高中物理竞赛动量角动量和能量

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高中物理竞赛讲义-角动量

高中物理竞赛讲义-角动量

角动量一、力矩(对比力)1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向(1)二维问题sin rF τθ=注意,式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法:(类比求功的两种方法)(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中,力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

(2)三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩,一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩(对比冲量)1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果,是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量,方向与r 和F 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则,即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法(类比功和冲量这两个过程量的计算)三、动量矩(即角动量)(对比动量)1、角动量反映了物体转动的状态,是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量,方向与r 和v 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则四、角动量定理(对比动量定理)冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律(对比动量守恒定律)角动量守恒的条件:(满足下列任意一个即可)1、合外力为02、合外力不为0,但合力矩为0例如:地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0,每个瞬时合力矩也不为0,但全过程总的冲量矩为0例如:单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意:讨论转动问题一定要规定转轴,转轴不同结果也不同六、转动惯量(对比质量)1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点,转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后,角动量也可以表示为(类比动量的定义)l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律(即转动定理)(对比牛顿第二定律)合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表,不看讲义,将本章的知识点进行归纳总结例2、如图,质量为m的小球自由落下,某时刻具有速度v,此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点,且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

高中物理竞赛讲义-角动量

高中物理竞赛讲义-角动量

高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩(对比力)1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向(1)二维问题sin rF τθ=注意,式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法:(类比求功的两种方法)(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中,力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

(2)三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩,一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩(对比冲量)1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果,是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量,方向与r 和F 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则,即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法(类比功和冲量这两个过程量的计算)三、动量矩(即角动量)(对比动量)1、角动量反映了物体转动的状态,是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量,方向与r 和v 构成的平面垂直,遵循右手螺旋法则四、角动量定理(对比动量定理)冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律(对比动量守恒定律)角动量守恒的条件:(满足下列任意一个即可)1、合外力为02、合外力不为0,但合力矩为0例如:地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0,每个瞬时合力矩也不为0,但全过程总的冲量矩为0例如:单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意:讨论转动问题一定要规定转轴,转轴不同结果也不同六、转动惯量(对比质量)1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点,转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后,角动量也可以表示为(类比动量的定义)l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律(即转动定理)(对比牛顿第二定律)合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表,不看讲义,将本章的知识点进行归纳总结例2、如图,质量为m的小球自由落下,某时刻具有速度v,此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点,且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)

例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动,角速度分别为
:A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解:以两圆盘为系统,尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ,所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg= 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时,其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量,即 为
L1Lg=mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理:
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统,如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2,2
则该系统对该轴的角动量为:
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下,从 t0 t ,
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下,会发生超新星 爆发,这时星体中有大量物质喷入星际空间,同时 星的内核却向内坍缩,成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体,一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量!设某恒星绕自转轴每45天转一周, 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m , 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。

高中物理竞赛复赛专题:角动量及其守恒定律

高中物理竞赛复赛专题:角动量及其守恒定律

15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律





恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时,其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达; (2) 用力上爬者先到; (3) 握绳不动者先到; (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零,
故物体角动量守恒,得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB

vB

mvAd ml

4(m / s)
物体角动量: LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m,短半轴为 b = 7.72×106 m,周期 T = 114 min,近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。(1)证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量;(2)求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 (A)动量不变,对圆心的角动量也不变。 (B)动量不变,对圆心的角动量不断改变。 (C)动量不断改变,对圆心的角动量不变。 (D)动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1)角动量。 2)角动量守恒定律。 33)有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点,其角动量守恒。如行星 绕太阳运动,以及微观粒子中与此类似的运动模型,服从角动量守恒定律。

高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量

高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量

高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1.力矩(1)力对轴的力矩 力矩=力×力臂(2)力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。

