 2＝1，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －k 2＝0. 由根与系数的关系可得(y 1－y 2)2＝8k 4＋8k 2(2k 2＋1)2＝2－2(2k 2－1)2<2. 可以看出|y 1－y 2|<2，此时△AOB 的面积小于22，所以直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1. 17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0.于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O 为原点)(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0. 解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-3抛物线习题课

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p 20(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy －p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，② ①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2， x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫14，－1.故选A. 二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5.12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝⎛⎭⎫p 2＋2－1，解得p ＝2.三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k)2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为 d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2章末

2章末一、选择题 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线一支C ．圆D ．椭圆 [答案] B[解析] 动点到两定点距离之差为1.故选B.2．若双曲线C 以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C 的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．－x 23y 2＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] ∵F (0，±1)，长轴端点(0，±2)∴双曲线中a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，又焦点在y 轴上，故选B.3．已知AB 为经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc [答案] D[解析] 设AB 方程为ky ＝x ，代入椭圆方程得(b 2k 2＋a 2)y 2＝a 2b 2∴y 1＝ab a 2＋b 2k 2，y 2＝－ab a 2＋b 2k 2. ∴S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝abc a 2＋b 2k2 ∴面积最大值为bc (k ＝0)．4．(2008·四川)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[答案] B [解析] 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，且准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝18. 二、填空题5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．[答案] 3[解析] 如图所示，设双曲线焦点在x 轴，顶点A 、焦点F 到渐近线的距离分别是AA ′，FF ′，则AA ′∥FF ′，∴△OAA ′∽△OFF ′，∴OA OF ＝AA ′FF ′ 即a c ＝26，则e ＝c a＝3. 6．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．[答案] 32[解析] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16. ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32. 综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32. 三、解答题7．如右图所示，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝12x ，y ＝18x 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4，即A (－4，－2)，B (8,4)，从而AB 的中点为M (2,1)．由k AB ＝12，得线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝－2(x －2)．令y ＝－5，得x ＝5，∴Q (5，－5)．(2)直线OQ 的方程为x ＋y ＝0，设P (x ，18x 2－4)， ∵点P 到直线OQ 的距离d ＝|x ＋18x 2－4|2＝182|x 2＋8x －32|，|OQ |＝5 2. S △OPQ ＝12|OQ |d ＝516|x 2＋8x －32|， ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上， ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y ＝x 2＋8x －32在区间[－4,8]上单调递增，∴当x ＝8时，△OPQ 的面积取到最大值516×96＝30.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32，又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′，则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)．又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0，令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。

高二数学人教B选修22同步练习1章末含答案

选修2-2 1章末归纳总结一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π) [答案] B[解析] y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x >0，得⎩⎨⎧ x >0sin x <0，或⎩⎨⎧x <0sin x >0，当x ∈(π，2π)时y ′>0，故在(π，2π)上是增函数．故选B.2．如图，阴影部分面积为( )A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x B.⎠⎛ac [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d x C.⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b [g (x )－f (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x [答案] B[解析] S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]d x .故选B. 3．(2009·天津理，4)设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e )内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e )内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点[答案] D[解析] 本小题主要考查函数零点的判定．∵f (x )＝13x －ln x (x ＞0)， ∴f (e)＝13e －1＜0，f (1)＝13＞0，f (1e )＝13e＋1＞0， ∴f (x )在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点．故选D. 二、填空题4．cos2x d x ＝________.[答案] 14(2－3) [解析] 原式＝12sin2x ＝14(2－3)． 5．设P 为曲线c y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线c 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是____________．[答案] [34，3] [解析] 由已知得y ′＝2x －1.由－1≤2x －1≤3解得0≤x ≤2.∴y ＝(x －12)2＋34∈[34，3]．三、解答题6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．[解析](1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，所以a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，所以b ＝2.所以f (x )＝x 3－3x 2＋2.(2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况见下表：x0 (0,2) 2 (2，t ) t f ′(x )0 － 0 ＋＋ f (x ) 2 －2t 3－3t 2＋2 f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.。

