“数字黑洞”及其简易证明

“数字黑洞”及其简易证明

近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问

题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网

上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它

们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了

较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书

报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光

“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数

字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就

来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.

问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非

常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”

出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运

算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数

的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T

＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分

析，你一定能发现它的奥秘！

分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++，

接下去又是153，于是就陷在“153153−→−F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这

个循环中了。

再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：

1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F

F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−F ”这个循环中。随便取

一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到

“153153−→−F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想

“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此

呢？

西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第

21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网

拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一

奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数

学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨.

以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：

1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有()()()k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310

又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，

所以 k 310＜143101010--=⨯k k 即()()k x x x F n F 21=＜110-k ，也就是对于5位以上的

整数，每做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收

缩到五位以下.

2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n 的“黑洞”是否存在的问

题，于是问题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证不存在

“黑洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不确定性和无

法预测性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进

“153153−→−F ”这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.但是，

因为我们所要验证的数字的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有限步（如果

不出意外的话），所以我们完全可以让计算机来完成这有限步的验算工作.

对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一个简

单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数进行一一

验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后无一例外地都

会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”的证明范例吧！

问题2：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶数

字个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成下一个

数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得

123.于是123就是一个数字黑洞.

原帖地址：/bbs/thread-679-1-1.html

黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光

也不能逃脱出来。数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整

数出发，反复迭代后结果必然落入一个点或若干点。数字黑洞运算简单，结论明了，

易于理解，故人们乐于研究。但有些证明却不那么容易。

任取一个数，相继依次写下它所含的偶数的个数，奇数的个数与这两个数字的

和，将得到一个正整数。对这个新的数再把它的偶数个数和奇数个数与其和拼成另外

一个正整数，如此进行，最后必然停留在数123。

例：所给数字 14741029

第一次计算结果 448

第二次计算结果 303

第三次计算结果 123

编写程序：从键盘接收任意整数，打印出分解的步骤。

法1：

#include

#include

#define N 1000

int main(void)

{

char ch[N],*p;