大小 sin M Fr α=;方向 由右手螺旋定则确定。

2.角动量为了描述质点相对某一参考点的运动,可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。

从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。

L r p =⨯,大小 sin L pr θ=,方向 由右手螺旋定则确定。

动量矩又称角动量。

角动量是矢量,方向由右手螺旋定则确定。

3.冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量,引入冲量矩的概念。

力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。

4.质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。

21M t L L ⋅∆=- 。

质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。

L M t∆=∆。

5.角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点(简称定点)的力矩为零时,质点对该点的角动量守恒。

6.转动惯量 在经典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩,简称惯距)通常以I 或J 表示,SI 单位为kg·m 2。

对于一个质点,I =mr 2,其中m 是其质量,r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量,可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性,用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

7.描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量(动量矩)L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1.如图所示,质量为m的小球自由落下,某时刻具有速度v,此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点,且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。

高中物理奥林匹克竞赛——3章-动量与角动量(共78张ppt)

高中物理奥林匹克竞赛——3章-动量与角动量(共78张ppt)

系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
M
V
t 火箭体质量为 M 速度 V
t dt
M dM
喷出的气体dm
uV(VdV
dV )
u
根据动量定理列出原理式:
(M
dM
)(V
dV )
dm(u
V
dV )
MV
Fdt
假设在自由空间发射,
注意到:dm = - dM,
按图示,可写出分量式,稍加整理为:
t2
t2
写成: Fidt F外dt
i t1
t1
fi
mi
质点系 Fi
F外 Fi
i
将所有的外力
共点Fc1力相FF2加3
t2
t2
( Fidt fidt) (Pi Pi0 )
i
t1
t1
i
t2
再看内力冲量之和 fidt
i t1
同样,由于每个质点的受力时间dt 相同
两物体的速度,以及能上升的最大高度。
解:以物体A和B为系统作为研
究对象,采用隔离法分析受力, 作出绳拉紧时的受力图:
T2 T1
绳子刚好拉紧前的瞬间, 物体A的速度为:
v 2gh
Am h
取竖直向上为正方向。 m’ B
BA
m 'gr mg
绳子拉紧后,经过短暂时间的作用,两物体速率 相等,对两个物体分别应用动量定理,得到:
i 1
i1
i1
若某个方向上合外力为零,则该方向上动
量守恒,尽管总动量可能并不守恒
4. 动量若在某一惯性系中守恒,则在其它 一切惯性系中均守恒。
5.当外力<<内力且作用时间极短时(如碰撞) 可认为动量近似守恒。

高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)

高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)

i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算: I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒 轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒 轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘 轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为: 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动(即转
动)时,重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度,以及两边绳子中的张力。
一质量为m,速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ,在t=0时,使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为: 由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意:该定律不但适用于刚体,同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似 例 计算钟摆的转动惯量。 (1)分别隔离 和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度:
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同(角位移、角速度、角加速度)
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn

高中物理竞赛专题之力学专题(共206张PPT)

高中物理竞赛专题之力学专题(共206张PPT)

2

Rg
v2

qRB 2m


qRB 2m
2

Rg
可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方
v12 v2 v22
把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件
vv1122

v02 4Rg
4Rg v02

v22 v22

4Rg
(4)
但其中
v12

0
0
利用求根分解因式
v0

v0
1

v0

v0
2


0
解此不等式,得
v0
1

v0

v0
2
其中方程的两个根分别是



v0
ห้องสมุดไป่ตู้1

qRB 2m


qRB 2m
2

Rg

0

v0
2

qRB 2m


qRB 2m
2

Rg
题目给出初始速度v0>0的限制,因此初始速度满足的

m2 m1 m2
进而求出

sin
1


sin2
m2 (m2 2m1 ) m1 m2
rm

MR M m
MO


rM

mR Mm
(1)
整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作 用力是一对内力),因此动量守恒,求出质心的速度
(M
m)vC

mv0

2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义设计—第二章 动量、能量守恒:第一节 动量定理

2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义设计—第二章 动量、能量守恒:第一节 动量定理

2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第二章动量、能量守恒第一次课:2学时1 题目:§2.1 动量定理§2.2 动量守恒定律2 目的:1)掌握运动学描述的主要参量。

