武汉理工大学工程力学B5章

最大扭矩在AD段：Tmax=1337N·m 382 764
MD
MA
x
－
显然，第一种放置方式较合理。
1337
➢图5-10（d）
例5-8 试作扭矩图。
t=2M/l 1
解： 1.建立如图坐标系
M
1M
l
t=2M/l 1 T1
M
1
x
T/N·m M
2.计算1-1截面的内力 ①截 ②代 ③平
Mx 0
T1 M tx 0
❖用假想截面取出 ➢ 3. 受力分析
❖外力同刚体 ❖内力用未知力代替（拉压杆——轴力） ➢ 4. 列平衡方程 ➢ 5. 解方程 ➢ 6. 作出内力图
例5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面1-1，
2-2，3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1
2
3
4kN 5kN
1kN
2kN
x
A
B
➢ 取节点为研究对象。 ➢ 平面汇交力系 ➢ 可求出全部杆件的内力
F4
F1
F2
F3
例5-4
用节点法求图示桁架的内力。
A
a/2 C E
a/2
B
D
P
a
a
❖ 零力杆
➢ 若节点上连有三根杆件，且其中两杆位于一直线上，且 节点上无外载，则第三杆为零力杆。
➢ 若节点上连有两根杆件，且节点上无外载，则两根杆均 为零力杆。
一、外力偶矩
M
N
m
P 9549 n kW
r min
二、横截面上的内力
m m
M
m
M
x
T x
M
m
Mx 0
TM 0
T M
杆件扭转的内力T ——扭矩(正负向如图）
扭矩计算方法
➢ 计算外力偶矩 ➢ 取截面受力分析、列方程、解方程 ➢ 内力图
例题5-7： 传动轴。转速n = 300r/min，输入功率PA =
1
ρgAx O
1
x
FN1 gAx
其中： 0 x l
2
O
x
3.计算2-2截面的内力
x
FN2
F gAl
Fx 0
FN 2 F gAx 0
22
FN 2 F gAx
F gAl 2
gAl 2
ρgAx
x F
其中： l x l
2
O
FN
O
4.轴力图
二、平面简单桁架
桁架类型
平行弦桁架
y
10 kN 30 kN m
FAx
x
A
FAy A
CD 3m
6m
B FNB 8 kN 6m
10 kN
30 kN m M
CD
6m
3m
FS
x
DB段： 9＜x＜15
FAy 10 FS (x) 0 FS (x) 2kN M (x) 30 10 (x 6) xFAy 0
M ( x) (30 2x) kN m
折弦桁架
三角形桁架
拱式桁架
联合桁架
三、理想桁架
1. 计算模型
各杆都是直杆，轴线过节点 节点处均为光滑铰链连接 所有外力都作用在节点上
2. 受力特点
各杆皆为二力杆，只受轴向拉压 各节点处受汇交力系作用
3. 计算方法
取分离体 受力分析（先判断零力杆） 列平衡方程 解方程
❖ 节点法
工程力学
1
第五章 变形体的平衡和杆件内力分析
§5-1 可变形体的平衡条件和内力 §5-2 拉压杆的内力 §5-3 轴的内力计算 §5-4 梁的弯曲内力 §5-5 利用微分关系作剪力图和弯矩图·叠加法作 弯矩图 §5-6 复杂载荷作用下杆件的内力
第五章 变形体的平衡和杆件内力分析 §5-1 可变形系统的平衡条件和内力
FN/kN
FN1 F 10kN FN 2 F 10kN FN3 2F 20kN
3
FN/kN
2
1
2F
F=10kN
2
1
10
x
20 10
10
10
x
*截面变化对轴力无影响*
例5-3 画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，横截面面积为A，密度为
ρ。
x
x 解：
x
F gAl
1.建立如图坐标系
FN
2.计算1-1截面的内力
力偶矩。
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
2.剪力、弯矩的正负号
（1）截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺 时针转向时，剪力为正；反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
（2） 截面上的
弯矩使得梁呈凹形为 正；反之为负。
+
_
左顺右逆为正；反之为负
3. 计算方法 ➢计算支座反力
❖一般取整体为研究对象，利用平衡方程
轴向拉伸或压缩变形
受力特点：合力作用线与杆轴线重合引起的。
拉伸
压缩
变形特点：杆件沿合力方向伸长或缩短， 主要变形是长度的改变