高二数(人教B)选修2-2同步练习2-2-1 Word含答案

选修2-2 2.2.1一、选择题1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .故选B.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .故选A. 3．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17[答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.4．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18B.14C.12D ．1[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12. 5．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6 B ．2 3 C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2b a ＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.6．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C.故选D.7．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( ) A.5－12B.5＋12C.5±12D.1＋32[答案] A[解析] 设三内角为A ，B,90°，依题意，sin 2B ＝sin A (∠A 最小)，sin B ＝cos A . ∴cos 2A ＝sin A ，即1－sin 2A ＝sin A ， ∴sin 2A ＋sin A －1＝0. ∴sin A ＝5－12 .故选A.8．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2 [答案] C[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0知b 2＋c 2－a 2<0， ∴a 2>b 2＋c 2.故选C.9．已知实数a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)2＋(b ＋1)2的范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤92，5B.⎣⎡⎭⎫92，＋∞C.⎣⎡⎦⎤0，92D ．[0,5][答案] A[解析] 用数形结合法求解．a ＋b ＝1，a ≥0，b ≥0表示线段AB ，(a ＋1)2＋(b ＋1)2表示线段上的点与点C (－1，－1)的距离的平方．如下图∴|CD |2≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤|AC |2，即92≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤5.故选A. 10．已知x ∈(－∞，1]时，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，14B.⎝⎛⎭⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎫－∞，14D ．(－∞，6)[答案] B[解析] 原不等式化为a －a 2>－1－2x4x ，即a 2－a <1＋2x 4x ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x.当且仅当a 2－a <⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ，原不等式在(－∞，1]上恒成立，又因为⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x 为减函数，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ＝34.因此a 2－a <34，解得－12<a <32.故应选B. 二、填空题11．设p ＝2x 4＋1，q ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵p －q ＝2x 4＋1－(2x 3＋x 2)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，又2x 2＋2x ＋1恒大于0，∴p －q ≥0，故p ≥q .12．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是________________．[答案] f (3.5)<f (1)<f (2.5)[解析] 由已知f (x )关于x ＝2对称，又f (x )在(0,2)上是增函数， ∴结合f (x )图象得f (3.5)<f (1)<f (2.5)．13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．[答案] 12≤a ≤32[解析] 由|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝⎛⎭⎫12，32a －1，a ＋1)则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32，解得12≤a ≤32.14．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] 法一：∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x＋1＝0 ∴a ＝1.法二：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即f (0)＝a (20＋1)－220＋1＝0，∴a ＝1. 三、解答题15．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab . [证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立．展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，a ≠b ，可以推导出下列不等式： (a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2＋b 2>2ab 另一方面从求证出发找充分条件如下： a ＋b 2>ab ⇐a 2＋2ab ＋b 2>4ab ⇐a 2＋b 2>2ab . 故a ＋b 2>ab .16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊂平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .17．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sin x 1＋x 22cos x 1＋x 22，即证12·sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). ∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x 1＋x 2∈(0，π)．∴sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0. ∴只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，∴cos(x 1－x 2)<1显然成立． ∴原不等式成立．18．已知：a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3. [证明] (1)∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝1. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.① 又2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ca ≤c 2＋a 2，∴2ab ＋2bc ＋2ca ≤2(a 2＋b 2＋c 2)．∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)．又由①可得a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca . ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )．∴a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3. ∴(a ＋b ＋c )2≤3. ∴a ＋b ＋c ≤ 3.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1章末

第一章一、选择题1．(2010·北京理，6)a 、b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a·b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a·b ，如a ⊥b ，则有a·b ＝0，如果同时有|b |＝|a |，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f (x )为一次函数，则a·b ＝0，因此可得a ⊥b ，故该条件必要．2．(2008·安徽，7)a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a <0时，x 1·x 2＝1a<0， ∴方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负根；当a ＝0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x ＝－12. ∴a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负数根的充分不必要条件，故选B.3．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：∀x ∈R ，x >0；¬p ：∃x ∈R ，x ≤0B ．p ：∃x ∈R ，x 2≤－1；¬p ：∀x ∈R ，x 2>－1C ．p ：如果x <2，那么x <1；¬p ：如果x <2，那么x ≥1D.p ：∀x ∈R ，使x 2＋1≠0；¬p ：∃x ∈R ，x 2＋1＝0[答案] C[解析] 利用全称命题和存在性命题的否定形式进行判断，C 中实际上是一个“对全称命题”的否定，应为“∃x ∈R ，当x <2时，使x ≥1”．二、填空题4．如果命题“p 且q ”与“¬p ”都是假命题，则命题q 是________(真、假)命题．[答案] 假[解析] “p 且q ”假，说明p 、q 至少有一为假；“¬p ”假，说明p 真，故知q 为假．5．(2009·山东日照3月考)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12>0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12，(x 、y ∈R )，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则r 的取值范围是________________．[答案] ⎝⎛⎦⎤0，125[解析] 由已知綈q ⇒綈p ，∴p ⇒q ，由线性规划知，p 表示如下阴影部分：由p ⇒q 的几何意义，阴影在以原点为圆心，半径为r 的圆外．∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，125. 三、解答题6．若M 、A 、B 三点不共线，且存在实数λ1，λ2，使MC →＝λ1MA →＋λ2MB →，求证：A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ1＋λ2＝1.[解析] 必要性：若A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，使得AC →＝λAB →.AC →＝MC →－MA →＝λ1MA →＋λ2MB →－MA →＝(λ1－1)MA →＋λ2MB →，而AB →＝MB →－MA →，∴(λ1－1)MA →＋λ2MB →＝λMB →－λMA →，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ1－1＝λλ2＝－λ所以λ1＋λ2＝1.充分性：若λ1＋λ2＝1，则AC →＝MC →－MA →＝λ1MA →＋λ2MB →－MA →＝(λ1－1)MA →＋λ2MB →＝－λ2MA →＋λ2MB →＝λ2AB →，∵AC →与AB →共线，即A 、B 、C 三点共线，综上所述，结论成立．。