2)由运动方程求解。

一、引入课题:守恒定律是指一定的物理系统在一定的条件下某种物理量的总量始终保持不变的规律,因而是物质世界的基本规律,它们服从相对性原理。

物理量的转移和转化同一物理量可能具有不同的形式,如能量有动能和势能;某些物理量可以转移,如动量由一个物体转移到另一个物体;不同形式的物理量可以发生转化,如动能和势能的相互转化;物理量守恒表现为在某过程中该物理量的各种形式的总和保持不变,如机械能守恒、动量守恒。

守恒定律的应用①应用守恒定律无需知道运动过程中状态变化和相互作用的细节,便可表述系统变化过程中一些普遍的特征和规律,如“永动机”不可能制成。

②即使有关相互作用已知,守恒定律是简化、求解问题的有力工具。

一般在求解问题时,常常先应用相应的守恒定律,再去考虑应用别的定律和定理。

我们讨论动量、角动量和能量以及相应的守恒定律。

二、讲授新课:第二章 动量守恒 能量守恒§2.1 动量定理一、 动量 1 冲量力F (t )在dt 时间内的元冲量定义为d I =F (t)d t物体间相互作用的过程总是要经历一端时间,冲量描述力相互作用的时间积累效果。

讨论:元冲量是矢量,它的方向与力F 的方向相同单位:N ·S设在时间 内,有变力F 作用在物体上,我们把力F 对时间积分称为力的冲量。

用I 表示2 动量质点的动量 质量为m ,速度为v 的质点,其动量p 定义为 P =m v因v 是矢量,动量p 是矢量,对质点而言动量的方向与速度的方向相同;因v 是相对量,动量p 是相对量,在相对论中,m 也是相对量。

质点系的动量 由N 个质点组成的系统,系统的动量p 定义为该N 个质点的动量的矢量和,即1N i i i i ip p m v ===∑∑r r r质点系的动量p 是矢量,对质点系而言速度的方向没有明确的物理意义,一般也不沿动量的方向。

高二物理竞赛动量矩和角动量课件

高二物理竞赛动量矩和角动量课件

w

13 rad/s
利用平衡位置X0
R
v
θ
m
h
P
h
P
h
Q
h
Q
P
Q
O
在 P — Q 过程中机械能守恒
Q
h
Q
m
h
P
g
m
g
+
1
2
m
v
2
··· (1)
在 Q 点处脱离球面时,质点动力学方程为
··· (2)
m
v
2
cos
m
g
q
R
——对 z 轴的转动惯量
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
球体
细棒
细棒
——平行轴定理
——理想气体状态方程
对Mkg的理想气体
理想气体状态方程
若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃,而室内气压不变,则此时室内的分子数约减少了_____%
分子的平均平动动能
理想气体的温度公式
速率小结
三种速率小结
最概然速率
v
p
1
.
4
1
=
k
T
2
m
=
R
T
m
平均速率
v
1
.
6
0
=
R
T
m
=
k
T
m
8
p
方均根速率
a
A
F
b
a
d
r
h
b
E
p
初态势能
末态势能
E
p
系统势能增量的负值
变质量问题 微分形式 动量定律 动量守恒