§5-2 拉压杆的内力
m
F
F
x
m m
F
FN
x
m
Fx 0
FN F 0
FN F
拉压杆的内力FN ——轴力
1.正负规定：拉正压负
2.轴力图
❖ 计算轴力的步骤
➢ 1. 建立直角坐标系 ➢ 2. 取分离体为研究对象
例题5-10：简支梁。截面法作FS 图，M 图。
解：3、作剪力图和弯矩图
AC段：0＜x＜6
y
10 kN 30 kN m
x
FAx
FS ( x) 8 kN M ( x) (8x) kN m
FAy A
CD 3m
6m
B FNB 6m
CD段：6＜x＜9
Fs / kN
FS ( x) 2 kN
8
M ( x) (60 2x) kN m
M ( x) xFAy 0 M ( x) 8x kN m
例题5-10：简支梁。截面法作FS 图，M 图。
解： 2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方
程，求Fs、M。
y
10 kN 30 kN m
x
FAx
FAy A
CD 3m
6m
B FNB 6m
10 kN
6m
M
A
C
x
FS
FAy=8 kN
42kW，输出功率PB = PC = 12kW，PD = 18kW。画扭矩
解图：4。、作扭矩图：
T/N m
573
+
382
－
764
x
最大扭矩在CA 段：Tmax 764 N m
➢图5-10（c）
改变主、从动轮的位置，则 M B
MC
轴的扭矩分布也将改变。如：主
动轮安装在轴的右侧。
T /N m
AD段内力变化。
镗刀杆 F
4.静定梁的基本形式
FAx FAy
FAx
FAy
FB
FAx FAy MA
简支梁
FB
外伸梁
悬臂梁
5.超静定梁
FAx FAy MA
输气管线
FBx FBy MB
FAx FAy MA
管架梁结构
FB
二、内力分量——剪力、弯矩
1. FS剪力——平行于横截面的内力合力。 M 弯矩——垂直于横截面的内力系的合
1
21
2
常见弯曲构件截面
对称弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
一、受弯杆件的简化
1. 杆件的简化： 用轴线表示实际的梁。
2. 载荷的简化： 横向集中力 横向分布力 集中力偶
3. 支座的简化
固定铰支座 可动铰支座 固定端
行车简化
q 均布载荷
F 集中力
11
11
l
ρgAx
x
O
O
F
F
Fx 0
FN F gAx 0
F
O
FN F gAx
FN
其中： 0 x l
3.轴力图
例5-3 画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，横截面面积为A，密度为ρ。
x
x 解：1.建立如图坐标系
22
2.计算1-1截面的内力
FN1
Fx 0
FN1 gAx 0
lF 1 1 l/2
随外力产生或消失 随外力改变而改变
但有一定限度
三、内力的计算方法
截面法
根据空间任意力系的六个平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
求出内力分量
刚化原理 ——变形体在某一力系作用下处于平衡状态，
若将其视为刚体，其平衡不受影响。
计算步骤：
1、截开 2、受力分析
3、平衡
➢ 若节点上连有两根杆件，外载作用线沿其中一根杆的轴 线，则另一根杆为零力杆。
F
例5-5 指出桁架中的零力杆。
（a）
（b）
❖ 截面法
➢ 选取一个截面，将整个桁架截开，将要求解内力 的杆件截断，然后取其中一部分为研究对象。
➢ 平面一般力系 ➢ 求解指定杆件的内力
F1 F2
F3
例5-6
用截面法求图示桁架指定杆的内力。
一、可变形系统
刚体系统 物体系统
可变形系统
二、外力和内力
1、外力：其它物体对构件作用的力。例如支座约束力， 荷载等。
2、内力：固有内力——分子内力，它是由构成物体的 材料的物理性质所决定的。
附加内力——由于外力作用而引起的受力构件 内部各质点间相互作用力的改变量。
工程力学研究----附加内力 （简称内力）
T1 M tx 2M
T1 M l x
3.作扭矩图
x
M
例5-9
作图示钢轴的扭矩图。
M1=2kN·m，M2=4kN·m，mx=0.5kN·m/m，其中长度
单位为m。
M1
mx
M2
x
O
0.3
0.3 0.4
0.5
作业
❖3.1 ❖3.2
吊车梁
行车
电葫芦
镗刀杆
§5-4 梁的弯曲内力
❖ 梁——主要承受弯曲变形的杆件。
➢取截面受力分析（分段）
❖需要建立坐标系
➢列方程 ➢解方程 ➢画内力图
例题5-10：简支梁。截面法作FS 图，M 图。