2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习1-2-3 Word版含答案]

选修2-2 1.2.3一、选择题1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )A ．abB ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b[答案] D[解析] 解法一：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b . 解法二：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x [答案] A[解析] y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2[答案] B[解析] 解法一：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， ∴f ′(x 0)＝x 20－a 2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法二：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 2x ′＝1－a 2x 2， ∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a .故选B.4．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x[答案] A[解析] ∵y ＝sin 2x ＝12－12cos2x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12－12cos2x ′＝sin2x .故选A.5．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于() A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.故选D.6．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x[答案] C[解析] ∵函数y ＝1x ＋2x 在x ＝0处不可导，∴函数y ＝1x ＋2x 在点x ＝0处没有切线．故选C.7．(2010·江西理，5)等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] 令g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)……(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，f ′(x )＝g (x )＋g ′(x )x ，故f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2……a 8，＝(a 1a 8)4＝212.8．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.故选A. 9．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.故选A. 10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )2B ．[0，π2)∪[2π3，π) C ．[2π3，π) D ．[0，π2)∪(π2，2π3] [答案] B[解析] ∵y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－ 3∴tan α≥－3，∵α∈(0，π)∴α∈[0，π2)∪[2π3，π)．故选B. 二、填空题11．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.[答案] 1ln3[解析] ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln3(x －1)′＝1(x －1)ln3， ∴f ′(2)＝1ln3. 12．曲线y ＝sin3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处切线的斜率为________．[答案] －3[解析] 设u ＝3x ，则y ＝sin u ，∴y ′x ＝cos u ·(3x )′＝3cos u ＝3cos3x∴所求斜率k ＝3·cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝3cosπ＝－3. 13．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝(a ·e x ＋b ln x )′＝a e x ＋b x， ∴f ′(1)＝a e ＋b ＝e ，f ′(－1)＝a e －b ＝1e， ∴a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.14．若函数f (x )＝1－sin x x，则f ′(π)________________．π[解析] ∵f ′(x )＝(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′x 2＝sin x －x cos x －1x 2， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2. 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ； (3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x. [解析] (1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4. (2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 16．设y ＝8sin 3x ，求曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线方程．[解析] ∵y ′＝(8sin 3x )′＝8(sin 3x )′＝24sin 2x (sin x )′＝24sin 2x cos x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝π6＝24sin 2π6·cos π6＝3 3. ∴适合题意的曲线的切线方程为y －1＝33⎝⎛⎭⎫x －π6，即63x －2y －3π＋2＝0. 17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1①∵y ′＝2ax ＋b ，y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1②又曲线过(2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1③解由①②③组成的方程组，得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)2x －1； (2)f (x )＝(x 2＋9)⎝⎛⎭⎫x －3x ； (3)f (x )＝cos2x sin x ＋cos x. [解析] (1)方法一：∵f (x )＝x 2＋4x ＋4x －1， ∴f ′(x )＝(2x ＋4)(x －1)－(x 2＋4x ＋4)·1(x －1)2 ＝2x 2－2x ＋4x －4－x 2－4x －4(x －1)2＝x 2－2x －8(x －1)2. 方法二：∵f (x )＝x 2＋4x ＋4x －1＝x 2－x ＋5x －5＋9x －1＝x ＋5＋9x －1， ∴f ′(x )＝1＋⎝⎛⎭⎫9x －1′＝1＋－9(x －1)2＝x 2－2x －8(x －1)2. (2)∵f (x )＝(x 2＋9)⎝⎛⎭⎫x －3x ＝x 3－3x ＋9x －27x ＝x 3＋6x －27x， ∴f ′(x )＝(x 3)′＋(6x )′－⎝⎛⎭⎫27x ′＝3x 2＋6－－27x 2＝3x 2＋6＋27x 2. (3)∵f (x )＝cos2x sin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴f ′(x )＝－sin x －cos x .。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-1-1命题

