14样本与统计量、数据的简单处理

样本的方差
sX2
sY2 125.7 0.0126 10000 10000
样本的标准差 sX 0.0126 0.1122
数据的简单处理可利用MINITAB软件操作完成。
输入数据
平均数 中位数 众数 标准差 标准误 n
频数 频率 累计频数 累计频率
频数 频率 累计频数 累计频率
统计量
当我们不能完全掌握某一总体的分布函数时，只要掌握 了总体的某些数字特征（总体参数），就可基本上确定该总 体的分布，当总体参数也未知时，就只能依据样本对未知数 进行推断。通常我们利用样本构造出某种函数作为推断的基 础。这就是所谓的统计量。
统计量——
样本 X1, X2,......Xn 对应的不含未知参数的实值函数， 记作：f X1, X2,......Xn . 它本身也是一随机变量。它的分布
解：记题目所给数据为 xi i 1, 2,...5, 令 yi 102 xi 98
则 yi 的数值分别为：0, 3, 1, 13, -18.
y 1 0 3 113 18 0.2
5
sY2Leabharlann Baidu
1 4
0 0.22
......
18
0.22
125.7
所以样本的均值
x
y 98 100
y 98 0.978 100
前言
数理统计是应用广泛的一个数学分支， 它以概率论为理论基础，研究如何合理地获 得数据资料，建立有效的数学方法，根据所 获得的数据资料，来研究随机现象的规律性， 对研究对象的性质作出合理的估计和判断。
在这个课程里，我们学习数理统计学的 初步，主要讲述估计与检验等原理，线性回 归与方差分析等统计方法。
总体与样本
样本（子样）——
从总体中随机抽取出来的部分个体作成的集合。记为：
X1, X2,......Xn
注意到这里每个 Xi 因随机抽取而随机取值，所以也是 随机变量。抽样完成后得到的确切结果：
x1, x2,......xn 是n 维随机变量 X1, X2,......Xn 的一个观
察值。称为样本值或子样观察值。
1n n 1 i1
2
Xi X
通常作为总体 X 的标准差（均方差）的一个估计值。
数据的简单处理
数据整理（分组）——
（1）根据样本容量 n 确定分组数 k
一般地， 当 30 n 40 时， 5 k 6 当 40 n 60 时， 6 k 8 当 60 n 100 时，8 k 10 当 100 n 500 时，10 k 20
例1 从某班抽取10个男同学，测其身高如下（单位cm）：
175.5, 172, 168, 173, 172.5, 169, 169.5, 178, 171.5, 172.
试计算此样本的均值和方差。
解：记题目所给数据为 xi i 1, 2,...10, 令 yi xi 172
则 yi 的数值分别为：3.5, 0, -4, 1, 0.5, -3, -2.5, 6, -0.5, 0.
也可在此作图
数据的输入有时在 DOS 状态下较为方便
先点击Session 窗口，然后——
进入了Dos 状态
数据的简单处理
数据整理（分组）——
（4）计算各组频数和频率，作频数和频率分布表
频数 fi 指落在第 i 组的数据个数，频率为频数与总数据量
之比：wi
fi n
（5）作频率直方图
要把每一小组的频率用一小矩形的面积去表示，方法是：
以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标，以分组区间为 底，以频率/组距为高作一系列矩形。
（2）计算组距（一般采用等距分组，也可据实际情况分组）
组距等于比极差（原始数据中的最大值M与最小值m
之差）除以组数 k 略大的测量单位的整数倍。
如：M m 100 65 4.375 5 则取组距为 5。
8
8
数据整理（分组）——
（3）确定组限和组中点值 一般地，组的上限与下限应比数据多一位小数。这样可
62.5, 67.5 67.5, 72.5 72.5, 77.5 77.5, 82.5 82.5, 87.5 87.5, 92.5 92.5, 97.5 97.5,102.5
组中点值分别为：65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100
一般遵循“上限不在内”的原则
（解决实际问题时，也有出现开口组的情形）
要把每一小组的频率用一小矩形的面积去表示，方法是： 以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标，以分组区间为 底，以频率/组距为高作一系列矩形。
频率直方图示意图：
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述集中趋势的特征数——
样本均值——
X
1 n
n i 1
Xi
中位数——数据按大小顺序排列后位于中间位置的那个数。
称作抽样分布。
常用统计量
设 X1, X2,......Xn 是随机变量 X 的一个样本。
样本均值——
1n X n i1 X i
通常作为总体 X 的均值的一个估计值。
样本方差——
S2
1n n 1 i1
Xi X
2
估计量的 无偏性
通常作为总体 X 的方差的一个估计值。
样本标准差（均方差）—— S
y 1 3.5 0 4 1 0.5 3 2.5 6 0.5 0 0.1
10
sY2
1 9
3.5 0.12
......
0
0.12
8.99
所以样本的均值 x y 172 172.1
样本的方差
sX2
s2 Y 172
sY2
8.99
例2 设从总体中抽取一组观察值为 0.98, 1.01, 0.99, 1.11, 0.8. 试计算此样本的均值和标准差。
样本（子样）容量——
样本中所含的个体的数目。
总体与样本
为保证抽取出来的样本能够反映出总体的性质，要求 样本具有代表性，即每个 Xi 与 X 同分布；还要求具有独
立性，即 X1, X 2 ,......X n 是相互独立的。满足以上条件
的样本（子样）称作简单随机样本（子样）。
要获得简单随机样本（子样），对有限总体， 应作有放回的随机抽样，对无限总体或总体相当大 时，也可作无放回的随机抽样。
标准误——
n
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述分散程度的特征数——
四分位差Qd——满足
Qd
Q3 Q1 2
其中：
Q1为第 1 四分位数——满足 PX Q1 0.25
即当数据按大小顺序排列后排在第一个四分之一位的数。
Q3为第 3 四分位数——满足 PX Q3 0.75
计算样本均值和方差时，可利用均值和方差的性质 将数据化简后再运算。
保证每组所含的原绐数据不重叠。（可据实际问题另作要求）
设现有 50 个原始数据（均是整数），决定分作 8 个小组， 数据中的最大值是 100，最小值是 65 ，
则组距 100 65 4.375 5 组距 组数 840 100 65 35
取 a 62.5 m, b 102.5 M 得分组如下：
众数——样本中出现次数最多的那个数。
样本几何均值—— X g n X1X2...Xn
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述分散程度的特征数——
样本方差—— S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
样本标准差—— S
1n n 1 i1
Xi X
2
极差（全距）—— R M m