高二物理竞赛课件:角动量

高二物理竞赛课件:角动量

gh2 /(R h)
m m
114k g
u
比较: p117
m mv u 120 kg
科学的低级单位错误
• 1999年,美国宇航局“火星气候探测者”号发现 它距离火星比科学家预测的近了60英里左右。这 不是因为时空关系出现了问题,而是因为在“火 星气候探测者”号开发中出现了文化冲突。美宇 航局科学家在计算中采用的是公制单位(如米和厘 米等),但提供导航软件的洛克希德-马丁公司的 工程师在研究中采用的却是英尺、英寸等英制单 位。结果,由于运行轨道总不稳定,耗资8000万 英镑建造的“火星气候探测者”号最终撞向火星 表面报销。
的质量m是多少? p117
分析:
G
mM m (R h)2
m
v02 Rh
g
G
mM R2
GmM gR2
B vB
R O
vA
v0
v
u
A
h
0 (m m)v + (m)R h) mvBR
1 2
mv
2 A
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
结果:
解:物体 的动能变化,物体在做离 小孔的距离不断缩小的螺旋线运动, 绳对物体的拉力方向与物体位移方 向小于90o,拉力作正功。
物体的动量变化,绳子拉力的冲量在改变物体的动量。
物体对小孔的角动量不变,这是因为物体受绳子拉 力的方向始终通过小孔(有心力),所以物体对小 孔的力矩为0。
Ex:绳系小球在重力场中的运动
一小球用长l的轻绳系于O点,然后将小球 移开使绳与竖直方向成角,并给小球一 个水平初速度v0,方向垂直于绳子所在铅 直面。如希望在运动过程中绳偏离垂线最 大角度为/2,试计算出(1)小球初速度 v0大小(2)小球到达偏角 /2时的速率v 是多少?

高中物理竞赛 动量 角动量和能量

高中物理竞赛 动量 角动量和能量

动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4.1. 1.动量在牛顿定律建立以前,人们为了量度物体作机械运动的“运动量”,引入了动量的概念。

当时在研究碰撞和打击问题时认识到:物体的质量和速度越大,其“运动量”就越大。

物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律,例如,在两物体碰撞过程中,它们的改变必然是数值相等、方向相反。

在这些事实基础上,人们就引用mv 来量度物体的“运动量”,称之为动量。

4.1.2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度,可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间,只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同,所产生的改变这个物体的速度效果就一样,在物理学中把F t ∆叫做冲量。

4.1.3.质点动量定理由牛顿定律,容易得出它们的联系:对单个物体:01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量,这就是质点动量定理。

在应用动量定理时要注意它是矢量式,速度的变化前后的方向可以在一条直线上,也可以不在一条直线上,当不在一直线上时,可将矢量投影到某方向上,分量式为:x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系,按照力的作用者划分成内力和外力。

对各个质点用动量定理:第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - M M第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律: 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到:1I 外+2I 外+ ……+n I 外=(t v m 11+t v m 22+……+nt n v m )-(101v m +202v m +……0n n v m )即:质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

高二物理竞赛课件:角动量 角动量守恒定律

高二物理竞赛课件:角动量 角动量守恒定律
球滑到点 B (任意角度 θ )时对环心 O 的角动量和角速
度。

小球受力
FN、
P
作用,
FN对O点的力矩为零,
重力矩垂直板面向里
M rF
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10/19
dL mgRcos dt
考虑到 d dt, L mRv mR 2
L mr 2 J
L
r
p
r
mv
L
o
p
m r
※ 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩,等于质点 对该点 O 的角动量随时间的变化率。
dp
F,
dL

dt
dt
质点角动量定理的推导,由
L
r
p
M
dL
dt
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt
Miin 0 ,
Miex
d dt
(
miri 2 )
d( J )
dt
M
d( J )
dL
dt
dt
Mdt dL
Mdt
dL
d
( J )
t2 t1
Mdt
J2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转 动物体角动量的增量——定轴转动刚体的角动量定理。
※ 非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
14/19
L2

