条件平差

N aa
2 0 P 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 2 0 0 1.5
2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 5 1 1 T AP A 0 1 0 1 2 1 0 1 2.5 1.5 0 1
3 V QAT K 3 3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3
条件平差的概念与平差模型：
条件平差法是在满足r个条件方程要求下， 根据最小二乘原理VTPV=min，按求函数的 条件极值的方法，求出观测量的改正数V， 进而求出观测的最或然值（平差值）。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A
h1
C
E
h6
h7 h2 h5 h3
G
h4
F
B
D
t C r n t 8 4 4
A h6
条件观测平差 4
h 6 h5 h 7 0 h1 h 3 h 6 0 h 3 h 2 h 4 0 h 4 h8 h 5 0
几个概念：
t个必要观测元素间不存在函数关系；
当存在多余观测，且n个观测值中包含t 个必要观测元素时，观测值间可建立函 数关系。 一个几何模型中有r个多余观测，则在n个 观测值间可产生r个条件方程。
确定三角形的形状
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
一个几何模型中有r个多余观测，则在n个观测 值间可产生r个条件方程。
L1 L2 L L n
W1 V1 W2 V2 W , V W V r r
a10 a20 A0 a ro
ˆ A 0 A L 有： → 0 AV W 0 r , n n ,1 r ,1
r ,1
r .nn.1 T r .1
r ,1
V PV min
根据最小二乘原理，按求函数极值的拉格朗日乘 数法，设 k=(k1,k2,…,kr)T，称为联系数向量（拉格 朗日乘数），组成函数
V T PV 2K T ( AV W )
检核！
例：图中, A, B为已知水准点，其高程 为：H A 12 .013 m, H B 10 .013 m。 为了确定 C , D点的高程，观测了四段 高差 高差观测值与水准路线 的距离如下：
h1 1.004 m, S1 2km, h2 1.516 m, S 2 1km h3 2.512 m, S 3 2km, h4 1.520 m, S1 1.5km 求C和D点高程的平差值。
一）水准网：t=p 或t=p-1
t 3 C r n t 7 3 4
h1 h 2 h3 ( H C H A ) 0 h1 h6 h7 ( H B H A ) 0 h7 h5 h 4 ( H D H B ) 0 h 2 h5 h6 0
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
闭合差或 不符值
设：
a11 a12 a21 a22 A a a r1 r2
ˆ1 L ˆ2 L ˆ L L ˆ n
a1n a2 n arn
K N W 1 2.5 4 1.74
1 aa
条件观测平差 5 1 0 0.35
1
A
h1
h4 C
D
h3
0 2 1 0.7 h2 1 1 1 0 . 35 1 . 4 V P 1 AT K (m m) 2 1 0 1.74 0.7 1.5 0 1 2.6
13
B
C
3k 9 0 k 3
N AA AQAT 3
V QAT K 3 3 3
31 T
A 1 1 1 , W 9
11
33
PI
ˆ L 1 L1 v1 421217 ˆ L v 780906 L 2 2 2 ˆ L v 593837 L3 3 3
例题

对三角形三个内角作同精度观测，得观测值： A L 421220, L 780909, L 593840
1 2 3
，试按条件平差求三个内角的平差。
n 3, t 2, r 1
L 3 L 1 L 2
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 1 2 3 L1 v1 L2 v2 L3 v3 180 0 v1 9 0 1 1 1 v 2 v3
n ,1 n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
A
h1
h4
C
D
h2
h3
B
解: n=4,t=2,r=2 列两个条件方程式：
ˆ h ˆ h ˆ H 0 HA h 1 2 3 B ˆ h ˆ 0 h
2 4
v1 v 0 1 1 1 0 2 0 1 0 1 v 4 0 3 v4
条件方程个数等于多余观测数r＝n-t，n为 观测值总数，t为要观测数。
二、条件平差原理
对某一平差问题，有n个观测量L，t个必要观测 值，多余观测量为r。 在Li间建立 r 个平差值线性条件方程：
ˆ1 a12 L ˆ2 a1n L ˆn a10 0 a11 L ˆ1 a22 L ˆ 2 a2 n L ˆn a20 0 a21 L ˆ1 ar 2 L ˆ2 arn L ˆ n ar 0 0 ar 1 L
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x

L2
条件观测平差
L3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3
ˆ L V L i i i
L1
N aa
1 AQAT 1 1 11 3 1
1 K Naa W 3
检核
4201217 ˆ L V 780 0906 L 590 3837
将Ф对V求一阶导数，并令其为零，得 d 2V T p 2 K T A 0 dV 两边转置：PV=ATK， 得改正数V的计算公式为 V=P-1ATK=QATK 改正数方程 条件平差的 AV W 0 由基础方程解出的V不 r .nn.1 r .1 r ,1 基础方程： 仅能消除闭合差，也必 T V QA K 能满足函数最小值条件。
W1 a 11L1 a 12 L 2 a 1n L n a 10 W2 a 21L1 a 22 L 2 a 2n L n a 20 Wr a r1L1 a r2 L 2 a rn L n a r0
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
B
Βιβλιοθήκη Baidu
ˆ 1.0047 h 1 ˆ h2 1.5174 ˆ L L V ( m) ˆ h3 2.5127 h ˆ 1 . 5174 4
ˆ 11.0083 HC H A h m 1
第六章
条件平差
§6-1 条件平差原理
一、引例：按条件平差法求观测内角的平差值。
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
拉格朗日乘数法(Lagrange Multiplier)
目的：将等式约束的条件极值转化为无条件极值进行求解。
定义：寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方 法。将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题，转换为一 个有n+k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。 增加的k个变量未知数称为拉格朗日乘数，也称为联系数向量。
检核平差值满足条件方程
ˆ h ˆ 12.5257 HD H A h m 1 4
例：一条闭合水准路线，已知A点的高程为16.330m, 水准路线上有三个固定点1， 2， 3，高差与测站数如图示, 采用条件平差求各点高程的平差值。
h1=+1.596m n1=3
A
1 h2=-0.231m
h4=-5.642m n4=6
n2=4
2 h3=+4.256m n3=12
3

例：A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC、 AC的距离，得4个独立观测值：
l1 200.010m, l2 300.050m, l3 300.070m,l4 500.090m

若100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定4段 距离的平差值？
系数和常数项随不同平差问题取不同的值，它们与观测值无关。
ˆ L V L
建立条件方程：
a11V1 a12V2 a1nVn W1 0 a21V1 a22V2 a2 nVn W2 0 ar1V1 ar 2V2 arnVn Wr 0