1.1.1命题一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a |B ．0∈NC ．集合与简易逻辑D ．真子集[答案] B[解析] 由命题定义知选B.2．已知命题：①若ac >bc ，则a >b ；②若a >b ，则1a <1b；③若x ＋2＝0，则x ＋2≤0；④若p ≥0，则p 2≥p .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] ①当c ≤0时，不一定有a >b 恒成立，是假命题；②当a >0时，b <0，不等式1a <1b不成立，是假命题；③是真命题；④当0p 不成立，是假命题，故选A.3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b )c ＝(c·a )b ；②|a|－|b|<|a －b|；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[答案] D[解析] 由于向量c 与b 不共线，故①错，[(b·c )a －(c·a )b ]·c ＝0，故③错．4．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a 、b 相交，则α、β相交D ．若α、β相交，则a 、b 相交[答案] D[解析] 如图所示，因为α、β为两个不同的平面，所以若α∩β为＝c ，但平面α、β不会重合．因为a ⊥α，b ⊥β，所以a 与b 不一定相交．故“α、β相交，则a 、b 相交”是假命题．5．关于直线m 、n 与平面α、β有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③[答案] D[解析]m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n可能相交或异面，故①不成立，排除A、C；若m⊥α，n⊥β，m⊥n成立，故②正确，排除B.6．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题[答案] D[解析]由△＝16－4a≥0，知a≤4，故D正确．7．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]命题①忽视两条直线可以相交，命题②两平面可以相交、平行，命题③l1，l2可以异面或相交，命题④中与l1，l2都相交的两直线可以相交，故选D.8．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] B9．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b，则a＋c>b＋c；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，故为真命题；②显然为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形；④为真命题．10．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个[答案] B[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，如两个平面在第三个平面上(一本书立在课桌上)．②正确．③正确．二、填空题11．有下列四个命题：①如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数；②全等三角形面积相等；③如果q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实数解；④2是合数．其中真命题是________．(填上正确命题的所有序号)[答案] ①②③12．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] m ≥1或m ＝0[解析] ①为真时，m ≥0；②为真时，0<m <1.∴①真②假时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≥1或m ≤0∴m ≥1或m ＝0； ∴②真①假时⎩⎨⎧ 0<m <1m <0∴m ∈∅.∴m ≥1或m ＝0.13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)[答案]x轴－3－log2x[解析]f(x)＝3＋log2x，关于x轴对称的曲线为－g(x)＝3＋log2x即g(x)＝－3－log2x.14．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号________(写出所有真命题的序号)．[答案](1)(2)[解析]本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直；(3)不正确；(4)直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直，而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直，∴(4)不正确．三、解答题15．判断下列语句是否是命题，并说明理由．①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③一条直线l，不是与平面α平行就是相交；④x2＋2x－3<0；⑤二次函数的抛物线太美了！⑥4是集合{1,2,3}的元素．[解析]①是命题，且是假命题．②不是命题，因为语句中含有变量x，有没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．③直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内，为假命题．④在x未赋值之前，不能判断其真假，不是命题．⑤感叹句，不是命题．⑥由于4∉{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}的元素”为假命题．16．已知“x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2”是假命题，求a 满足的条件． [解析] 由x 1<x 2<0可得x 1x 1x 2<x 2x 1x 2即1x 2<1x 1，要使a x 1>a x 2是假命题，则a ≤0.故a 满足的条件是a ≤0.17．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形；(3)x 2＋x >0；(4)∅ A ；(5)6是方程(x －2)(x －6)＝0的解；(6)方程x 2－2x ＋5＝0有实数解．[解析] (1)能构成命题，且是假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法确定，故不是命题．(3)因为x 是未知数，无法判断x 2＋x 是否大于零，所以不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A 是否非空集合无法判断，故不是命题．(5)6确实是所给方程的解，所以这一语句是命题，且是真命题．(6)由于给定方程的判别式Δ＝4－4＝－16<0，知方程x 2－2x ＋5＝0无实根，故这是命题，但为假命题．18．判断下列命题的真假．①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }． ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点．④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin2x 的图象． ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．[解析] 命题①中y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，显然其最小正周期为π，∴①是真命题．②当k ＝2m (m ∈Z )时，则α＝m π，其角的终边在x 轴上，∴②是假命题．③在同一坐标系中，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象观察知图象只在原点处有一个交点，∴③是假命题．命题④中，向右平移π6 y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin2x ，命题为真命题．π2＝－cos x在[0，π]上为增函数，命题为假命题．命题⑤中y＝sin⎝⎛⎭⎫x－。