高中物理竞赛辅导讲义-第4篇-动量

高中物理竞赛辅导讲义-第4篇-动量
i i i 1 n i 1
C
1 mC
m z
i 1
i i

1 质心速度、加速度、动量: vC mC
m v

i i
1 , aC mC
m a

i i
n , PC mC vC Pi 。 i 1
八、质心运动定理 质点系的质心运动和一个位于质心的质点的运动相同,该质点的质量等于质点系的总质量, 而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平行地移到这一点上。 n 1.质点系牛顿第二定律: (外力矢量和) F Fi mC aC
3.理解: (1)守恒条件:系统不受外力或所受外力的合力为零。要区分内力和外力。 (2)守恒含义:任一时刻系统总动量相同,不只是初末状态相同。 (3)系统性:指系统的总动量守恒,不是系统内每个物体的动量守恒。每个物体的动量 可以发生很大的变化。 (4)相对性:各物体的动量,都是同一惯性参考系(一般以地面为参考系) 。 (5)同时性:系统总动量是同一时刻各个物体的动量总和。
-2-
两小球碰撞之前的运动速度与两球心连线不在同一条直线上,碰撞之后两球的速度都 会偏离原来两球心的连线。这种碰撞称为非对心碰撞。 六、反冲 根据动量守恒定律,如果一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分,一部分向 某个方向运动,另一部分必然向相反的方向运动。这个现象叫做反冲。 喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲原理,它们都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨 大速度的。 七、质心 设 n 个质点组成的系统,质量分别为 m1,m2,…,mn,位矢分别为 r1 , r2 ,…, rn ,定义
质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。 M L 。 t

高中物理竞赛刚体的角动量定理和角动量守恒定律

高中物理竞赛刚体的角动量定理和角动量守恒定律

dA内 F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2 F2 (dr2 dr1) F2 d(r2 r1) 0
dr1
F1
rm1 1
O
F2
dr2
m2 r2
内力的功不影响刚体的转动动能。
刚体绕定轴转动动能定理只适用于刚体的定轴转动。
4
刚体的重力势能
以xOy 平面为重力势能零参考面
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时,作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量.——定轴转动的角
动量定理
11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0,则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零, 或者不受外力矩的作用,物体的角动量 保持不变.——角动量守恒定律
5
刚体的力学系统的机械能
当 A外 + A非保内 = 0 时,有
E Ek Ep 恒量
(系统的机械能守恒定律)
对含有刚体的力学系统,若在运动过程中,只
有保守内力作功,而外力和非保守内力都不作
功,或作功的总和始终为零,则该系统的机械
能守恒。
6
力学系统的机械能应包括
质点的动能、重力势能,弹性势能; 平动刚体的平动动能、重力势能; 定轴转动刚体的转动动能、重力势能,即
12
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变,不变; 若 J 变, 也变,但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)

15 – 8
多普勒效应
m 1.20 10 kg
4
第十五章 机械波
已知
h 100km
u 1.00 10 m s g 1.62m s 2
4
1
R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m .
vB
R O h B
解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律
L
r
X
mv d
第十五章 15 – 8 多普勒效应 质点系的角动量 L Li r i p i
i i
机械波
二 、力矩
r F M Fd Fr sin 二、力矩
定义:力对某点O的力矩等于力的 作用点的矢径r与力F的矢量积.
中学时学过的力矩概念
o
r
d
v
O h A
u
而 (m)u mv
m mv u 120 kg
t时间内扫过的面积
所以
A / t 恒量 (证毕)
第十五章 机械波 15 例 – 28 计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角 多普勒效应
动量。
L
M
已知: me 9.11031 kg
rHale Waihona Puke vme求:L
r 5.29 1011m 4.13 1016 s 1
解:以原子核为参考点
vA
v0
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 R
2 0
v
A
u
15 – 8
多普勒效应
2
第十五章 机械波
R g 12 1 ) 1612 m s 得 v0 ( Rh
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动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4.1. 1.动量在牛顿定律建立以前,人们为了量度物体作机械运动的“运动量”,引入了动量的概念。

当时在研究碰撞和打击问题时认识到:物体的质量和速度越大,其“运动量”就越大。

物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律,例如,在两物体碰撞过程中,它们的改变必然是数值相等、方向相反。

在这些事实基础上,人们就引用mv 来量度物体的“运动量”,称之为动量。

4.1.2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度,可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间,只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同,所产生的改变这个物体的速度效果就一样,在物理学中把F t ∆叫做冲量。

4.1.3.质点动量定理由牛顿定律,容易得出它们的联系:对单个物体:01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量,这就是质点动量定理。

在应用动量定理时要注意它是矢量式,速度的变化前后的方向可以在一条直线上,也可以不在一条直线上,当不在一直线上时,可将矢量投影到某方向上,分量式为:x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系,按照力的作用者划分成内力和外力。