解：1、建坐标系，画受力图，列平衡方程求支反力
y
10 kN 30 kN m
A
CD
3m
6m
6m
y x FAx
B FAy A
10 kN 30 kN m CD
x
B FNB
MA 0, 30 106 FNB 15 0 FNB 2kN Fx 0, FAx 0 Fy 0, FAy FNB 10 0 FAy 8kN
例题5-10：简支梁。截面法作FS 图，M 图。
解：2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，
求Fs、M。
y
10 kN 30 kN m
FAx
x
FAy A
CD 3m
6m
B FNB 6m
M A
x
FS
FAy =8 kN
AC 段： 0＜x＜6
FAy FS ( x) 0 FS ( x) 8kN
CD 段： 6＜x＜9
FAy 10 FS (x) 0 FS ( x) 2kN
M (x) 10 (x 6) xFAy 0
M ( x) (60 2x) kN m
例题5-10：简支梁。截面法作FS 图，M 图。
解： 2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方
程，求Fs、M。
F1=3kN，F2=2kN，a=3m，求杆BC，GF，BF的内力
F2
F1
F
F1
G G
30o 60o 60o 60o
60o 30o
D
A
B
C
a
a
a
作业
❖1.1
受力特点： 大小相等、转向相反，且作用面垂直于杆件轴线。 变形特点： 杆件的任意两个横截面绕轴线发生相对转动。
§5-3 轴的内力计算
❖ 轴——主要承受扭转变形的细长杆件。 ❖ 扭转变形——杆件的横截面绕轴线产生转动。
D TⅢ MD
BC 段：T1 M B 0, T1 M B 382 N m
CA 段：T2 M B M C 0, T2 M B M C 764 N mMB
MC TⅡ
AD 段：M D T3 0, T3 M D 573N m
➢图5-10（b）
例题5-7：传动轴。转速n = 300r/min，输入功率PA =
C
D
解：
1
2
1.建立如图坐标系
3
3.计算2-2截面的内力
2.计算1-1截面的内力
①截 ②受 ③平
①截 1 ②受 ③平
1kN
FN1
x
1kN
2
4kN
FN2
x
A
1
Fx 0
FN1 1 0 FN1 1kN
A
B
Fx 0
2
FN 2 4 1 0 FN 2 3kN
例5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面1-1，
2-2，3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1
2
3
4kN 5kN
1kN
2kN
x
3
A
B
1
C
D
2
3
FN3
2kN
解：4.计算3-3截面的内力
或：
x
①截 ②受 ③平
3
4kN 5kN
1kN
FN3
x
D
3
Fx 0
2 FN3 0
FN 3 2kN
A
B
Fx 0
C
3
FN3 5 4 1 0
FN/kN
1
2
x
FN 3 2kN
5.轴力图
3
例5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
3
3F
2
1
2F
3.计算2-2截面的内力
F=10kN x FN2 2 2F
F=10kN x
3
2
1
解：1.建立如图坐标系
2.计算1-1截面的内力 1
FN1
F=10kN x
2
Fx 0
F 2F FN 2 0 FN 2 F 10kN
DB段：9＜x＜15 FS ( x) 2 kN
O
M / kN m 48
42
2 x/m
4.计算3-3截面的内力
3 3F FN3
2F
F=10kN x
1
3
Fx 0
F FN1 0
FN1 F 10kN
Fx 0
F 2F 3F FN3 0 FN3 2F 20kN
例5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
3
3F
2
1
2F
F=10kN x
3
3
2
1
解：5.轴力图
42kW，输出功率PB = PC = 12kW，PD = 18kW。画扭矩
解：1图、。建立坐标系：
2、先计算外力偶矩：
MB
MC
MA
MA
9549PA n
1337N
m
MD
x
MB
MC
9549PB n
382N
m
B
Hale Waihona Puke Baidu
C
A
➢图5-10（a）
MD
9549PD n
573N m
3、再用截面法计算各段扭矩：
MB TⅠ