高二数(人教B)选修2-2同步练习2-1-1 Word含答案

选修2-2 2.1.1一、选择题1．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.2．(2010·山东卷文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的1 4；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不对[答案] C[解析]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 [答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．7．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( ) A ．2cos θ2n B ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cos θ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．①B ．①②C ．①②③D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.9．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第六个三角形数为7×(7＋1)2＝28.故选B.10．已知f (x )是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若f (1)＝2，则f (2005)等于( )A ．2005B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] f (3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)＝f (x )，即f (x )的最小正周期为6.所以f (2005)＝f (1＋334×6)＝f (1)＝2.故选B. 二、填空题11．在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为________．[答案][解析] V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.12．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2， C 19＋C 59＋C 99＝27＋23， C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25， C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________.[答案] 24n －1＋(－1)n 22n －1[解析] 由归纳推理，观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n －1；第二项的指数1,3,5,7，…，通项为2n －1.故得结论24n －1＋(－1)n 22n －1.13．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． [答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行从左到右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 14．(2010·湖南理，15)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.[答案] 2 n 2[解析] 因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2. 因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1， (a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3. 所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16. 猜想((a n )*)*＝n 2. 三、解答题15．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．16．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N ＋，猜想数列的通项公式并证明．[解析] {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．17．如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解析] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1， ∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP⇒PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本题可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3， a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4， …，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…， a m 1＋a m 2＋…＋a m nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。

2019-2020年高中数学人教B版选修2-2同步训练：1.1 导数 Word版含答案

姓名，年级：时间：1.1 导数1、已知点1122(,),(,)A x y B x y 在函数()y f x =的图象上,若函数()f x 从1x 到2x则下面叙述正确的是（ )A 。

曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为6πB 。

曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC 。

曲线()y f x =的割线AB的斜率为D.曲线()y f x =的割线AB的斜率为 2、函数2()y f x x ==在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率为1k ,在区间[]00,x x x -∆上的平均变化率为2k ,则1k 与2k 的大小关系为( ） A 。

12k k >B.12k k <C.12k k =D.不能确定3、已知物体做自由落体运动的位移方程为21()2s t gt =，其中29.8m /s ,g s =的单位为m,t 的单位为s,若(1)(1)s t s v t+∆-=∆，当t ∆趋于0时,v 趋近于9.8m /s ,则9.8m /s 是( )A.物体从0s 到1s 这段时间的平均速度 B 。

物体从1s 到(1)s t +∆这段时间的平均速度 C 。

物体在1s t =这一时刻的瞬时速度 D 。

物体在s t t =∆这一时刻的瞬时速度4、若函数2()f x x =,则函数()f x 从1x =-到2x =的平均变化率为( ) A 。

1B.2C 。

3D.-15、已知函数()2ln 8f x x x =+,则0(12)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆的值为( )A 。

—20 B.—10 C.10D.206、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()lim h f x h f x h h→+--的值为( )A 。

0'()f xB 。

02'()f xC.02'()f x -D.07、若'()2f x =-,则0001()()2lim k f x k f x k→--等于( ）A ．－2B ．－1C ．1D ．28、若函数()y f x =在(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，若0'()4f x =,则00()(2)lim x f x f x h h→∞--=( ）A.2B.4C 。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-3椭圆习题课