对各个质点用动量定理:第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - M M第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律: 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到:1I 外+2I 外+ ……+n I 外=(t v m 11+t v m 22+……+nt n v m )-(101v m +202v m +……0n n v m )即:质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

§4,2 角动量 角动量守恒定律动量对空间某点或某轴线的矩,叫动量矩,也叫角动量。

它的求法跟力矩完全一样,只要把力F 换成动量P 即可,故B 点上的动量P 对原点O 的动量矩J 为P r J ρρρ⨯= (r=)以下介绍两个定理:(1).角动量定理:质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商,等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩,即M dt dJ= (M 为力矩)。

(2).角动量守恒定律如果质点不受外力作用,或虽受外力作用,但诸外力对某点的合力矩为零,则对该点来讲,质点的动量矩J 为一恒矢量,这个关系叫做角动量守恒定律 即 r ×F=0,则J=r ×mv=r ×P=恒矢量§4.3动量守恒定律动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的,首先在碰撞问题的研究中发现了它,随着实践范围的扩大,逐步认识到它具有普遍意义,对于相互作用的系统,在合外力为零的情况下,由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。

即: t v m 11+t v m 22+……+n n v m =+'+'2211v m v m ……n n v m '上式就是动量守恒定律的数学表达式。

应用动量守恒定律应注意以下几点:(1)动量是矢量,相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和,而不是代数和,在具体计算时,经常采用正交分解法,写出动量守恒定律的分量方程,这样可把矢量运算转化为代数运算,(2)在合外力为零时,尽管系统的总动量恒定不变,但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化,系统的内力只能改变系统内物体的动量,却不能改变系统的总动量。

在合外力不为零时,系统的总动量就要发生改变,但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变,即合外力的分量在某一方向上为零,则系统在该方向上动量分量守恒。

(3)动量守恒定律成立的条件是合外力为零,但在处理实际问题时,系统受到的合外力不为零,若内力远大于外力时,我们仍可以把它当作合外力为零进行处理,动量守恒定律成立。

如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时,可忽略外力的冲量,系统动量近似认为守恒。

(4)动量守恒定律是由牛顿定律导出的,牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用,而动量守恒定律却仍适用。

因此,动量守恒定律是一条基本规律,它比牛顿定律具有更大的普遍性。

动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时,它的总动量是守恒的,所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态,这个讨论包含了三层含意:(1)如果一个质点系的质心原来是不动的,那么在无外力作用的条件下,它的质心始终不动,即位置不变。

(2)如果一个质点系的质心原来是运动的,那么在无外力作用的条件下,这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。

(3)如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动,那么内力不能改变质心的这种运动。

比如某一物体原来做抛体运动,如果突然炸成两块,那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。

如果一个质量为A m 的半圆形槽A 原来静止在水平面上,原槽半径为R 。

将一个质量为B m 的滑块B 由静止释放(图4-3-1),若不计一切摩擦,问A 的最大位移为多少?由于A 做的是较复杂的变加速运动,因此很难用牛顿定律来解。

由水平方向动量守恒和机械能守恒,可知B 一定能到达槽A 右边的最高端,而且这一瞬间A 、B 相对静止。

因为A 、B 组成的体系原来在水平方向的动量为零,所以它的质心位置应该不变,初始状态A 、B 的质心距离圆槽最低点的水平距离为:Rm m m s BA B⋅+=。

所以B 滑到槽A 的右边最高端时,A 的位移为(图4-3-2)Rm m m s BA B⋅+=22如果原来A 、B 一起以速度v 向右运动,用胶水将B 粘在槽A 左上端,某一时刻胶水突然失效,B 开始滑落,仍然忽略一切摩擦。

设从B 脱落到B 再次与A 相对静止的时间是t ,那么这段时间内A 运动了多少距离?B 脱落后,A 将开始做变加速运动,但A 、B 两物体的质心仍然以速度v 向右运动。

