6.3微积分学基本公式教案

教学要求
教学方法 教学手段 考核方式
1、微积分教学大纲、教学进度、规范教案、教学日历等要件； 2、微积分教材《微积分》 ，隋如彬，科学出版社 2012 年第二版； 3、参考书： 微积分原理及实验，王拉娣、刘振洁等编著，中国科学技术出版社； 微积分，朱来义，高等教育出版社； 教学参考 高等数学，同济大学，第五版； 资料 数学分析，华东师范大学，高等教育出版社； Calculus,Eight edition by Dale Varberg,Edwin Purcell etc. 4、微积分学习指导（经典丛书）
������
Байду номын сангаас证明从略
注 ：牛顿 - 莱布尼兹公式揭示了一个关系：一个连续函数在区间 [a,b]上的定积分等于它的一个原函数在区间[a,b]上的增量，使得 定积分的计算简捷方便。 例4
2 2 1 −2
������������ 1−������ 2
重点：
变上限积分函数，性质，熟练应用牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
证明从略 注：定理 6-3 具有极其重要的历史地位和极高的理论价值：
1、 证 明 了 函 数 f ( x) 在 区 间 [a, b] 上 连 续 , ， 就 一 定 存 在 原 函 数 ， 且
( x)

x
a
f (t )dt 就是 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数.
2、 它揭示了不定积分与定积分之间的本质联系，即若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,则：
积分变限函数。 记作 ∅ x =
������ ������
������ ������ ������������ x ∈ [a, b]
注：1.函数自变量是 x，t 为积分变量，两者应注意区别。
2.积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。 上式为积分变上限函 数的表达式，当 x 与 a 位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们 只讨论积分变下限函数即可。 3.从几何上看， 这个积分上限函数 Φ(x)表示区间[a， x]上曲边梯形的面积． （如 右图）积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它 是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。
������
= −
������
������ ������ ������������
= −������(������)
2、（
������(������) ������ ������(������) ������
������ ������������)′ = ������(������ ������ )������′(������) − ������(������(������))������′(������)
������
������ ������ ������������ =
������
������ ������ ������������ + ������ x ∈ [a, b]
3、 它解释了求导运算与求变上限积分运算为互逆运算 例 1������������
������ ������ 0
1 + ������ 2 ������������
教学 重点 难点
难点： 1、变上限积分函数，性质 2、牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的条件
讨论 练习 作业
六、习题： 习题 6.3（全部都做）
参考 资料
5、微积分教学大纲、教学进度、规范教案、教学日历等要件； 6、微积分教材《微积分》 ，隋如彬，科学出版社 2012 年第二版； 7、参考书： 微积分原理及实验，王拉娣、刘振洁等编著，中国科学技术出版 社； 微积分，朱来义，高等教育出版社； 高等数学，同济大学，第五版； 数学分析，华东师范大学，高等教育出版社； Calculus,Eight edition by Dale Varberg,Edwin Purcell etc. 8、微积分学习指导（经典丛书）
教学 方法 一、引语
课堂讲授，启发式教学，课堂讨论， 研究性教学，提问式教学、师生互动等。
积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题, 我们在第 四章中已经对它做了讨论； 第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按 定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的 有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与 定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念 . 但是 , 牛顿和莱 布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系 . 即所 谓的“微积分基本定理”, 并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿莱布尼茨公式 . 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微 积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.
分析：所给函数是变上限积分函数，自变量在积分上限 解：
������ ������ ������������ 0
1 + ������ 2 ������������ = 1 + ������ 2
注意体会公式特征，灵活运用
注：1、理解定积分的特征性质有：
������ ′ ������ ′
������ ������ ������������
例 2 求������������
������������������������ ������������(������ + ������������ )������������ ������������
学生自己课堂练习，老师总结
例 3 求极限������������������������→������
课程名称 课程性质 微积分（二） 公共通识课 学分 4 总计：64 学时 讲课：64 学时 实验：0 学时
教学目的
培养学生量化分析问题的思想、经济数学建模的意识和逻辑思维能力；掌握 基本的数学知识，为后续经济与数学课程提供必备知识； 比较系统地理解微积分基本概念和基本理论，掌握微积分的基本方法；并在 教学过程中，培养学生的“五种能力” ：抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想 象能力、基本运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，研究性教学，提问式教学，师生互动相 结合 多媒体教学与传统讲授相结合 闭卷考试
教学 后记
注：一个教学单元是指一次课(2-3 学时)
2、微积分学基本定理
定理 6-3 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,则函数
( x)

x
a
f (t )dt
在[a, b]上可导，且 ∅‘ x = （
������ ������
������ ������ ������������)′ = f x ,也就是 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数.
������ ������ ������−������ ������������ ������������������������ ������������
二、 微积分学基本公式 定理（牛顿 - 莱布尼兹公式）如果 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b]上的一个原函数,则
������
������ ������ ������������ = ������ ������ − ������(������)
章节 名称 授课 方式 教学 目的
CH6 定积分及其应用 第 6.3 节微积分学基本公式
课堂面授，多媒体技术综合；课后 qq 群答疑
教学 时数
2-3 课时
使学生： 理解变上限积分函数，性质，熟练应用牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
教学 要求
1、 要求学生理解变上限积分函数，掌握变上限积分函数重要性质 2、 灵活使用变上限积分函数重要性质 3、掌握牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的条件和结论 4、通过举例引导学生理解不定积分与定积分之间的本质联系
教学 内容
二、微积分学基本定理 1、变上限积分函数
设函数 f(x)在区间[a,b]上连续，并且设 x 为[a,b]上的一点，考察下面函数： 如果上限 x 在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分
������ ������
������ ������ ������������
有唯一确定的对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是
注：1.课程性质：思想政治理论课、公共通识课、学科共同课、专业必修课、专业选修课、公 共选修课、跨专业选修课、实验课等。 2.教学方法：课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，案例教学，研究性教学，当堂测试，提 问式教学，课程论文，课程设计，学生讲授，师生互动等。 3.教学手段：多媒体教学，传统讲授，网络教学，远程教学，VCD，录相等。 4.考核方式：闭卷考试，开卷考试，课程论文，课程设计，科技作品，课堂答辩等。 教学单元 时间 年月日第节
附件 4
教案模板
山西财经大学 教案
课 程 名 称 微积分（一） 课 程 代 码 适 用 专 业 经济、管理各专业； 开 课 时 间
2014 年 9 月* 日第 5 周至第 16 周
授 课 班 级 微积分公选班 主 讲 教 师 职 称
使 用 教 材 微积分（经管类） ；隋如彬主编
二○一四年六月
教案（扉页）