2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1，F 2是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|F 1Q |＝2a ，∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ，故动点Q 的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1. 焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 3．P 是椭圆x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积是( ) A.6433 B ．64(2＋3) C ．64(2－3) D ．64[答案] A[解析] 在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由椭圆定义知r 1＋r 2＝20 ①由余弦定理知cos60°＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1·r 2＝r 21＋r 22－1222r 2·r 2＝12，即r 21＋r 22－r 1r 2＝144 ② ①2－②得r 1r 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12r 1·r 2sin60°＝6433. 4．已知F 是椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，且c ＝a 2－b 2，则△PQF 面积的最大值是( )A.12ab B ．ab C ．acD ．bc [答案] D[解析] 设它的另一个焦点为F ′，则|F ′O |＝|FO |，|PO |＝|QO |，FPF ′Q 为平行四边形．S △PQF ＝12S PF ′QF ＝S △PFF ′，则当P 为椭圆短轴端点时，P 到FF ′距离最大，此时S △PFF ′最大为bc .即(S △PQF )max ＝bc .5．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 [答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32，即|PF 1|＝7|PF 2|. 6．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34π∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡π2，3π4 C.⎝⎛π2，3π4D.⎝⎛3π4，3π2[答案] C[解析] 将方程变形为：x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>01－cos α>01sin α<1－cos α，∴sin α>－cos α>0.∴α在第二象限且|sin α|>|cos α|.7．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977D.94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P 不可能为直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7 代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 8．(2009·江西)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B [解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a， ∴|PF 1|＝b 2a∴|PF 2|＝2b 2a，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a＝2a ，即3b 2＝2a 2 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33. 9．(2009·山东威海)椭圆x 24＋y 33＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值是( ) A ．2 000B ．2 006C ．2 007D ．2 008[答案] A[解析] ∵椭圆x 24＋y 23＝1上距离右焦点F (1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F (1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|P n F |}的公差d 大于11 000，不妨|P 1F |＝1，|P n F |＝3,3＝1＋(n －1)·d ，∴d ＝2n －1>11 000，n －1<2 000，即n <2 001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －4＝0D ．x ＋2y －8＝0[答案] D[解析] 设截得的线段为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 中点坐标为(x 0，y 0)，利用“差分法”得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，即y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－936， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 二、填空题11．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案] y 24＋x 23＝1 [解析] 由题意设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，∴2a ＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.12．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝____________.[答案] 35[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，∴|PF 1|＝52|PF 2|＝32|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2 得0<1－1a 2≤34. 从而－1<－1a 2≤－14， ∴14≤1a2<1，故1<a 2≤4， ∴1<a ≤2，即2<2a ≤4.14．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． [答案] x 24＋y 23＝1 (±1,0) [解析] 由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2.∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3. ∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0)．三、解答题15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，又B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] 设l ：y ＝k (x ＋c )则C (0，kc )，B (－c 2，kc 2)． ∵B 在椭圆上，∴c 24a 2＋k 2c 24b 2＝1. 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1⇒e 2＋ke 21－e 2＝4. ∴k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72⇒2e 4－17e 2－8≤0⇒ 12≤e 2<1⇒22≤e <1. 16．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1. (1)直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，求实数m 的取值范围．(2)以椭圆E 的焦点F 1、F 2为焦点，经过直线l ′：x ＋y ＝9上一点P 作椭圆C ，当C 的长轴最短时，求C 的方程．[解析] (1)直线l 与椭圆E 有两个公共点的条件是：方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m 有两组不同解，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0，－23<m <2 3.∴实数m 的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F 1(－2,0)、F 2(2,0)．作点F 1(－2,0)关于l ′的对称点F 1′(9,11)．设P 是l ′与椭圆的公共点，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF ′1|＋|PF 2|≥|F ′1F 2|＝72＋112＝170.∴(2a )min ＝170，此时，a 2＝1704＝852b 2＝a 2－c 2＝772. ∴长轴最短的椭圆方程是x 2852＋y 2772＝1. 17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．I若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ [解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P (11，4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1. 将b ＝h ＝6与点P 坐标代入椭圆方程，得a ＝4477，此时l ＝2a ＝8877≈33.3 因此隧道的拱宽约为33.3米．18．椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e ＝32，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，|PQ |＝209，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程． [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，当PQ ⊥x 轴时，F (－c,0)，|FP |＝b 2a. 又∵|FQ |＝|FP |，且OP ⊥OQ ，∴|OF |＝|FP |，即c ＝b 2a， ∴ac ＝a 2－c 2，e 2＋e －1＝0.∴e ＝5－12.与题设e ＝32不符，所以PQ 不垂直于x 轴，设PQ 所在直线方程为y ＝k (x ＋c )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵e ＝32，∴a 2＝43c 2，b 2＝13c 2. ∴椭圆方程可化为3x 2＋12y 2－4c 2＝0.将PQ 所在直线方程代入，得(3＋12k 2)x 2＋24k 2cx ＋12k 2c 2－4c 2＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－24k 2c 3＋12k 2，x 1x 2＝12k 2c 2－4c 23＋12k 2. 由|PQ |＝209，得1＋k 2.(－24k 2c 3＋12k 2)2－4(12k 2c 2－4c 2)3＋12k 2＝209.① ∵OP ⊥OQ ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋k 2c (x 1＋x 2)＋c 2k 2＝0，②联立①②解得c 2＝3，k 2＝411. ∴a 2＝4，b 2＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.。