所以在t 时间内A 运动的距离为:Rm m m vt L B A B+-=2§4.4 功和功率 4.4.1功的概念力和力的方向上位移的乘积称为功。

即θcos Fs W = 式中θ是力矢量F 与位移矢量s 之间的夹角。

功是标量,图4-3-1 sF 1F 12图4-4-1有正、负。

外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。

对于变力对物体所做功,则可用求和来表示力所做功,即 i si F W i θcos ∆∑=也可以用F=F (s )图象的“面积”来表示功的大小,如图4-4-1所示。

由于物体运动与参照系的选择有关,因此在不同的参照系中,功的大小可以有不同的数值,但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。

因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移,相对位移是与参照系无关的。

值得注意的是,功的定义式中力F 应为恒力。

如F 为变力中学阶段常用如下几种处理方法:(1)微元法;(2)图象法;(3)等效法。

4.4.2. 几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。

具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力,如重力、弹力和万有引力都属于保守力。

不具有这种特点的力称为非保守力,也叫耗散力,如摩擦力。

(1)重力的功 重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力,所以从高度1h 处将重力为mg 的物移到高2h 处。

重力做功为:)(12h h mg W c -=,显然与运动路径无关。

(2)弹簧弹力的功物体在弹簧弹力F=-kx 的作用下,从位置1x 运动至位置2x ,如图4-4-2(a )所示,其弹力变化F=F (x )如图4-4-2(b )所示则该过程中弹力的功W 可用图中斜线“面积”表示,功大小为222112212121)(2)1(kx kx x x x kx W -=-⋅+-=(3)万有引力的功质量m 的质点在另一质量M 的质点的作用下由相对距离1r 运动至相对距离2r 的过程中,引力所做功为1221)11(r GMm r GMm r r GMm W -=--=4.4.3.功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率,表达式为t WP =求瞬时功率,取时间0→∆t 则为θθcos cos 00v F t s F Iim t W Iim P t t ⋅=∆∆=∆∆==→∆→∆12)(a 图4-4-2式中v 为某时刻的瞬时速度,θ为此刻v 与F 方向的夹角 §4.5 动能 动能定理 4.5.1. 质点动能定理质量m 的质点以速度v 运动时,它所具有动能k E 为:221mv E k =动能是质点动力学状态量,当质点动能发生变化时,是由于外力对质点做了功,其关系是:W 外=21K K K E E E -=∆上式表明外力对质点所做功,等于质点动能的变化,这就是质点动能定理。

4.5.2.质点系动能定理若质点系由n 个质点组成,质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力(外力)和系统内其它质点对它作用力(内力),在质点运动时,这些力都将做功。

设质点系由N 个质点组成,选取适当的惯性系,对其中第i 个质点用质点动能定理i W 外+i W 内=21222121i i i i v m v m -对所有n 个质点的动能定理求和就有∑i W 外+∑i W 内=21222121i i i i v m v m ∑-∑若用W 外、W 内、2K E 、1K E 分别表示∑i W 外、∑i W 内、2221i i v m ∑、2121i i v m ∑则上式可写成W 外+ W 内=2K E -1K E由此可见,对于质点系,外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量,这就是质点系动能定理。

和质点动能定理一样,质点系动能定理只适用于惯性系,但质点系动能定理中的W 内一项却是和所选的参照系无关的,因为内力做的功取决于相对位移,而相对位移和所选的参照系是无关的。

这一点有时在解题时十分有效。

§4.6 势能4.6.1 势能若两质点间存在着相互作用的保守力作用,当两质点相对位置发生改变时,不管途径如何,只要相对位置的初态、终态确定,则保守力做功是确定的。

存在于保守力相互作用质点之间的,由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。

规定保守力所做功等于势能变化的负值,即W 保=P E ∆-。

(1)势能的相对性。

通常选定某一状态为系统势能的零值状态,则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。

原则上零势能状态可以任意选取,因而势能具有相对性。

(2)势能是属于保守力相互作用系统的,而不是某个质点独有的。

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