导数的概念及运算复习讲义

导数的概念及运算

要点梳理

1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率

函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为______________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y ＝f (x )在

x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝________________. (2)几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________． 3．函数f (x )的导函数

称函数f ′(x )＝____________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．

5.导数运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝__________ (g (x )≠0)． 注意：

1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；

(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．

2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

基础自测

1．(课本改编题)f ′(x )是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．

2．(课本精选题)如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是 y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.

4．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于

3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．

5．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1

2

，则切点的横坐标为( )

A ．－3

B ．2

C ．－3或2 D.1

2

题型分类

题型一 利用导数的定义求函数的导数

例1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 探究提高 求函数f (x )平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)；

②计算平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.

解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了． 变式训练1利用导数的定义求函数的导数：

(1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1

x ＋2.

题型二 导数的运算

例2 求下列各函数的导数：

(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝

⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；

(3)y ＝x －sin x 2cos x

2；(4)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭

⎫1x －1.

探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

变式训练2求下列各函数的导数： (1)y ＝x ＋x 5＋sin x

x 2

；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(3)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋1

1＋x ； (5)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x .

题型三 导数的几何意义

例3 已知曲线y ＝13x 3＋4

3

.

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．

探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．

(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

变式训练3已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值． 审题路线：

试题：设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值． 审题路线图 C 1与C 2有交点

↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)