2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习1-4-1 Word版含答案]

选修2-2 1.4.1一、选择题1．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] 用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.2．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.3．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －a n C.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B.32 C.34D ．1 [答案] A5．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.6．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 [答案] D7．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0) [答案] C8．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C9．设连续函数f (x )>0，则当a 0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.10．下列式子中不成立的是( )A ．∫2π＋a a sin x d x ＝∫2π＋bbcos x d x B ．∫π20sin x d x ＝∫π20cos x d xC.⎠⎛0πsin x d x ＝⎠⎛0πcos x d xD.⎠⎛0π|sin x |d x ＝⎠⎛0π|cos x |d x[答案] C[解析] 由y ＝sin x ，x ∈[0，π]，y ＝cos x ，x ∈[0，π]的图象知⎠⎛0πcos x d x ＝0，⎠⎛0πsin x d x >0.故选C.二、填空题11．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积12．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x13．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 3614．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题15．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛2－24－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π.(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.16．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n .＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞(n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.17．用定积分的定义计算⎠⎛12(1＋x )d x .[解析] 将区间[1,2]分成n 等份，每个小区间的长度Δx ＝1n ，在[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上任取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，所以f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，从而∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2＋i －1n ·1n＝2n ＋⎝⎛⎭⎫2＋1n ·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫2＋n －1n ·1n ＝2＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ， ∴⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n→＋∞∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫2＋n －12n ＝52. 18．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：。

2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习2-2-1 Word版含答案]

选修2-2 2.2.1一、选择题1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .故选B.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b .故选A. 3．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17[答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.4．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18 B.14 C.12D ．1 [答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12.5．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2ba＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.6．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C.故选D.7．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( ) A.5－12 B.5＋12C.5±12D.1＋32[答案] A[解析] 设三内角为A ，B,90°，依题意，sin 2B ＝sin A (∠A 最小)，sin B ＝cos A . ∴cos 2A ＝sin A ，即1－sin 2A ＝sin A ， ∴sin 2A ＋sin A －1＝0. ∴sin A ＝5－12.故选A.8．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2[答案] C[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0知b 2＋c 2－a 2<0，∴a 2>b 2＋c 2.故选C.9．已知实数a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)2＋(b ＋1)2的范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤92，5 B.⎣⎡⎭⎫92，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤0，92 D ．[0,5] [答案] A[解析] 用数形结合法求解．a ＋b ＝1，a ≥0，b ≥0表示线段AB ，(a ＋1)2＋(b ＋1)2表示线段上的点与点C (－1，－1)的距离的平方．如下图∴|CD |2≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤|AC |2，即92≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤5.故选A. 10．已知x ∈(－∞，1]时，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D ．(－∞，6)[答案] B[解析] 原不等式化为a －a 2>－1－2x 4x，即a 2－a <1＋2x 4x ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x.当且仅当a 2－a <⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ，原不等式在(－∞，1]上恒成立，又因为⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x为减函数，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ＝34. 因此a 2－a <34，解得－12<a <32.故应选B.二、填空题11．设p ＝2x 4＋1，q ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵p －q ＝2x 4＋1－(2x 3＋x 2)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，又2x 2＋2x ＋1恒大于0，∴p －q ≥0，故p ≥q .12．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是________________．[答案] f (3.5)<f (1)<f (2.5)[解析] 由已知f (x )关于x ＝2对称，又f (x )在(0,2)上是增函数， ∴结合f (x )图象得f (3.5)<f (1)<f (2.5)．13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．[答案] 12≤a ≤32[解析] 由|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1 由题意知⎝⎛⎭⎫12，32a －1，a ＋1)则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32，解得12≤a ≤32.14．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] 法一：∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0∴a ＝1.法二：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即f (0)＝a (20＋1)－220＋1＝0，∴a ＝1. 三、解答题15．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab . [证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立．展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，a ≠b ，可以推导出下列不等式： (a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2＋b 2>2ab 另一方面从求证出发找充分条件如下： a ＋b2>ab ⇐a 2＋2ab ＋b 2>4ab ⇐a 2＋b 2>2ab . 故a ＋b2>ab . 16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .17．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cosx 1＋x 22，即证12·sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x 1＋x 2∈(0，π)． ∴sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0. ∴只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， ∴cos(x 1－x 2)<1显然成立． ∴原不等式成立．18．已知：a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.[证明] (1)∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝1. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.① 又2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ca ≤c 2＋a 2， ∴2ab ＋2bc ＋2ca ≤2(a 2＋b 2＋c 2)．∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)．又由①可得a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca .∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a＋b＋c)＝3. ∴(a＋b＋c)2≤3.∴a＋b＋c≤ 3.。

