复数的概念与运算

复数的概念与运算

【知识点精讲】

1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）.

2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类：

()⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),(

NZQRC

3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ⇔a=c,b=d ；a+bi=0⇔a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；

4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）；

5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )=

2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）.

复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.

【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）i

i 3232-+. 解：（1）i 5

452+-

；（2）i 56251+-. 例2 已知z 是复数，z+2i 、

i

z -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1，解答略。

例3设复数z=lg(m 2–2m –2)+( m 2+3m+2)I ，试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数；（2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限.

优化设计P222典例剖析例2，解答略。

例4 设z ∈C ，求满足z+z

1∈R 且|z –2|=2的复数z. 优化设计P222典例剖析例3，解答略。

例5 已知z 1= x 2+i x 12+，z 2=（x 2+a ）i 对于任意x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a

的取值范围.

优化设计P222典例剖析例4，解答略。

【课堂小结】

1． 理解并掌握复数的有关概念；

2． 掌握并会运用复数的运算法则.