高二数(人教B)选修2-2同步练习1-1-1 Word含答案

选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( )A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －1C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx ＋2[答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x 、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________．[答案] 6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________． [答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π.因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s.(2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt＝12m/s.。

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选修2-2 1.4.1
一、选择题
1．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；
②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡
⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡
⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦
⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．
其中正确结论的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] 用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.
2．下列积分值等于1的积分是( )
A.⎠⎛0
1x d x B.⎠⎛0
1(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x
D.⎠⎛0
112d x [答案] C
[解析] ⎠⎛0
11d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.
3．设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则
⎠⎛
a
b f(x)d x是()
A.lim
n→＋∞∑
i＝0
n－1
f(ξi)
B.lim
n→＋∞∑
i＝0
n－1
f(ξi)·
b－a
n
C.lim
n→＋∞∑
i＝0
n－1
f(ξi)·ξi
D.lim
n→＋∞∑
i＝0
n－1
f(ξi)·(ξi＋1－ξi)
[答案] B
[解析]由定积分的定义可知B正确．
4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若
⎠⎛
1f(x)d x＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为()
A.
3 3
B.
3 2
C.
3 4
D．1
[答案] A
5．下列命题不正确的是()
A．若f(x)是连续的奇函数，则
⎠⎛a－af(x)d x＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则
⎠⎛a－af(x)d x＝2⎠⎛
a f(x)d x
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则
⎠⎛
a
b f(x)d x>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且
⎠⎛
a
b f(x)d x>0，则f(x)在[a，b]上恒正
[答案] D
[解析]对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确，对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确，C显然正确．D选项中f(x)
也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.
6．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )
A ．f (x )的值变化很小
B ．f (x )的值变化很大
C ．f (x )的值不变化
D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小
[答案] D
7．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．(
) A ．f ⎝⎛⎭⎫1n
B ．f ⎝⎛⎭⎫2n
C ．f ⎝⎛⎭⎫i n
D ．f (0)
[答案] C
8．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( )
A ．只能是左端点的函数值f (x i )
B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])
D ．以上答案均不正确
[答案] C
9．设连续函数f (x )>0，则当a 0，
∴曲边梯形在x 轴上方，
∴⎠⎛a
b f (x )d x >0.故选A.
10．下列式子中不成立的是( )
A ．∫2π＋a a sin x d x ＝∫2π＋
b b cos x d x B ．∫π20sin x d x ＝∫π2
0cos x d x C.⎠⎛0πsin x d x ＝⎠⎛0
πcos x d x D.⎠⎛0π|sin x |d x ＝⎠⎛0
π|cos x |d x [答案] C
[解析] 由y ＝sin x ，x ∈[0，π]，y ＝cos x ，x ∈[0，π]的图象知⎠⎛0πcos x d x ＝0，⎠⎛0πsin x d x >0.故选C.
二、填空题
11．定积分⎠⎛2
43d x 的几何意义是________． [答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积
12．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．
[答案] ∫2π0|sin x |d x
13．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛a
b 6f (x )d x 等于________． [答案] 36
14．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛a
b f (x )d x 等于________． [答案] 8
三、解答题
15．利用定积分的几何意义求：
(1)⎠⎛2－24－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x . [解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222
＝2π. (2)∵被积函数为y ＝
1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14
π. 16．求⎠⎛0
1x 3d x 的值． [解析] (1)分割
0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n
＝1. (2)求和
⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n .
＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1
n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2
. (3)取极限
lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14
. ∴⎠⎛0
1x 3d x ＝14. 17．用定积分的定义计算⎠⎛1
2(1＋x )d x . [解析] 将区间[1,2]分成n 等份，每个小区间的长度Δx ＝1n
，在[x i －1，x i ]＝⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上任取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，所以f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝
1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫2＋1n ·1n ＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫2＋n －1n ·1n ＝2＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ， ∴⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n →＋∞
∑i ＝1n
f (ξi )Δx ＝lim n →＋∞ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋n －12n ＝52.
18．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
[解析]由曲线所围成的区域图形可知：。